力功 第五章留数 SInz (3)f(z)= (4)f(x)=-3 列z (5)f(x)=-32 (6)f(z)= z-x2-z+1 Z-SInz (7)f(z)=e2-1 (8)f(x)= (z-1)2(z-2) s皿m 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
16 © 2009, Henan Polytechnic University 16 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 1 1 (5) ( ) 3 2 − − + = z z z f z z z f z sin 1 (6) ( ) − = 1 1 (7) ( ) − = z f z e ( ) 3 2 2 sin ( 1) ( 2) (8) ( ) z z z f z − − = ( ) 2 2 1 1 (3) ( ) + = z z f z 3 sin (4) ( ) z z f z =
力功 第五章留数 5.函数在无穷远点的状态 定义 若函数()在R<<+∞内解析,那么称点为f(z)的孤立奇点 规定 z=∞在f()的状态与=0在f()的状态相同 将函数(在R<<+展成幂级数∑cnz”由此得定义: n=一00 可去奇点-展式中不含正幂项; m阶极点展式中含有限项正幂且为最高正幂; 本性奇点-展式中含无穷项正幂项 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
17 © 2009, Henan Polytechnic University 17 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 5. 函数在无穷远点的状态 若函数f (z)在R z + 内解析，那么称点为f (z)的孤立奇点. ) . 1 在 ( )的状态与 0在 ( 的状态相同 t z = f z t = f 将函数 ( )在 展成幂级数 ,由此得定义： =+ =− + n n n n f z R z c z 定义 规定 --- . --- , --- 本性奇点 展式中含无穷项正幂项 阶极点 展式中含有限项正幂且 为最高正幂； 可去奇点 展式中不含正幂项； m m z
力功 第五章留数 §52留数( Residue) 1.留数的定义 m2.留敝定理 3.留数的什算规则 4.在无穷运点的留數 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
18 © 2009, Henan Polytechnic University 18 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则 4. 在无穷远点的留数 §5.2 留数(Residue)
力功 第五章留数 1.留的定义 0 f(z)在c所围成的区域内解析 「f(a)三未必为c所围成的区域内含有(奇点 设f(z)=∑cn(z-列)”0<z-<r n=-00 (是f(z)的孤立奇点c包含在其内韵 对上式两边沿简单闭c逐项积分得: f(3)az- -1Jcz-10 =2mc-1 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
19 © 2009, Henan Polytechnic University 19 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 1. 留数的定义 f z c z z z z r n n = n − − + =− 0 0 0 设 ( ) ( ) , − = − − = c c i c z z dz f z dz c c 1 0 ( ) 1 2 对上式两边沿简单闭曲线 逐项积分得： ( ( ) , ) z0 是f z 的孤立奇点 c包含z0 在其内部 = 未必为 所围成的区域内含有 的奇点 在 所围成的区域内解析 0 ( ) 0 ( ) ( ) c f z f z c f z dz c
力功 第五章留数 定义设孤为f(z)的孤立奇点,f()在动邻域内 的洛朗级数中负幂次项(z-)1的系数c1称为f( 在z的留数,记作 Res vf(),动d或Resf(zo) 由留数定义, Res ff(x)2列l=c1 故Re(al=1=2n5/(xt(2) rui 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
20 © 2009, Henan Polytechnic University 20 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内 的洛朗级数中负幂次项 (z- z0 ) –1 的系数 c–1称为f (z) 在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0 ] 或 Res f (z0 ). 由留数定义, Res [f (z), z0 ]= c–1 (1) ( ) (2) 2 1 Re [ ( ), ] 0 1 f z dz i s f z z c c = − = 故