《分析力学》课程教学资源（教案讲义）第一章 运动学（上）

第一章运动学(上) (第一章上参阅教材 §1.3.§2 运动学研究机械运动的描述方法,也就是讨论机械运动的几何学方面的特性,而不涉及 机械运动变化的原因,即不涉及动力学方面的特性。 1.1.质点运动学(参阅教材§1.2.) 1.质点运动学描述质点的机械运动,主要就是描述质点的位置、速度、加速度和运动轨 迹以及它们之间的关系等。所采用的数学工具有:矢量、坐标系、微分、积分等。 质点的位置用质点的位矢F=f()来表示,利用求导数的方法可求得速度p≈和加速度 a dy d2r dt 利用积分可作上述运算的逆运算 2.为了对质点的机械运动进行具体的描述,必须选用合适的坐标系。常用的坐标系有 (1)直角坐标:坐标曲线是互相垂直的三组平行直线族,沿坐标曲线的矢量(组成 组基矢)方向是不变的,且相互垂直。因而我们总可选一组单位常矢量i,,k作为基矢 (平面直角坐标情况相仿)。这些特点使我们运用起来很方便。 (2)平面极坐标(当质点在平面运动时,有时可选用) (3)球坐标(球极坐标) (4)柱坐标 以上三种坐标是我们最常用的曲线坐标,曲线坐标的坐标曲线一般为曲线族,(因而在 各点沿坐标曲线的切线的单位矢量,方向可能不同,但只和质点的位置有关,而和速度无关) 当然也不完全排除直线族(例如:柱坐标的坐标曲线中有互相平行的直线族;平面极坐标、 球坐标、柱坐标的坐标曲线中均有互不平行的射线族)。 在这三种情况下,沿坐标曲线(的切线)的单位矢量依然是相互垂直的(我们称之为 正交的),因而它们满足可·=6k(特别可1·e=1)若=()依赖于任意参数, 则⊥。特别若O为单位矢量l1与某一固定方向的夹角,则有 1。例如:在平 面极坐标情形下,取互相垂直的径向和横向单位基矢,可求得出d d e e=b,=-,;进而可求得节和a的表达式。(以上参阅教材5-7页) 在此给出球坐标系(球极坐标)中求速度加速度的运算过程: =rsin cosodx=sin 0 cos odr+rcos@ cos odo-rsin sin do y= rsin esin dy= sin esin dr+ rcos Osin d+rsin6 cos odo可求得九个偏导数 c=rose d= cos edr-rsin ede

1 第一章 运动学 （上） （第一章上参阅教材§1．2．§1．3．§2．1．§2．2．） 运动学研究机械运动的描述方法，也就是讨论机械运动的几何学方面的特性，而不涉及 机械运动变化的原因，即不涉及动力学方面的特性。 1．1．质点运动学 （参阅教材§1．2．） 1．质点运动学描述质点的机械运动，主要就是描述质点的位置、速度、加速度和运动轨 迹以及它们之间的关系等。所采用的数学工具有：矢量、坐标系、微分、积分等。 质点的位置用质点的位矢 r r(t)   = 来表示，利用求导数的方法可求得速度 dt dr v   = 和加速度 2 2 dt d r dt dv a    = = ；利用积分可作上述运算的逆运算。 2．为了对质点的机械运动进行具体的描述，必须选用合适的坐标系。常用的坐标系有： （1）直角坐标：坐标曲线是互相垂直的三组平行直线族，沿坐标曲线的矢量（组成一 组基矢）方向是不变的，且相互垂直。因而我们总可选一组单位常矢量 i j k , , 作为基矢 （平面直角坐标情况相仿）。这些特点使我们运用起来很方便。 （2）平面极坐标（当质点在平面运动时，有时可选用） （3）球坐标（球极坐标） （4）柱坐标 以上三种坐标是我们最常用的曲线坐标，曲线坐标的坐标曲线一般为曲线族，（因而在 各点沿坐标曲线的切线的单位矢量，方向可能不同，但只和质点的位置有关，而和速度无关）； 当然也不完全排除直线族（例如：柱坐标的坐标曲线中有互相平行的直线族；平面极坐标、 球坐标、柱坐标的坐标曲线中均有互不平行的射线族）。 在这三种情况下，沿坐标曲线（的切线）的单位矢量依然是相互垂直的（我们称之为 正交的），因而它们满足 i k ik e  e =    （特别 el  el = 1   ）。若 ( ) l l e e   = 依赖于任意参数  ， 则 l l e d de   ⊥  。特别若  为单位矢量 l e  与某一固定方向的夹角，则有 = 1 d del  。例如：在平 面极坐标情形下，取互相垂直的径向和横向单位基矢 , r e e ，可求得 , r r de de e e d d     = = − ； , r r e e e e = = −     ；进而可求得 v 和 a 的表达式。（以上参阅教材 5－7 页） 在此给出球坐标系（球极坐标）中求速度加速度的运算过程： sin cos sin sin cos x r y r z r       =   =   = sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin dx dr r d r d dy dr r d r d dz dr r d                     = + −   = + +   = − 可求得九个偏导数

