力功 第五章留数 例如z=0与z=1均为()=z(z-1)的零点。 又f"(z)=(z-1)3+3x(z-1)2 ∫"(z)=6(z-1)2+6z(z-1) ∫"(z)=12(z-1)+6(x-1)+6z f"(0)=(-1)°≠0 z=0为一阶零点 ∫"(1)=0f"(1)=0f(1)=6≠0 z=1为三阶零点 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
11 © 2009, Henan Polytechnic University 11 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 例如 z = 0与z = 1均 为f (z) = z(z −1) 3 的零点。 f '''(z) = 12(z −1) + 6(z −1) + 6z 3 2 又f '(z) = (z −1) + 3z(z −1) f '(1) = 0 "( ) 6( 1) 6 ( 1) 2 f z = z − + z z − 0为一阶零点 '(0) ( 1) 0 3 = = − z f z = 1为三阶零点f ''(1) = 0 f '''(1) = 6 0
力功 第五章留数 定理:若z是f(z)的m阶极是一的m阶零点 证明“→”若a为f()的m阶极点 分f(x)=-7m8(x)(g(x)在x解析且g(x)≠0) 2一 0 =(z-z0) f() 8(4)s(z-z)"(z)(x≠) ((2)在乙解析,且zn)≠0) 1 +f(z) =0,令 f(zo) =0,则乙是的m阶零点 f() 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
12 © 2009, Henan Polytechnic University 12 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 定理: 若z0 是f (z)的m阶极点 . ( ) 1 0 是 的m阶零点 f z z 证明 ( ) ( ) 1 ( ) 0 g z z z f z m − = “” 若z0为f (z)的m 阶极点 ( ( ) , ( ) 0 ) g z 在z0 解析 且g z0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 0 0 0 z z h z z z g z z z f z m m = − = − ( ( ) , ( ) 0 ). h z 在z0 解析 且 h z0 令 0， ( ) 1 0, ( ) 1 lim 0 0 = = z→z f z f z . ( ) 1 则 0 是 的m阶零点 f z z
力功 第五章留数 1 ”若z是 的m阶零点则 f(z) =(2=x0)((2在角解析,且(x)≠0) f∫(z) 当乙≠列时,f(z)= (z-x0g(z)(x-n)x(3) (v(在z解析,且v(zo)≠0) z.f(z)的m阶极点 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
13 © 2009, Henan Polytechnic University 13 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 “ ” 若 是 的 阶零点,则 ( ) 1 0 m f z z ( ) ( ) ( ) 1 0 z z z f z m = − ( ( ) , ( ) 0 ). z 在z0 解析 且 z0 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 0 0 z z z z z z z z f z m m − = − 当 时 ， = ( ( ) , ( ) 0 ). z 在 z0 解析 且 z0 ( ) . z0 是f z 的m阶极点
力功 第五章留数 例求(2)=+2)(1+e 的奇点, 如果是极点指出它的阶 解显然,z士是(1+-)的一阶零点 en+1=0,即en=-1 =Lm(-1)=i(x+2k丌)=(2k+1)mi 故奇点为:zk=(2k+1)k=0,±1,±2, (1+e") = z=i(2k+1) z=i(2k+1) =丌|e0(2k+1)+ I SInn(2k+1)=-丌≠0 z=i(2k+1)(k=01,+2,…).+e的一阶零点 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
14 © 2009, Henan Polytechnic University 14 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 . (1 )(1 ) ( ) 2 如果是极点指出它的阶 求 z 的奇点， z e z f z + + 例 = 解 显然，z=i 是(1+z 2 )的一阶零点 (2 1) 0, 1, 2, ( 1) ( 2 ) (2 1) 1 0, 1 = + = = − = + = + + = = − z k i k z Ln i k k i e e k z z 故奇点为： 即 [cos (2 1) sin (2 1)] 0 (1 )' (2 1) (2 1) = + + + = − + = = + = + k i k e e z i k z z i k z zk = i(2k + 1) (k = 0,1,2, )是1+ e z 的一阶零点
力功 第五章留数 综合z=±次为f(z)二阶极点 z=i(k+1)(k=1±2,…)为f(z)的 阶极点 练习:考察下列函数邮立奇点,奇点类型,如果是 极点,指出它的阶数 (1)f(z) z'(e2-1)(2)/() = n(1+x) 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
15 © 2009, Henan Polytechnic University 15 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 . (2 1) ( 1, 2, ) ( ) ( ) ; 一阶极点 为 的 为 的二阶极点 z i k k f z z i f z k = + = 综合 = 极点，指出它的阶数. 练习：考察下列函数的孤立奇点，奇点类型，如果是 ( 1) 1 (1) ( ) 2 − = z z e f z z z f z ln(1 ) (2) ( ) + =