非线性物理一一混沌 引言 非线性是在自然界广泛存在的自然规律,相对于我们熟悉的线性要复杂得 多。随着物理学研究的不断深入,非线性问题逐渐被重视起来,现已出现了多个 分支,混沌便是其中之一。混沌现象在生活中广泛存在,如著名的蝴蝶效应、湍 流、昆虫繁衍等山l。 要直观地演示混沌现象,采用非线性电路是一个非常好的选择。能产生混沌 现象的自治电路至少满足以下三个条件2:1)有一个非线性元件,2)有一个用 于耗散能量的电阻,3)有三个存储能量的元件。如图1所示的蔡氏电路( Chuas circuit)阝4是一个符合上述条件、非常简洁的非线性电路,由华裔物理学家蔡绍 棠( Leon o.Chua)教授于1983年提出并实现。近年来,非线性电路的研究领 域有了长足进展,新的混沌与超混沌电路凹的理论设计与硬件实现等问题备受人 们关注。如Chen氏电路间、 Colpitts振荡电路门、基于 SETMOS的细胞神经网络 结构的蔡氏电路,都能用于研究混沌现象,并有不同的应用领域 实验原理 在众多的非线性电路中,蔡氏电路因其结构简单、现象明晰,成为教学实验 中让学生接触、了解混沌现象的最佳选择,大量基于蔡氏电路的实验仪器被 广泛应用于高校实验教学。蔡氏电路(如图一所示)的主要元件有可调电阻R(电 路方程中以电导G=lR做参数,以下方程求解过程都用G来表示,而涉及实验 的内容采用R表示)、电容C1和C2、电感L以及非线性负阻Nr。它的运行状态 可以用以下方程组来描述: G(U2-U1)-g(1) G(U1-U2)+l dt d
-1- 非线性物理——混沌 引言 非线性是在自然界广泛存在的自然规律，相对于我们熟悉的线性要复杂得 多。随着物理学研究的不断深入，非线性问题逐渐被重视起来，现已出现了多个 分支，混沌便是其中之一。混沌现象在生活中广泛存在，如著名的蝴蝶效应、湍 流、昆虫繁衍等[1]。 要直观地演示混沌现象，采用非线性电路是一个非常好的选择。能产生混沌 现象的自治电路至少满足以下三个条件[2]：1）有一个非线性元件，2）有一个用 于耗散能量的电阻，3）有三个存储能量的元件。如图 1 所示的蔡氏电路（Chua's circuit）[3,4]是一个符合上述条件、非常简洁的非线性电路，由华裔物理学家蔡绍 棠（Leon O. Chua）教授于 1983 年提出并实现。近年来，非线性电路的研究领 域有了长足进展，新的混沌与超混沌电路[5]的理论设计与硬件实现等问题备受人 们关注。如 Chen 氏电路[6]、Colpitts 振荡电路[7]、基于 SETMOS 的细胞神经网络 结构的蔡氏电路[8]，都能用于研究混沌现象，并有不同的应用领域。 实验原理 在众多的非线性电路中，蔡氏电路因其结构简单、现象明晰，成为教学实验 中让学生接触、了解混沌现象的最佳选择，大量基于蔡氏电路的实验仪器[9-11]被 广泛应用于高校实验教学。蔡氏电路（如图一所示）的主要元件有可调电阻 R（电 路方程中以电导 G=1/R 做参数，以下方程求解过程都用 G 来表示，而涉及实验 的内容采用 R 表示）、电容 C1 和 C2、电感 L 以及非线性负阻 Nr。它的运行状态 可以用以下方程组来描述： = − = − + = − − 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) U dt dI L G U U I dt dU C G U U g U dt dU C L L (1)
