湖业理工学院HUHHIPOYTHCHNICUNIVHRSITS12.2非线性动态电路的状态方程的列写122、二阶非线性动态电路13+i2 = f2(2)非线性电感Rus非线性电阻i4 = f4(u4)选电容电压u和电感磁链为状态变量对节点①列KCL方程Cu =i =-iz-i+is, =uz = u -u对回路I列KVL方程i =[-f2(2)- f4(u)+is]/C消去非状态变量，整理得, =- Rf2(2)X(t)为状态向量X(t) = F(X(t),V(t)状态方程一般形式V(t)为输入向量
12.2 非线性动态电路的状态方程的列写 2、二阶非线性动态电路 S i − + 4 u 4 i − + 1 u 1 i 2 i + − − + u3 3 i 2 u C1 R3 ① l ( ) 2 2 Ψ2 i = f ( ) 4 4 4 i = f u 非线性电感 非线性电阻 选电容电压 u1 和电感磁链 2 为状态变量 对节点①列KCL方程 S C u = i = C u = −i − i + i 1 1 1 1 1 2 4 对回路l 列KVL方程 2 2 1 3 Ψ = u = u − u 1 2 2 4 1 2 1 3 2 2 [ ( ) ( ) ]/ ( ) S u f Ψ f u i C Ψ u R f Ψ = − − + = − X(t) = F{X(t),V(t)} 状态方程一般形式： 整理得 1 2 2 4 1 2 1 3 2 2 [ ( ) ( ) ]/ ( ) S u f Ψ f u i C Ψ u R f Ψ = − − + = − S i = C u = −i −i +i 1 1 1 2 4 2 2 1 3 u =Ψ = u − u X(t) 为状态向量 V(t) 为输入向量 消去非状态变量
湖业理工学院POIYTFCHNICLUNIVHRSITYHUHHI12.2非线性动态电路的状态方程的列写非线性状态方程一般形式X(t)为状态向量X(t) = F(X(t),V(t)V(t）为输入向量在直流激励或零输入时，V(t)为常量，X(t) = G(X(t))微分方程中不显含时间t自治方程平衡点自治方程的稳态解是常量，该稳态解在平衡点处X(t) = 0将电容开路、电感短路所得状态变量值即为平衡点确定平衡点是非线性动态电路分析的重要内容之一
12.2 非线性动态电路的状态方程的列写 X(t) = F{X(t),V(t)} 非线性状态方程一般形式： X(t) 为状态向量 V(t) 为输入向量 在直流激励或零输入时，V(t) 为常量， X(t) = G{X(t)} 微分方程中不显含时间 t - 自治方程 自治方程的稳态解是常量，该稳态解 - 平衡点 在平衡点处 将电容开路、电感短路所得状态变量值即为平衡点 确定平衡点是非线性动态电路分析的 重要内容之一 X(t) = 0
湖业理工学院POIYTFCHNICUNIVHRSITYHUHHI（了解基本原理）12.3 *数值分析法非线性动态电路状态方程-----一阶非线性微分方程组难以获得解析解，数值分析法：采用选代公式，根据激励和响应初始值逐步递推响应在各离散时刻的近似值dxf(x,t)=以一阶电路为例曲边梯形面积dtx(tk+1)tk+l两边乘以dt，再取定积分dx =f(x,t)dtx(tk)1kf(x,t)C*+ f(x,t)dt = Skx(tk+1) - x(tk) =?f(xk,tk)1Xk+1 = X + S0tktk+1
12.3 数值分析法 非线性动态电路状态方程-一阶非线性微分方程组， 难以获得解析解。 数值分析法：采用迭代公式，根据激励和响应初始值 逐步递推响应在各离散时刻的近似值。 以一阶电路为例 ( , ) d d f x t t x = + + = 1 1 d ( , )d ( ) ( ) k k k k t t x t x t 两边乘以dt，再取定积分 x f x t t k t t x t k x t k f x t t S k k − = = + + 1 ( 1 ) ( ) ( , )d k k Sk x +1 = x + k t k+1 t t f (x,t) ( , ) k k f x t O 前向欧拉法 （了解基本原理） 曲边梯形面积
湖业理工学院POIYTFCHNICUNIVHRSITYHUHHI12.3数值分析法tk+!一般公式f(x,t)dt = x + SkXk+I =Xk +tkf(x,t)1．前向欧拉法f(xktk)TSh ~ (tk+1 -th)f(xk,th)=hf(xk,th)0tktk+l步长:h=tk+l-tXk+1 = Xk + Sk = X +hf(xk,tk)f(x,t)2．后向欧拉法f(xk+1,tk+1)Sk ~(tk+1 -th)f(Xk+1,t+1)= hf(Xk+1,tk+1)Xk+1 = Xx +hf(Xk+1,tk+1)Ottk+l
12.3 数值分析法 1．前向欧拉法 ( ) ( , ) ( , ) k k 1 k k k k k S t −t f x t = hf x t + k t k+1 t t f (x,t) ( , ) k k f x t O 前向欧拉法 k k h = t − t 步长： +1 ( , ) k 1 k k k k k x = x + S = x + hf x t + 2．后向欧拉法 k t k+1 t t f (x,t) ( , ) k +1 k +1 f x t O 后向欧拉法 ( ) ( , ) ( , ) k k+1 − k k+1 k+1 = k+1 k+1 S t t f x t hf x t ( , ) k+1 = k + k+1 k+1 x x hf x t k k t t k k x x f x t t x S k k = + = + + + 1 ( , )d 一般公式 1
湖业理工学院POIYTHCHNICLNIVHRSITYHUHHI12.3数值分析法↑ f(x,t)3．梯形法f(Xk+1,tk+1)Sk ~ 0.5hlf(xk,tk)+ f(xk+1,tk+)f(xk,tr)Xk+1 = X, +0.5h[f(xx,tt)+ f(xk+1;tk+1))0tktk+1梯形法4．预报一校正法为减小计算量和保持较高的计算精度：结合梯形法和前向欧拉法先用前向欧拉法求出x作为预报值，再代入梯形法公式进行校正Xk+1 = Xx + hf(xk,tk)Xk+1 = X, +0.5h[f(xk,th + f(Xk+1,tk+1)
12.3 数值分析法 3．梯形法 k t k+1 t t f (x,t) ( , ) k +1 k +1 f x t O ( , ) k k f x t 梯形法 0.5 [ ( , ) ( , )] K k k + k+1 k+1 S h f x t f x t 4．预报—校正法 为减小计算量和保持较高的计算精度：结合梯形法和前向欧拉法 先用前向欧拉法求出 ~ xk+1 作为预报值， , )] ~ 0.5 [ ( , ( ( , ) ~ 1 1 1 1 + + + + = + + = + k k k k k k k k k k x x h f x t f x t x x hf x t 再代入梯形法公式进行校正 , )] ~ 0.5 [ ( , ( ( , ) ~ 1 1 1 1 + + + + = + + = + k k k k k k k k k k x x h f x t f x t x x hf x t 0.5 [ ( , ) ( , )] k+1 = k + k k + k+1 k+1 x x h f x t f x t