H=H=H-名-套-合 1.3.5杜哈美尔定理法 1-0一半无限大物体，0≤x<∞，初始温度为零度。当时间 t>0时，x三0的边界面处温度为T=T0:,其巾T0是常数试用 杜哈美尔定理求得时间：>0时物体内温度分布T(x,t)的表达式。 解问题的数学描述为 =既0<<>0 21 T=0 0≤x<∞，t=0 (1-51) T=Tot x=0,t>0 相应的辅助问题为 (xt-13x20<x<∞，t>0 x2 (1-52) (x,0)=0 0≤r<o,t=0 (0,t)=1 x=0,t>0 由杜哈美尔定理可知，式(151)的解可由式(1-52)的解求得，如 Dds (1-53) 式(1-52)的解为 =l-o7品起- aax(dr》ap4a(在j (1-54) 将式(1-54)代入式(1-53)得 rz)=Tgr-r)iml-o2n)小dr1-5) √4ar0 1-11-平板，0≤x≤L,初始温度为零度，当时间t>0时， 。=0的边界保持纶热=L处的对流边界条件为7+H灯。 22 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
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(:),其中代t)是时间的函数。试求时间t>0时平板内温度分布 (x,t）的表达式 解问题的数学描述为 7(t:120<r<L,>0 0.x2 at -0 =0,t>0 +n-e) r-Lt >0 T=0 0≤x≤L,t=0 相应的辅助问题为 2g()-1g10<x<L,t>0 0x2 dt 器=0 x=0,t>0 (1-56) 器+=1 z=L,t>0 9=0 0≤x≤L,t=0 原问题的解可由如下杜哈美尔公式求得 r）-n)pedryt-Dae (1-57) dt 式(1-56)的解为 (r,)= 1-22e H COB "L(P。+f)+Hcs3j (1-58) 式(1·S8)中，Bn是方程tangL=H的E根。 e-d=2a∑etn 】 L(B+)+H SB.L (1-59) 式(！-59)代入公式(1-57)，就得到原式的解为 23 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
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T-af n RnHdr 2a 名L(+HP)1HsRZ …,(r)ed 注式(1·58)可由式(1-56)直接求解得到，也可由文献[1] 中例题21的解得到，设该例题在T。=1时的解为(x,t),即初 始温度为1的平板，一面绝热，另-·面向温度为0的介质散热时的温 度分布为p,则初始渴度为0的平板，-·面绝热，另·面与温度为1 的流体发生热交换时的温度分布可表示为p(x,t)=1一9(x,t), 如果介质温度不是1而是华，则g(x,）示9m1-p(r,门 式1为)在x=L处的对流换热边界条件为盟+由=1= H·,意味若介质湿度=所以式(1-56)的解为 p(r.)=i[1-9x,t) (1-60) 式(1-60)亦证明如下 设武(1-56)的解为g=A+b1,其中A,B是待定常数，1是 如下问题的解 e-⊥9x）0<z<L,t>0 0x2 g=0 x=0,t>0 d (1-61) 爱+场=0 x=L,t>0 91=1 0≤xL,t=0j 24 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
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显然9=A+1,满足式(1-56)的微分方程和x=0处的边界条 件（对于任意的A,B值），这只要代人即可检验将g=A+p,代 入式(1·56)的x=L处的边界条件和初始条件，并利用式(1-61)， 就可求得A,B的值为 A=有，B=-青于是就得 1 9）=19x, 1-2-圆柱体，0≤r≤b,初始温度为零度。当时间t>0 时，=6处的边界条件为+H=),其中)是时间的西 数。试求时间t>0时圆柱体内温度分布1(r,t)。 解问题的数学描述为 PT+⊥aT=↓T0≤r<6.t>0 02 r ir dt f+H) r=h.t>0 T=0 0≤r≤b,t=0 相应的辅助问题为 2(rt2+⊥gg=⊥o）0≤r<6,t>0 0r2 r dr a dt 器+Hr=1 r=6,1>0 p=0 0≤r≤b,t=0J (1-62 式(1-62)的解为（与习题1-11类似，可由文献[1]中例题3·【的 解求得)》 :之头运aa Ja(3wr） 式(1-63)中Bn是方程RnJ1(b)=Ho(R)的正根a 3 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
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r=2a》ed.-,） ((B)(164) 由杜哈美尔定理即可求得原式的解为 会含安oa (1-65) 1.3.6格林函数法 1-13一平板，0≤x≤L,初始温度为F(x)。当时间t>0 时，平板内产生热量，速率为g(x,t)单位为W/:x=0的边界维 持绝热；r一↓的边界以对流方式向温度为零度的介质放热。试用 格林函数法求时间1>0时平板内温度分布T(x,t）的表达式。 解问题的数学描述为 Tx+x)-1Iù0<x<L,t>0 Q T(x,0)=F(x) 0≤xs≤L,t=0 T0,d=0 3 x=0,t>0 aT(Lt+H(L.t)=0 =L,t>0 为求得格林函数，先讨论上：式的齐次形式 =1 0<x<L,t>0 (x,0)=F(x)0≤中≤L,t=0 胜=0 x=0,t>0 装+w=0 x=L,t>0 这-·齐次问题的解（见文献[1」例题2-1）为 9 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
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