该变换实现下列相似变换 =AU+ B,U y=C+ Dl 其中 A,=TAT, B, =TBT, C=TCT D=TDT-I 下面通过一个例子来说明这种变换 例3-8已知系统状态方程为 10-42 A=800,B=0,c=|05-043750437],D=0 020 0 试应用ss2ss函数进行状态方程的相似变换。 解:由于变换阵T可以任意选择,只要保证其非奇异即可。在此选择单位反对 角阵作为变换阵,下面给出了变换方法与结果 A=[10-42:800;020]: B=[200] C=[0.5-0.43750.4375]: D=0 1=SS(A, B, C, D) T= fliplr(eye (3)); GT=sS2ss (Gl, T) 得到结果为 2.00000 8.00000 00000 -400000 10.00000 0 0 2.00000 0.43750 0.43750 0.50000 ul
62 该变换实现下列相似变换 z = Tx， z = AtU + BtU y = Ctz + Dtu 其中 At = TAT-1， Bt = TBT-1， Ct = TCT-1， Dt = TDT-1 下面通过一个例子来说明这种变换。 例 3-8 已知系统状态方程为 A = − 0 2 0 8 0 0 10 4 2 ，B = 0 0 2 ，C = 0.5 −0.4375 0.4375，D =0 试应用 ss2ss 函数进行状态方程的相似变换。 解： 由于变换阵 T 可以任意选择，只要保证其非奇异即可。在此选择单位反对 角阵作为变换阵，下面给出了变换方法与结果。 A=［10 -4 2；8 0 0；0 2 0］； B =［2 0 0］'； C =［0.5 -0.4375 0.4375］； D = 0； G1 = ss(A， B， C， D) T = fliplr(eye（3））； GT = ss2ss（G1，T） 得到结果为 a = xl x2 x3 xl 0 2.00000 0 x2 0 0 8. 00000 x3 2. 00000 -4.00000 10. 00000 b = u1 x1 0 x2 0 x3 2. 00000 c = x1 x2 x3 y1 0.43750 0.43750 0. 50000 d = ul
0 2.规范型状态方程的实现 在MA∏LAB中提供给用户一个状态方程的规范实现函数 cannon,以进行Lml 系统模型sys的规范状态空间表达式的实现。其基本格式为 Gl=cannon(sys,type 同时,状态方程的规范实现函数 cannon还具有可以返回状态变换阵的形式,即 式中,ss表示原系统状态方程模型,字串type确定规范形式的类型,它可以是模态 ( modal)规范型(约当标准型),也可以是伴随矩阵( companion)形式。T是状态 变换阵返回变量,满足zTx关系,其中要求ss为状态空间模型 例3-9已知系统Σ(A,B,C,D)的系数阵为 0460 B- 0-3-50 2],D=0 0-3-6-1 对其进行规范型变换(约当变换),并给出变换阵 解:应用状态方程的规范实现函数 cannon容易进行该变换 A=[5210;0460;0-3-50:0-3-6-1] B=[1234]' sys=ss(A, B, C, D); [G, T]= canon (sys, 'modal) 运行结果 5.0000 0 1.00000 0 0-2.00000 0 01.00000 3.60714 x2-20.00000
63 y1 0 2．规范型状态方程的实现 在 MATLAB 中提供给用户一个状态方程的规范实现函数 cannon，以进行 LTI 系统模型 sys 的规范状态空间表达式的实现。其基本格式为 G1 = cannon（sys,type） 同时，状态方程的规范实现函数 cannon 还具有可以返回状态变换阵的形式，即 [G1，T] = cannon（sys，type） 式中，sys 表示原系统状态方程模型，字串 type 确定规范形式的类型，它可以是模态 （modal）规范型（约当标准型），也可以是伴随矩阵（companion）形式。T 是状态 变换阵返回变量，满足 z=Tx 关系，其中要求 sys 为状态空间模型。 例 3-9 已知系统Σ(A，B，C，D)的系数阵为 A= − − − − − 0 3 6 1 0 3 5 0 0 4 6 0 5 2 1 0 ，B= 4 3 2 1 ，C=1 2 5 2，D=0 对其进行规范型变换（约当变换），并给出变换阵。 解：应用状态方程的规范实现函数 cannon 容易进行该变换。 A=[5 2 1 0；0 4 6 0；0 -3 -5 0；0 -3 -6 -1]； B=［1 2 3 4］'； C=[1 2 5 2］； D=0； sys=ss（A，B， C， D）； [G，T]＝ canon（sys，'modal'） 运行结果 a= xl x2 x3 x4 xl 5.0000 0 0 0 x2 0 -1.00000 0 0 x3 0 0 -2.00000 0 x4 0 0 0 1.00000 b= ul xl 3.60714 x2 -20.00000
