2singzsinee'=cos8(r -r')-cos(r +r')(1 110) 以及 aalr-re-ael-n) 4at (1-111) opx+re=√品ew-u 4at (1-112) (式(1~111)和式(1-112)见文献「1]式(2-57b)和(2-57c)可 以求得式(1-109)中对3的积分 invalep) 2 1 4at -exp(-] Aat (1-113) 将式(1·113)代入式(1-109)得 x,)=r(x'[ewp-{) √4πat0 -e(-{红+上)1x (1-114) Aat 式(1-106)也可以用格林函数法求解 (t)=[F(x)G(r,tl,)l=odr' (1-115) 比较式(1·114)和式(1~115)可知 G(z.tlz',)=0=- =元lexp(-gr')」 4at -exp(-(xtx上)] (1-116) Aat 用t-x代替式(1-116)中的t就得到原式(1-104)的格林函数 6xl,w=7aap-:5 1- 39 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
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-ew-85》1 (1-117) 由式1-117)得G对x的导数（在x'=0处）》 9L。”74a右-a:2p-a可川 aG =2aai-万nw(-4a-r）(1-1u8) 于是，原式(1-104)的解可以表示为 T(r,t)=JG()F()dz' +.eg股6r =fexp-G) 0√4πat 4at -xp))dr Aat acoot( r2 ·ep(-4a(i-rdr (1-119) 式(1-119)中右边第一项是初始温度分布的影响，显然当t-∞ 时，它等于零。于是原式(1-104)的解成为 r,0-00a-n加r x (1-120) 令 刀=4a(i-t (1-121) 则有1品：司 (1-122) dr=号：-rid7 (1-123) 40 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
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将式(1-121)，(1-122)，(1-123)代入式(1120)，则式(1-120) 变换为 T(.1)=2A π efcs[u(:-三ldn 4an od ud 应，m-ay (1-124) 元J0 式(1-124)中，右边第二项当1*∞时等于零，而第一项的积分为 ([1],p.215) eao-id,=eowa√是） 于是，原式的解为 7x)=A.eV云rcww-√元r） (1-125) 如果以Z表示思期，则m=艺式(1~125)也可表示为 T,)=AeVon2-√2) (1-126) 1.3.7拉普拉斯变换法 1-21·半无限大物体，0≤x<∞，初始时有均匀温度T0 当时间t>0时，工=0的边界面受到一个给定的热流，即 -女竖=人=常氨：试求>0时物体内湿度分伦T,)的 表达式， 解问题的数学描述为 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
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源新 a dt 0<x<∞，t>0 -k7-0-常数1=01>0 1(x,0)=T0 1=0,0≤x<∞ (另有xo∞，T有界或T=T) 其拉普拉斯变换为 T步0-T)=-g dr2 0<x<∞ x=0 另有x+∞时，对于任意的s,T有界。 (1-127) 式(1-127)的解为 T)=品e+否 (1-128) 对式(1~128)进行反变换，就得到原式的解为（利用附录中反变换 表) T)=是ae花-ga2+ (1-129) 1-22·块平板，0≤x≤L,初始时有均匀温度T2当时间 t>0时，x=0的边界面保持绝热，而x=L的边界面温度保持 零度试求t>0时平板内温度分布T(x,t)的表达式，以及对很 小时间值适用的T(x,t)的表达式。 解问题的数学描述为 42 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
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语=部 a at 0<x<L,t>0 汇=0 r…0,t>0 (1-130) T=0 x=1.,t>0 T=To t=0,0≤x≤L 对式(1-130)进行拉氏变换得 da? iT--T00<x<L a =0 dT x=0 (1-131) T=0 r=L 式(1-131)的解为 T=c1&+c2eV年+TDe 代人边界条件后得 T=n-ci√g) (1-132) 对式(1-132)进行反变换即可得原式的解。由于在反变换表中查 不到式(1-132)的反变换，故需利用留数理论来求得反变换。然而 这样求得的解对小的t值收敛很慢。为了得到对小的时间值适用 的解，可将式(1132)右边第二项展开成指数含有：的负指数 的渐近级数，再逐项求反变换，便得到对小的t值收斂很快的解。 详细过程见文献[1]p.307。所得解为 T=1-2(-1)erc(Ll+2n）-) -0 4at -】 2(-1)"erfc(L1+22+工) (1-133) 0 4at 1-23··块平板，0≤x≤L,初始温度是零度。当时间t> 43 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
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