(x,)2∑e、,1 1 ()cos ‘J,(r)da (1-66) 其中Bm是方程Bmn8nL.=H的正根。 (x,t)还可用格林函数表示为 x.()-G(ztl,me (1-67) 比较式(1·66)和式(1-67)，可得 aCrt. 8.+ L(+)+HC6Pcc (1-68) 公式(1-68)中的：换成t-x,则得格林函数为 G(x,tlx,x)=2∑et-) n1 +2 L()+(1-69) 于是，原式的解为 ,=jcilkelnrw +是drG,lxrg(,rhr r=00 1-14三维的无限大物体，-∞<x<,<y<o， -∞<之<∞，初始温度为F(x,y,z).时间t>0时，物体内产生 热量，速率为g(x,y,2,t)单位为Wm。试用格林函数法求时间 t>0时区域内温度分布T(x,y,,t)的表达式，并讨论如下特殊 情形 3 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
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1.在(x1,,)处设置强度为名()单位为W的点热源，也 即g(x,v,,t）=g(t)(r-c1)6(y-y)(z-）,在时间 t>0时特续释放热量。 2.在(x1,y,x1)处设置能量为gn单位为W·s的点热源，时间 f=0时礙间释放热景，即g(x,y,之，t)=8(t-0)8(x-x） 8(y-y1)8(之-1)。 解问题的数学描述为 票+额·票女=路 a at -<x,y,z<m,t>0 T=F(z,y,) -c<x,y,之<∞，t=0 原式的齐次形式为 -<I,y,z<o,t >0 中=Fx,y,z) -<x,y,之<心，t=0 (1-70) 式(1·70)的解可由3个一维无限大物体的解（文献[1]P.237 式(6-33)（或P.47式(2-70）)通过乘积求得 y.t)=K(4mat)Hoxpl- Aat r= F(z,y,z')dr' ·-na)em-ae2idw -al6ram)onl-eiidk 4at -dr'dy(drat) ·ewp--PiyP+e-Y1 4at 28 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
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·F(x',y,x)dz 式(1-0)的解义可用格林响数表示为 ,t）d山ndwG(rw,try2. ),-0F(x',v,z')dz' 从而得 G(t,y,2,1x',y,2',r）r=0 =4mar)ex-红立P1.(卫+g-2] 4at (G(r,yg,tlx‘y,z,r) =l4mar-x】ex即l-（x二x24=yyt(2-22】 4a(t-t） 于是原问题的解为 Tr）=dxdy广，（4a) ept( ·F(x',y,x')d dedia( cxp[-P+:y2+-1 4a（t-r） ·g(x,y,z',rdz (1·71) 讨论 1.g(r,y,之，t)=gp(t)6(x-1)8(y-y1)8(z-1) (1-72) 把式(1·72)代人式(1-71)，利用8函数的性质，可得 T(x,y..t)=dr'dy (4mat) p-红-2+(2+（红-Y] ·expL- Aat 0 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
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·ry',2')dx +∫4o(:-x] ·e即-2++e] 4a(1-z) ·gn(r)dr 2.g(xy,z,t)=gd(t0)8(x-x16(y-y1)6(z-1) (1-73) 将式(1-73)代人式(1-71)，利用8函数的性质，可得 Tdy(rat) cx[-（-4yy(ez21 4at ·F(x',y,z')dz 4g2(4ra)月 ·ew[-（rP+y当2+(e- 4at 1-15试用格林函数法求解如下热传导问题： ++=G0≤r<m> a at T'=F(r） t=0 并讨论如下特殊情形：物体的初始温度为零度，热源为瓣息线热 源，强度为g,:单位为W·s,置于z轴线上，在t二0时瞬间释 放热量，即g(r,)=2%8(,-0》(:-0。 解 8,-0≤<m1>0 a at T(r,0)=F(r) t=0 为求得格林函数，先求解以下齐次方程式 30 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
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+染-}#0≤r<06>0 a dt -F(r) t=0 其解（见文献[1]中例题3-6）为 .rew-u合r (174) (r,t)又刊用格林函数技示为 )-c(rt r oF(re (1-75) =0 比较式(1-74)和式(175)可得 cr=aew会)% 1 以t-x代替式(1-6)中的t,则得 G(r,tr,x）=2a(i- r2t r2 ·cwl4ai-alol2a(-r (177) 丁是，原式的解为 w-a。o-iw + ·m-41o司i-8 对于F(r)=0,在t=0时刻背于r=0处的强度为g,:单位 为W·sm的解时热源，即 r）=%8(,-08(t-0),则有 0=82g 2xr'·2a J:=0(tr) 31 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
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