定理4.1.2实数空间R是一个连通空间. 证明：（反证法）假设实数空间R是一个 不连通空间，则R中有两上非空的闭子 集A和B使得A∩B=和AUB=R; 任意选取a∈A和b∈B,不妨设a<b, 令A=A∩[a,b]及B=B∩[a,b].于是 A和B是R中的两个非空闭集分别包含 a和b,并且有AnB=b,AUB=[a,b] 图示
定理4.1.2 实数空间 R 是一个连通空间. 证明: (反证法) 假设实数空间 R 是一个 不连通空间, 则 R 中有两上非空的闭子 集 A 和 B 使得 和 ; 任意选取 和 , 不妨设 , 令 及 . 于是 和 是R中的两个非空闭集分别包含 a 和 b ，并且有 , A B = A B R = a A b B a b A A a b = [ , ] B B a b = [ , ] A B A B = A B a b = [ , ] 定理4.1.2 实数空间 R 是一个连通空间. 证明: (反证法) 假设实数空间 R 是一个 不连通空间, 则 R 中有两上非空的闭子 集 A 和 B 使得 和 ; 任意选取 和 , 不妨设 , 令 及 . 于是 和 是R中的两个非空闭集分别包含 a 和 b ，并且有 , A B = A B R = a A b B a b A A a b = [ , ] B B a b = [ , ] A B A B = A B a b = [ , ] 定理4.1.2 实数空间 R 是一个连通空间. 证明: (反证法) 假设实数空间 R 是一个 不连通空间, 则 R 中有两上非空的闭子 集 A 和 B 使得 和 ; 任意选取 和 , 不妨设 , 令 及 . 于是 和 是R中的两个非空闭集分别包含 a 和 b ，并且有 , A B = A B R = a A b B a b A A a b = [ , ] B B a b = [ , ] A B A B = A B a b = [ , ] 定理4.1.2 实数空间 R 是一个连通空间. 证明: (反证法) 假设实数空间 R 是一个 不连通空间, 则 R 中有两上非空的闭子 集 A 和 B 使得 和 ; 任意选取 和 , 不妨设 , 令 及 . 于是 和 是R中的两个非空闭集分别包含 a 和 b ，并且有 , A B = A B R = a A b B a b A A a b = [ , ] B B a b = [ , ] A B A B = A B a b = [ , ] 定理4.1.2 实数空间 R 是一个连通空间. 证明: (反证法) 假设实数空间 R 是一个 不连通空间, 则 R 中有两上非空的闭子 集 A 和 B 使得 和 ; 任意选取 和 , 不妨设 , 令 及 . 于是 和 是R中的两个非空闭集分别包含 a 和 b ，并且有 , A B = A B R = a A b B a b A A a b = [ , ] B B a b = [ , ] A B A B = A B a b = [ , ] 定理4.1.2 实数空间 R 是一个连通空间. 证明: (反证法) 假设实数空间 R 是一个 不连通空间, 则 R 中有两上非空的闭子 集 A 和 B 使得 和 ; 任意选取 和 , 不妨设 , 令 及 . 于是 和 是R中的两个非空闭集分别包含 a 和 b ，并且有 , A B = A B R = a A b B a b A A a b = [ , ] B B a b = [ , ] A B A B = A B a b = [ , ] 定理4.1.2 实数空间 R 是一个连通空间. 证明: (反证法) 假设实数空间 R 是一个 不连通空间, 则 R 中有两上非空的闭子 集 A 和 B 使得 和 ; 任意选取 和 , 不妨设 , 令 及 . 于是 和 是R中的两个非空闭集分别包含 a 和 b ，并且有 , A B = A B R = a A b B a b A A a b = [ , ] B B a b = [ , ] A B A B = A B a b = [ , ] 定理4.1.2 实数空间 R 是一个连通空间. 证明: (反证法) 假设实数空间 R 是一个 不连通空间, 则 R 中有两上非空的闭子 集 A 和 B 使得 和 ; 任意选取 和 , 不妨设 , 令 及 . 于是 和 是R中的两个非空闭集分别包含 a 和 b ，并且有 , A B = A B R = a A b B a b A A a b = [ , ] B B a b = [ , ] A B A B = A B a b = [ , ] 定理4.1.2 实数空间 R 是一个连通空间. 证明: (反证法) 假设实数空间 R 是一个 不连通空间, 则 R 中有两上非空的闭子 集 A 和 B 使得 和 ; 任意选取 和 , 不妨设 , 令 及 . 于是 和 是R中的两个非空闭集分别包含 a 和 b ，并且有 , A B = A B R = a A b B a b A A a b = [ , ] B B a b = [ , ] A B A B = A B a b = [ , ]图示