326.55760 x411.79248 1.00000200000-2.754120.74200 Continuous-time system 1.00000.60710.4643 0 0-3.0000-6.00001.0000 0-3.3197-6.6394 0-2.35852.3585 对于系统的其他规范型变换,如可控规范型和可观规范型变换,将放到后面章 节中阐述 3.系统的均衡实现 考查系统Σ(A,B,C,D),其系统的系数阵分别为 100 ,C=10310-,D= 在该系统中,系数阵的各个元素的值相差极为悬殊,显然对这类问题直接进行求解 必然会在数值运算过程中由于舍入的处理而带来严重的误差,一般将这类系统称为 不均衡系统。在 MATLAB中,为用户提供了可以进行系统均衡变换的函数,从而使 不均衡系统经过变换,使其系数变为相对较为均衡,以消除计算中舍入对其造成的 严重误差影响。其均衡变换函数的具体格式为 LAb, Bb, Cb, G, T]=balreal(A, B, C) 其中T为均衡变换阵,G为均衡系统的Gram阵,并且满足下述变换关系 Ab=T- AT, Bb=T-B, Cb=CT, Db=D 同时系统的状态变量也满足Xb=TX关系 以前面给出的不均衡系统作为示例,利用均衡变换函数实现系统的均衡变换 [Ab, Bb, Cb, G, T]=balreal (A, B, C) 运行结果 Ab=
64 x3 26.55760 x4 11.79248 c= xl x2 x3 x4 y1 l.00000 2.00000 -2.75412 0.74200 d= ul y1 0 Continuous-time system． T= 1.0000 0.6071 0.4643 0 0 -3.0000 -6.0000 1.0000 0 -3.3197 -6.6394 0 0 -2.3585 -2.3585 0 对于系统的其他规范型变换，如可控规范型和可观规范型变换，将放到后面章 节中阐述。 3．系统的均衡实现 考查系统Σ(A，B，C，D)，其系统的系数阵分别为 A= − − 0 25 10 0 ，B= − 5 5 10 10 ，C= 5 5 10 10− ，D=0 在该系统中，系数阵的各个元素的值相差极为悬殊，显然对这类问题直接进行求解 必然会在数值运算过程中由于舍入的处理而带来严重的误差，一般将这类系统称为 不均衡系统。在 MATLAB 中, 为用户提供了可以进行系统均衡变换的函数，从而使 不均衡系统经过变换，使其系数变为相对较为均衡，以消除计算中舍入对其造成的 严重误差影响。其均衡变换函数的具体格式为 ［Ab，Bb，Cb，G，T]= balreal（A， B， C） 其中 T 为均衡变换阵，G 为均衡系统的 Gram 阵，并且满足下述变换关系 Ab=T-1AT，Bb=T-1B， Cb=CT，Db=D 同时系统的状态变量也满足 Xb= TX 关系。 以前面给出的不均衡系统作为示例，利用均衡变换函数实现系统的均衡变换， 即 [ Ab，Bb，Cb，G，T]=balreal（A，B，C） 运行结果 Ab=
14.013745745757560-6.64048427128458 -6.64048427128458-20.98625424242441 1.37309792179507 0.33852931507043 1.373097921795070.33852931507043 0.06726959142308 0.00273040857692 1.0e+004 -0.00000000051728 5.172843033623198.55813618432752 由上述运行结果可以清楚地看出,经过均衡变换后,系统的系数阵实现了预期 的系数均衡处理,从而大大降低了数值计算时的舍入误差。应该注意的是,只有稳 定的系统才能进行均衡变换 4.系统的降阶实现 在控制系统的研究中,模型的降阶技术是简化系统分析的重要手段,其降阶实 质就是由相对低阶的模型近似成一个高阶原系统,从而使高阶模型可以按照低阶的 仿真与设计方法加以进行。在MA∏LAB中,为用户提供了实现系统降阶处理的专用 函数,如 modred函数。其基本格式为 RSYS=modred (sys, ELIM) RSYS=modred (sys, ELIM, ' mdc') RSYS=modred(sys, ELIM, 'del,) 其中,ELIM为待消去的状态;'mdc表示在降阶中保证增益的匹配;del'表示在降阶 中不能保证增益的匹配。 例3-10已知系统的传递函数为 180 s4+20s3+136s2+380s+343 应用 modred函数进行降阶处理,保留前两个状态,降为二阶系统 解:先构造 modred所需要的函数,再进行降阶处理, den=[120136380343] [a, b, c, d]=tf2ss(num, den