其中U1为C1(或负阻Nr)两端的电压,U2为C2(或L)两端的电压,为通 过L的电流,错误!未指定书签。g(U)为非线性负阻的F特性函数,其表达式 为 g(0)=G,U+q0-El-IU+ED 式中各参数和变量的具体意义间图3。从8(U的表达式看出,g(U)分三段,且每 段都是线性的,所以我们可以将求解分三个区间来进行。由于两侧区间基本对称, 可以一并求解。 CH2 H1@ G=1/R 图1:蔡氏电路示意图 U1、U2、l构成一个三维的状态空间,称为相空间,相空间的状态点记为 U2L。混沌实验仪中一般演示X点的相轨迹在U1-平面的二维投 影,可用双踪示波器的ⅹY模式来观察,即常说的李萨如图形 在每个区间内,方程(1)都可以改写成如下形式的线性方程: X(O=AX()+b X(0)=X0 其中X(t)、b为三维矢量,A为三阶矩阵。方程(3)在X(m)=0时的解即为相空间 的不动点XQ,X0=-Ab。原方程组的解即可写为线性齐次方程x(1)=Ax(1)的 通解与不动点特解Xo的和。方程(3)的本征值方程为I-A=0,若A存在三个本 征值λ1、λ2、λ3,齐次方程的解即为: x(o=ce5,+c,es,+ce s5 其中ξ为λ:对应的本征向量,ci由初始状态Xo决定。 在有些情况下,A有一个实本征值γ和一对共轭的复本征值σ士io,方程的解 可以写成:
-2- 其中 U1 为 C1（或负阻 Nr）两端的电压，U2 为 C2（或 L）两端的电压，IL 为通 过 L 的电流，错误!未指定书签。g(U)为非线性负阻的 I-V 特性函数，其表达式 为： (| | | |) 2 ( ) U E U E G G g U G U b a b − − + − = + (2) 式中各参数和变量的具体意义间图 3。从 g(U)的表达式看出，g(U)分三段，且每 段都是线性的，所以我们可以将求解分三个区间来进行。由于两侧区间基本对称， 可以一并求解。 图 1：蔡氏电路示意图 U1、U2、IL 构成一个三维的状态空间，称为相空间，相空间的状态点记为 T L U U I X = 1 2 。混沌实验仪中一般演示 X 点的相轨迹在 U1-U2 平面的二维投 影，可用双踪示波器的 X-Y 模式来观察，即常说的李萨如图形。 在每个区间内，方程(1)都可以改写成如下形式的线性方程： = = + 0 (0) ( ) ( ) X X X t AX t b (3) 其中 X(t)、b 为三维矢量，A 为三阶矩阵。方程(3)在 X(t) = 0 时的解即为相空间 的不动点 XQ，XQ A b −1 = − 。原方程组的解即可写为线性齐次方程 x (t) = Ax(t) 的 通解与不动点特解 XQ 的和。方程(3)的本征值方程为|λI-A|=0，若 A 存在三个本 征值 λ1、λ2、λ3，齐次方程的解即为： 1 1 2 2 3 3 1 2 3 x(t) c e ξ c e ξ c e ξ t t t = + + (4) 其中 ξi 为 λi 对应的本征向量，ci 由初始状态 X0 决定。 在有些情况下，A 有一个实本征值 γ 和一对共轭的复本征值 σ±iω，方程的解 可以写成：
(1)=x,(1)+x(1) x,()=ce"5y x(1)=2ce"[coa+历,-smm+万 式中ξ是实本征值对应的本征向量,ni是共轭的复本征值对应的本征向量。 φc、cr、c由初始状态决定。综上所述,蔡氏电路方程组的解为 X()=Xo+x(1)+x(D) 我们把实本征向量ξ方向标记为Er,把n和n张成的平面记为E。齐次方 程解的独立分量x(t)在Er方向,x(t)在平面Ec内。方程的解随着时间演化具有 如下性质:如果y<0,x(t)指数衰减到0:如果γ>0,x(t)沿着Er方向指数增长。 由此可见,对于任何一条相轨迹X(t),Er方向上的分量恒正或恒负,所以它始 终都无法穿越Ec平面(图错误!定义书签。、错误!定义书签。)。如果>0且 ω0,则xl(t)在Ec平面内螺旋离开不动点o;若σ<0,x(t)在Ec平面内螺旋收 缩到不动点XQ。