因为集合A有上界b,故有上确界b, 由于A是一个闭集，从而b∈A,易 知b<b,否则若有b=b将导致 b∈A∩B,与A∩B=矛盾. 因此(b,b]cB.由于B是一个闭集， 所以b∈B,故b∈AOB, 与A∩B=矛盾. 继续 图示
因为集合 有上界 b，故有上确界 , 由于 是一个闭集，从而 ，易 知 ，否则若有 将导致 ，与 矛盾. 因此 . 由于 是一个闭集， 所以 ，故 ， 与 矛盾. A b A b A b b b b = b A B A B = ( , ] b b B B b B b A B A B = 因为集合 有上界 b，故有上确界 , 由于 是一个闭集，从而 ，易 知 ，否则若有 将导致 ，与 矛盾. 因此 . 由于 是一个闭集， 所以 ，故 ， 与 矛盾. A b A b A b b b b = b A B A B = ( , ] b b B B b B b A B A B = 因为集合 有上界 b，故有上确界 , 由于 是一个闭集，从而 ，易 知 ，否则若有 将导致 ，与 矛盾. 因此 . 由于 是一个闭集， 所以 ，故 ， 与 矛盾. A b A b A b b b b = b A B A B = ( , ] b b B B b B b A B A B = 因为集合 有上界 b，故有上确界 , 由于 是一个闭集，从而 ，易 知 ，否则若有 将导致 ，与 矛盾. 因此 . 由于 是一个闭集， 所以 ，故 ， 与 矛盾. A b A b A b b b b = b A B A B = ( , ] b b B B b B b A B A B = 因为集合 有上界 b，故有上确界 , 由于 是一个闭集，从而 ，易 知 ，否则若有 将导致 ，与 矛盾. 因此 . 由于 是一个闭集， 所以 ，故 ， 与 矛盾. A b A b A b b b b = b A B A B = ( , ] b b B B b B b A B A B = 因为集合 有上界 b，故有上确界 , 由于 是一个闭集，从而 ，易 知 ，否则若有 将导致 ，与 矛盾. 因此 . 由于 是一个闭集， 所以 ，故 ， 与 矛盾. A b A b A b b b b = b A B A B = ( , ] b b B B b B b A B A B = 因为集合 有上界 b，故有上确界 , 由于 是一个闭集，从而 ，易 知 ，否则若有 将导致 ，与 矛盾. 因此 . 由于 是一个闭集， 所以 ，故 ， 与 矛盾. A b A b A b b b b = b A B A B = ( , ] b b B B b B b A B A B = 因为集合 有上界 b，故有上确界 , 由于 是一个闭集，从而 ，易 知 ，否则若有 将导致 ，与 矛盾. 因此 . 由于 是一个闭集， 所以 ，故 ， 与 矛盾. A b A b A b b b b = b A B A B = ( , ] b b B B b B b A B A B = 因为集合 有上界 b，故有上确界 , 由于 是一个闭集，从而 ，易 知 ，否则若有 将导致 ，与 矛盾. 因此 . 由于 是一个闭集， 所以 ，故 ， 与 矛盾. A b A b A b b b b = b A B A B = ( , ] b b B B b B b A B A B = 因为集合 有上界 b，故有上确界 , 由于 是一个闭集，从而 ，易 知 ，否则若有 将导致 ，与 矛盾. 因此 . 由于 是一个闭集， 所以 ，故 ， 与 矛盾. A b A b A b b b b = b A B A B = ( , ] b b B B b B b A B A B = 因为集合 有上界 b，故有上确界 , 由于 是一个闭集，从而 ，易 知 ，否则若有 将导致 ，与 矛盾. 因此 . 由于 是一个闭集， 所以 ，故 ， 与 矛盾. A b A b A b b b b = b A B A B = ( , ] b b B B b B b A B A B = 继续 图示