√2+y rdr= xdx+ ydy +zdz tan 0= 3 secede= xdx+ ydy dz可求得九个偏导数进一步可求得 p=y/x ydx or=i, or=j, or=k: or=sin 0 cos i +sin e sin g j +cos 0k=e =rcos 6 cos i +rcos Osin j-rsin bk =re -rsin esin i +rsin 6 cos j=rsinge 由此可见产=r=xi+y+zk= r(sin 0 cos i+ sin esin o j+cosk) e or=sin@ cos i +sin 0 sin j+cos0k r00-cose cos pi +cos e sinpj-sinOk e,|b→b+ e.=e.×e rsin 8 ao -sin I t cos J de 0 sin de 0 s de ae =-sinee -cos Bee=-cospi-sino j dr=xi+jj+:k=(isin 0 cosp +recose cosop-risin 0 sino F +isin 0 sin p+recos0 sino+rp sin@cosq +lcos8-re sin e k 产+日+=+re+ raine·。 )=尼*,=问+r+rmn0 2

2 2 2 2 2 2 tan tan / r x y z x y z y x    = + +   +  =   =  2 2 2 2 2 2 2 2 sec 1 sec rdr xdx ydy zdz xdx ydy x y d dz z z x y y d dx dy x x       = + +   + +  = −  +   = − +  可求得九个偏导数,进一步可求得： , , r r r i j k x y z    = = =    ； sin cos sin sin cos r r i j k e r       = + + =  , cos cos cos sin sin r r i r j r k re         = + − =  sin sin sin cos sin r r i r j r e         = − + =  由此可见 (sin cos sin sin cos ) r r re xi yj zk r i j k = = + + = + +      r r e r  = =  sin cos sin sin cos      i j k + + 1 r e r    = =  cos cos cos sin sin      i j k + − 2 r e e       =  +     1 sin r e r     = =  − + sin cos   i j r e e e   =  0 r er =    ， r e e   =  ， sin r e e     =  ， 0 r e =     ， r e e    = −  ， cos e e      =  ， 0 r e =     ， 0 e =      ， sin cos r de e e d      = − − cos i - sin j   = −   ( ) ( ) ( ) ( )                                  re r e rsin e dt de re re r dt d re r e rsin e r r r r r rcos r sin k rsin sin r cos sin r sin cos j x i y j z k rsin cos r cos cos - r sin sin i dt dr v r r r r r                                         = = + = + +  = + +    +   +   = + − + + + = = + + = +