65 - 14.013745745757560 -6.64048427128458 -6.64048427128458 -20.98625424242441 Bb＝ 1.37309792179507 0.33852931507043 Cb＝ 1.37309792179507 0.33852931507043 G= 0.06726959142308 0.00273040857692 T= 1.0e+004 * 0.00000000855 -0.00000000051728 5.17284303362319 8.55813618432752 由上述运行结果可以清楚地看出，经过均衡变换后，系统的系数阵实现了预期 的系数均衡处理，从而大大降低了数值计算时的舍入误差。应该注意的是，只有稳 定的系统才能进行均衡变换。 4．系统的降阶实现 在控制系统的研究中，模型的降阶技术是简化系统分析的重要手段，其降阶实 质就是由相对低阶的模型近似成一个高阶原系统，从而使高阶模型可以按照低阶的 仿真与设计方法加以进行。在 MATLAB 中，为用户提供了实现系统降阶处理的专用 函数，如 modred 函数。其基本格式为 RSYS=modred（sys，ELIM） RSYS=modred（sys，ELIM，'mdc'） RSYS=modred（sys， ELIM，'del'） 其中，ELIM 为待消去的状态；'mdc'表示在降阶中保证增益的匹配；'del'表示在降阶 中不能保证增益的匹配。 例 3-10 已知系统的传递函数为 ( ) 20 136 380 343 180 4 3 2 + + + + = s s s s G s 应用 modred 函数进行降阶处理，保留前两个状态，降为二阶系统。 解：先构造 modred 所需要的函数，再进行降阶处理。 num= 180； den= [1 20 136 380 343] ［a，b，c，d］= tf2ss（num，den）
sysm=modred (sys, 3: 4, 'del') 执行上述语句得到系统降阶后的结果为 20.00000 -136.00000 00000 1.00000 0 0 显然在直接利用 modred函数进行系统降阶处理时具有一定的盲目性,为此往往 将 balreal函数与 modred函数相结合加以使用。由 balreal函数先进行均衡变换,依 据 Gran阵确定对系统影响较小的状态,再应用 morea函数求出降阶后的系统 例3-11已知系统Σ(A,B,C,D)的系数阵为 0.5-11-1 B- 1.51-20 000 C0-10 -1.521 在尽可能保持系统基本特性的情况下进行降阶处理。 解:对系统进行均衡变换。 A=[-310-;-0.5-11-1;-1.51-20:-1.521-4 B=[1000] C=[10-10 [Ab, Bb, Cb, G, T]=balreal (A, B, C) 得到均衡变换后的系统模型,以及变换阵T、Gram阵 128290.4033-0.19000.0359 0.4033-1.77481.5444-0.314 -0.19001.54445.92012.8156 -0.03590.3144-281561.0223
66 sys＝ss( a，b，c，d) sysm= modred（sys，3：4，'del'） 执行上述语句得到系统降阶后的结果为 a= xl x2 xl -20.00000 -136.00000 x2 1.00000 0 b= ul xl l.00000 x2 0 c= x1 x2 y1 0 0 d= u1 y1 0 显然在直接利用 modred 函数进行系统降阶处理时具有一定的盲目性，为此往往 将 balreal 函数与 modred 函数相结合加以使用。由 balreal 函数先进行均衡变换，依 据 Grarn 阵确定对系统影响较小的状态，再应用 modrea 函数求出降阶后的系统。 例 3-11 已知系统Σ(A，B，C，D)的系数阵为 A= − − − − − − − − − 1 5 2 1 4 1 5 1 2 0 0 5 1 1 1 3 1 0 1 . . . ，B= 0 0 0 1 ，C=1 0 −1 0 在尽可能保持系统基本特性的情况下进行降阶处理。 解：对系统进行均衡变换。 A=[-3 1 0 -l；-0.5 -1 1 -1； -1.5 1 -2 0； -1.5 2 1 -4] B=[1 0 0 0］' C=[1 0 -1 0] [ Ab，Bb，Cb，G，T]＝balreal（A，B，C） 得到均衡变换后的系统模型，以及变换阵 T、Gram 阵。 Ab= -1.2829 0.4033 -0.1900 0.0359 0.4033 -1.7748 1.5444 -0.3144 -0.1900 1.5444 -5.9201 2.8156 -0.0359 0.3144 -2.8156 -1.0223