这些性质在进行每个区域分析时都非常有用 非线性负阻的结构9如图2所示,由两个封装在一起的运算放大器(双运算 放大器集成电路FL353N)和6个定值电阻(R=33k、R=R3=22kQ、R4=22k2、 Rs=R3=220Ω,精度1%)构成,输入电源电压±5V。理想的非线性负阻具有如 图3所示的LV特性,被士E拆分为上中下三个区域,在各个区域都是线性函数, 分段函数的斜率依次为Gb、Ga、G,且满足Gax<(b<0。由运算放大器电路的参 数可计算凹出Ga=1/R1-1/R4=(-76+0.1)×10-4921,Gb=1/R3-1/R4=(-4.09 ±0.06)×10-49。 +15v R5 R4 图2:非线性负阻的内部结构
-3- = + − + = = + ( ) 2 [cos( ) sin( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) c r c i t c c t r r r c t c e t t t c e t t t x x x x x (5) 式中 ξγ 是实本征值对应的本征向量，ηr±iηi 是共轭的复本征值对应的本征向量。 c、cr、cc 由初始状态决定。综上所述，蔡氏电路方程组的解为： (t) (t) (t) X = XQ + xr + xc (6) 我们把实本征向量 ξγ 方向标记为 Er，把 ηr 和 ηi 张成的平面记为 Ec。齐次方 程解的独立分量 xr(t)在 Er 方向，xc(t)在平面 Ec 内。方程的解随着时间演化具有 如下性质：如果 γ<0，xr(t)指数衰减到 0；如果 γ>0，xr(t)沿着 Er 方向指数增长。 由此可见，对于任何一条相轨迹 X(t)，Er 方向上的分量恒正或恒负，所以它始 终都无法穿越 Ec 平面（图错误!未定义书签。、错误!未定义书签。）。如果 σ>0 且 ω≠0，则 xc(t)在 Ec 平面内螺旋离开不动点 XQ；若 σ<0，xc(t)在 Ec 平面内螺旋收 缩到不动点 XQ。这些性质在进行每个区域分析时都非常有用。 非线性负阻的结构[9]如图 2 所示，由两个封装在一起的运算放大器（双运算 放大器集成电路 FL353N）和 6 个定值电阻（R1=3.3kΩ、R2=R3=22kΩ、R4=2.2kΩ、 R5=R6=220Ω，精度 1%）构成，输入电源电压±15V。理想的非线性负阻具有如 图 3 所示的 I-V 特性，被±E 拆分为上中下三个区域，在各个区域都是线性函数， 分段函数的斜率依次为 Gb、Ga、Gb，且满足 Ga<Gb<0。由运算放大器电路的参 数可计算 [12] 出 Ga=-1/R1-1/R4=(-7.6±0.1)×10-4Ω-1 ， Gb=1/R3-1/R4=(-4.09 ±0.06)×10-4Ω-1。 图 2：非线性负阻的内部结构
G 下区中区上区 E0 E 图3:理想非线性负阻I特性(示意图) 实验内容 、各种混沌现象的观测 用图1所示的方法,调节可调电阻R,观察单周期、双周期、阵发混沌、三 周期、单吸引子、双吸引子等相图,并记录各种相图对应的UL,U2的信号特点。 、测量非线性负阻的IV特性 1、用如图4所示的方法,用信号发生器驱动,分别在30Hz,300Hz和3.3kHz 等频率测量非线性负阻的IV特性,讨论不同频率时IV曲线的特点。 INr R 图4:外部信号扫描测量LV特性电路图 2、用图5所示的方法:在电路中接入一个r=100g的采样电阻,非线性负阻 两端的电压U仍在CH1端测量,用CH2端输出的r两端的电压代替电流信号 来记录Ⅰ曲线,实验时利用蔡氏电路自身的振荡信号代替信号发生器的输入 CH1和CH2的信号输入另一双踪示波器观察非线性电路的二位相图,记录电路