0+-=be+sib.φe dt a0 ao dt 8.e 进一步可以求得加速度表达式。参见教材7页(2.21)式。(其他坐标系中的运算也可仿此 进行) 为什么要有多种坐标系供选用?根据问题的特点(包括:力、势能、约束等的对称性及 其它特点),选用适当的坐标比较方便。(当然,采用别的坐标只是“不够方便”而不是原则 上“不可能”。) 例如约束于球面上的运动质点,若用直角坐标,则三个坐标并不完全独立,需附加 约束方程x2+y2+z2=12;若用球坐标,约束方程简化为r=l,径向坐标为常数,实际 上只需两个独立坐标。(在平面、圆周、圆柱面、圆锥面等各种约束的情况,应如何处理?) 又如由于相互作用力的特点,例如保守的有心力(只与r有关),若采用平面极坐标,则很 容易化为一维问题。(详见第二章) *【思考】柱坐标和球坐标都可看成平面极坐标到三维空间的不同的推广,能否推广到 更高维空间? *(5)一般的曲线坐标(本段内容可参阅参考资料2上册第一章§9) 在这种情况下,沿坐标曲线的单位矢量不限于相互正交 我们用q,q2和q记曲线坐标,把直角坐标和曲线坐标之间的变换记为 x=x (a,, q)=x(a) =y(yy)=y()=g(xy)k=123满足0(xy3)≠0 =(q,92,q)==(q) 曲线坐标系的坐标曲面记为q=q(x,y,-)=C(k=12,3),坐标曲线记为 q=q(x,y, =)=CK q=q(r,y,=) 矢径表为F=F(q)=x(q)+y(q)+=(q)k 仿照前面的计算可求得沿坐标曲线的基矢E1=可=0X7+万+如k agagag ag k=1.2.3 (}一般不一定正交归一,甚至量纲都可以不为1,但必定是线性独立的

3          e sin e e e dt der r r          = +    +   =            e cos e e e dt de r          = − +    +   =             sin e - cos e e e dt de r          = −     +   = 进一步可以求得加速度表达式。参见教材 7 页（2．21）式。（其他坐标系中的运算也可仿此 进行） 为什么要有多种坐标系供选用？根据问题的特点（包括：力、势能、约束等的对称性及 其它特点），选用适当的坐标比较方便。（当然，采用别的坐标只是“不够方便”而不是原则 上“不可能”。） 例如约束于球面上的运动质点，若用直角坐标，则三个坐标并不完全独立，需附加一 约束方程 2 2 2 2 x + y + z = l ；若用球坐标，约束方程简化为 r = l ，径向坐标为常数，实际 上只需两个独立坐标。（在平面、圆周、圆柱面、圆锥面等各种约束的情况，应如何处理？） 又如由于相互作用力的特点，例如保守的有心力（只与 r 有关），若采用平面极坐标，则很 容易化为一维问题。（详见第二章） *【思考】柱坐标和球坐标都可看成平面极坐标到三维空间的不同的推广，能否推广到 更高维空间？ *(5)一般的曲线坐标（本段内容可参阅参考资料 2 上册第一章§9） 在这种情况下，沿坐标曲线的单位矢量不限于相互正交 我们用 1 2 q q, 和 3 q 记曲线坐标，把直角坐标和曲线坐标之间的变换记为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , , , , k k k x x q q q x q y y q q q y q z z q q q z q  = =    = =   = =  ( , , ) k k q q x y z = k = 1, 2,3 满足 ( ) ( ) 1 2 3 , , 0 , , x y z q q q    曲线坐标系的坐标曲面记为 ( , , ) k k k q q x y z C = = (k = 1,2,3) ，坐标曲线记为 ( ) ( ) , , , , k k k l l l q q x y z C q q x y z C  = =   = =  k l, 1,2,3, = k l  矢径表为 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k r r q x q i y q j z q k = = + + 仿照前面的计算可求得沿坐标曲线的基矢 k k k k k r x y z i j k q q q q      = = + +     ， k = 1, 2,3  k  一般不一定正交归一，甚至量纲都可以不为 1，但必定是线性独立的

