好学力行 CH5留数 1、孤立奇点 g2}留数( Residue 3、留数在定积分计算上的应用 009 Henan Polytechnic University 版权所有河南理大学中国河确作高新区世纪大20146
1 CH 5 留数 1、孤立奇点 2、留数(Residue) 3、留数在定积分计算上的应用
力功 第五章留数 §5.1孤立奇点 m1.定义 2.分类 〈口3.继质 4.零点与极点的关系 口5.函敝在无穷运点的状 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
2 © 2009, Henan Polytechnic University 2 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 §5.1 孤立奇点 1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系 5. 函数在无穷远点的状态
力功 第五章留数 1.定义 定义若f(x)在处不解析但在z的某个去心邻域 0<z-a<钠内解析则称为f(x)的孤立奇点 例如f(z)=e--z=0为孤立奇点 ∫(x)=-,-z-1为孤立奇点 ∫(z)= SIn- z=0及z=1m兀(mn=±1,±2,)都是它的奇点 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
3 © 2009, Henan Polytechnic University 3 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 1. 定义 例如 z f z e 1 ( ) = ----z=0为孤立奇点 z f z 1 sin 1 ( ) = ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点 1 1 ( ) − = z f z ----z=1为孤立奇点 定义 0 , ( ) . ( ) , 0 0 0 0 内解析 则 称 为 的孤立奇点 若 在 处不解析 但 在 的某个去心邻域 z z z f z f z z z − ~~~~~~~~~
力功 第五章留数 但∵:lim=0,在z=0不论多么小的去心 n-→>0n兀 邻域内总有f()的奇点存在, 1 故z=0不是 SIn 的孤立奇点 0 这说明奇点未 必是孤立的 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
4 © 2009, Henan Polytechnic University 4 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 x y o 这说明奇点未 必是孤立的. 邻域内 总 有 的奇点存在， 但 在 不论多么小的去心 , ( ) 0, 0 1 lim f z z n n = = → . 1 sin 1 0 的孤立奇点 故 不 是 z z =
力方方 第五章留数 2.分类 以下将f(x)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数,根 据展开式的不同情况,将孤立点进行分类考察: n SInz (1)—=1-+-…+(-1) 3!5 (2n+1)! 特点:没有负幂次项 +,n n-1 n-1 (2)2=∑ ∑ +1 ∴ zZ n-=0 H=0 n 2! 特点:只有有限多个负幂次项 特点:有无穷多个负幂次项 (3)e=1+x1+z2+…+ 2! 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
5 © 2009, Henan Polytechnic University 5 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 2. 分类 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类.考察： + + = − + − + − (2 1)! ( 1) 3! 5! 1 sin (1) 2 4 2 n z z z z z n n 特点：没有负幂次项 = = = + + ++ + + − = + − = 2! ! 1 1 ! ! 1 (2) 1 0 1 0 n z z n z z n z z z e n n n n z n 特点：只有有限多个负幂次项 = + − + − ++ z −n + n e z z z ! 1 2! 1 (3) 1 1 2 1 特点：有无穷多个负幂次项