-4- 图 3：理想非线性负阻 I-V 特性（示意图） 实验内容 一、各种混沌现象的观测 用图 1 所示的方法，调节可调电阻 R，观察单周期、双周期、阵发混沌、三 周期、单吸引子、双吸引子等相图，并记录各种相图对应的 U1,U2 的信号特点。 二、测量非线性负阻的 I-Ｖ特性 1、用如图 4 所示的方法，用信号发生器驱动，分别在 30Hz，300Hz 和 3.3kHz 等频率测量非线性负阻的 I-V 特性，讨论不同频率时 I-V 曲线的特点。 图 4：外部信号扫描测量 I-V 特性电路图 2、用图 5 所示的方法：在电路中接入一个 r=100Ω 的采样电阻，非线性负阻 两端的电压 U1 仍在 CH1 端测量，用 CH2 端输出的 r 两端的电压代替电流信号 来记录 I-V 曲线，实验时利用蔡氏电路自身的振荡信号代替信号发生器的输入。 CH1 和 CH2 的信号输入另一双踪示波器观察非线性电路的二位相图，记录电路
出现各种混沌状态时的LV曲线。 3、比较上述两种方法得到的LV曲线的异同,并讨论原因。 4、分析第二种方法得到的结果,并解释相图和V曲线之间的关联。 CH3O CHIO @CH2 图5:内置信号扫描测量IV特性电路图 5、(选做)用伏安法测量非线性负阻的IV曲线,分析得到的结果。 (选做)元件参数测量和非线性方程的求解 1、用万用表测量电路中的电容、电感的值。(有兴趣的同学可查阅万用表测 电容、电感的原理。) 2、用函数信号发生器作电源,用伏安法测量电容、电感的值,讨论电流、 频率不同时,测量结果的变化。注意:实际有铁芯电感的等效模型为一个理想电 感和一个损耗电阻的组合。 3、用高精度的LCR表测量各个元件的参数。 4、用实际测得的实验参数求解非线性方程组(1),找出不同条件下的不动 点,分析不动点的稳定性和解的特点。 四、(选做)C调制 设计实验方法,实现用电容C的调节了得到各种混沌相图,并讨论G调制 和C调制得到的相图的不同 五、(选做)数值模拟 1、采用四阶 Runge-Kutta法求解方程组(1),画出各种相图。 2、用FFT法分析各种相图时时域型号的频率特性。 3、绘制U1随R变化的分岔图,得出单周期、双周期等混沌状态时的R值, 和实验观察的结果进行比较。 六、(探索)混沌保密通讯 阅读文献,了解混沌通讯的原理和实现方法,从实验上实现两台混沌实验仪
-5- 出现各种混沌状态时的 I-V 曲线。 3、比较上述两种方法得到的 I-V 曲线的异同，并讨论原因。 4、分析第二种方法得到的结果，并解释相图和 I-V 曲线之间的关联。 图 5：内置信号扫描测量 I-V 特性电路图 5、（选做）用伏安法测量非线性负阻的 I-V 曲线，分析得到的结果。 三、（选做）元件参数测量和非线性方程的求解 1、用万用表测量电路中的电容、电感的值。（有兴趣的同学可查阅万用表测 电容、电感的原理。） 2、用函数信号发生器作电源，用伏安法测量电容、电感的值，讨论电流、 频率不同时，测量结果的变化。注意：实际有铁芯电感的等效模型为一个理想电 感和一个损耗电阻的组合。 3、用高精度的 LCR 表测量各个元件的参数。 4、用实际测得的实验参数求解非线性方程组（1），找出不同条件下的不动 点，分析不动点的稳定性和解的特点。 四、（选做）C 调制 设计实验方法，实现用电容 C 的调节了得到各种混沌相图，并讨论 G 调制 和 C 调制得到的相图的不同。 五、（选做）数值模拟 1、采用四阶 Runge-Kutta 法求解方程组（1），画出各种相图。 2、用 FFT 法分析各种相图时时域型号的频率特性。 3、绘制 U1 随 R 变化的分岔图，得出单周期、双周期等混沌状态时的 R 值， 和实验观察的结果进行比较。 六、（探索）混沌保密通讯 阅读文献，了解混沌通讯的原理和实现方法，从实验上实现两台混沌实验仪