初始时温度分布为F(r,g)。时间 t>0时，=b处以对流方式向温 度为卷度的介质放热；9=0和P ·处的边界保持温度为零度，试 求t>0时该部分实心圆柱温度分 布T(r,9,)的表达式 解问题的数学描述为 图1-8 (如图18) 0<r<b,0<<p T(r,p,0)=F(r,9) t=0 k+r兰0 r=h,0<9<,t>0 T(r,0,)=0 9=0,0≤r≤b,t>0 T(r,t)=0 9=%,0≤r≤b,1>0 将此问题关于t,,r分离变量，可以得到个常微分方程的定解问 题，分别球解后可以得到它们的解（分离解）分别为e,(,p） 和R(B,r),于是原问题的解可以表示为 7r,9,)=2∑nR(Rr),pe (1-19) m·1 以初始条件代人得 F(r,p)=以cnR(民n,r)o(,g) (1-20) 对式1-20》两边依次用算子v,pe利。R(ar油r 进行运算，并利用R(B,r）和(v,p)的正交性，丁是得到 dpir (-21) 1 将式(1-21)代人式(1-19)后得 15 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.n
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T()N)) 。 rRo9)-r.gy-2 式（」22）中，分离解R、中和范数及特征值确定如下。 其中，(8n,r),N(B)和3n的值由文献[1]表3-1可知 K(n,r）=J(8r） (1-23)》 2 N月】Rb)6(H+)- (1-24) 式(1-23)中1(Br)是第-类y阶贝塞尔函数，式(1-24)中，H= 友，式(1-22)，(1-23)，(1-24)中，风是下面方程的正根 3nJ广(Ab)卡fHU.(A5)=0 (1-25) 由于(，p)的常做分方程与直角坐标系关丁X(B,x)(文献[1]表 2-2)的方程形式完全相同，所以可以用文献[1】表2-2来确定 (,p),N(）和yo 将文献[1]表(22)中的符号做如下代替，X以中代替，B以y 代替，r以9代替，L以代替，则得到(，)，N(y)和y的表达 式为 )=ne动品 1 (1-26) 是下面方程的正根 sinveo =0 即y=开，n=1,2,3,… (1-27) 将式(1-23)，(1-24)，(1-25)代人式(1-22)，就得到原问题的解为 e Tv)-2gae+2》-Ka 。n.ip/gRe,ew-8 16 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
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式(1-28)中.和值由公式(1-25)和公式 (1-27)来确定。 1-8-圆筒壁，a≤r≤b,0≤x≤c, 何单位体积以恒定的速率产尘热量；”=4 处的边界绝热：r=b,:=0和之=c处的边 界保持温度为零度，试求该圆筒壁稳态温度分 布I(r,z)的表达式。 a十 解问题的数学描述为（如图！9所示） 图1-9 部+}识++08： 0<x<c =0 r=a,0<2<c T-0 r=b,0<z<c T=0 之=0和x=c,a≤r≤b 车）紧+ (1-29) 把式（任-29）代入原方程式得 翠+照2-06： 0<<c =0 r a 0=紧化 (1-30) r=b 0=0 2-0 z=c 选常数A=,则式(1-29)成为 T(r,2)=r,2)+8(c-2) (1-31) 17 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
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Rr）-c0:Kfw (1-38) 于是，式(1-30)的完全解为 9r=c[gaw+Kw小a w-1 (1-39) 把」上式代入r=b处的边界条件，就有 (:)=) 斗2khn- 为了确定m,对式(l-9)两边用算fsin(2)d进行运算，并 利用止交性，得到 2 小 nd (1-41) 英中用到了=名 将式(1-41)代入式(1·39)，再代人式(1-31）后，就得到原式 的解为 T(r,)=(c-) ,22o(mr）+Kg(w） -sin() 名+K ·s(.)fzdz (1·42) 式(！42)中，m是方程()=0的正根，即%=。 19 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
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0<x<L,t>0,L=b-a U=(x+a)F(.x+a)0≤r≤L,t=0 -+hU=0 1=0,t>0 Y+k=0 x=L,t>0 (1-45） 式中，h,h=H-合，k=h-a0 式(145)是维无限人平壁齐次非稳态导热问题，其解为 1 .x(B,x)(r'a)H('+a)dc' (1·46) 20 式中 K(Am,x）=Bn CoBT卡H1sin3n (1-47) 2 N(B)= (1-48) 联++房十居)1H 只是方程a8.=是，十》的正根 (1-49) 3-1H1H3 利用变换式，将U(x,t)变换为T(r,t),则得到原式的解为 Tr)=8e4aRgRaFrr 1 (1-50) 式中 R(βnm,r）=Bmcs3n(r-a）+H1sinm（r-a） N3)仍由公式(1~48)计算，其中L=b心 仍由式(1~49)确定，其中【=b-a 21 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
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