对于非正交归一基,矢量的分量有两种不同的表达方式。下面我们以实2维空间的矢量 为例来说明。在平面上选一组正交归一基矢{,已2},再建立一组一般不正交归一的基矢 E=∑叫,但要求系数行列式det(an)≠0,以保证它们线性独立 引进度规张量gx=8k=EE=E·E,一般说,g≠,其量纲也可能不为1。考 虑任意一个矢量A,一方面可以用平行四边形法则表为A=A1+A2E2,另一方面,还 可以用矢量在基矢上的投影来表示:AE=A,AE2=A,一般说,A≠A(k=1,2), A称为逆变分量,A称为协变分量,它们之间有如下的关系 4=A.6=∑A6·E4=∑A8=∑84 一般地,矢量长度的平方F=1团==(4)+(f)也(4)+(4),事实上 A=A·A=∑∑!EA=∑8!=∑4 由于{}线性独立,dt(g)≠0,可由(§)式解出A=∑g"4,其中系数g“满足 g"=g4,以及∑8ng"=61,因而(g")与(g)是互逆的矩阵 若记det(g)=g,则有det(g)=g由上可知,度规张量g和g“有升降指标之功能 这种功能还能推广到高阶张量,例如:∑gm=7m,∑gBm7=Tm用到度规 l,n=1 张量本身,就得到∑g8m=g",与(*)式比较可知,g以及8′就是 Kronecker 6一记号。利用度规张量可把矢量的内积表为多种形式 AB=S灯B=∑B=∑4B=∑B=∑x"AB 对于正交归一化的基(},我们有g==6,g"=6,度规矩阵成为单位矩 阵,从而A4=A4,逆变分量和协变分量没有区别。以上这套方法可以直接推广到n维情

4 对于非正交归一基，矢量的分量有两种不同的表达方式。下面我们以实 2 维空间的矢量 为例来说明。在平面上选一组正交归一基矢 e e 1 2 , ,  再建立一组一般不正交归一的基矢 2 1 l k k l l  a e = =  ，但要求系数行列式 det 0 ( ) l k a  ，以保证它们线性独立。 引进度规张量 kl lk k l l k g g = =  =      ，一般说， , kl kl g   其量纲也可能不为 1。考 虑任意一个矢量 A ，一方面可以用平行四边形法则表为 1 2 A A A 1 2 = +   ，另一方面，还 可以用矢量在基矢上的投影来表示： 1 1 2 2 A A A A  =  =   , , 一般说， k A A  k (k = 1,2) ， k A 称为逆变分量， Ak 称为协变分量，它们之间有如下的关系： 2 2 2 1 1 1 l l l k k l k lk kl l l l A A A A g g A    = = = =  =  = =    （§） 一般地，矢量长度的平方 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 A A A A A A = =   + 也 ( ) ( ) 2 2  + A A 1 2 ，事实上， 2 2 2 2 2 1 1 , 1 1 k l k l k k l kl k k l k l k A A A A A g A A A A   = = = = =  =  = =    由于  k  线性独立， det 0, (gkl )  可由（§）式解出 2 1 k kl l l A g A = =  ，其中系数 kl g 满足 kl lk g g = ，以及 2 1 lj j kl l l g g  =  = ，因而 ( ) kl g 与 (gkl ) 是互逆的矩阵。 （  ） 若记 det(g g kl )  ，则有 ( ) 1 det kl g g −  .由上可知，度规张量 kl g 和 kl g 有升降指标之功能。 这种功能还能推广到高阶张量，例如： 2 1 kl k lm m l g T T  =  = ， 2 ln , 1 kl mn km l n g g T T =  = 用到度规 张量本身，就得到 2 1 lm m kl k l g g g =  = ，与（  ）式比较可知， k l g 以及 k l g 就是 Kronecker  －记号。利用度规张量可把矢量的内积表为多种形式： 2 2 2 2 2 , 1 , 1 1 1 , 1 k l k l l k kl k l kl l k k l k l k l l k k l A B A B g A B A B A B g A B   = = = = =  = = = = =      对于正交归一化的基 ek  ，我们有 , kl kl kl k l kl g e e g =  = =   ，度规矩阵成为单位矩 阵，从而 k A A = k ，逆变分量和协变分量没有区别。以上这套方法可以直接推广到 n 维情

形,必要时也可推广到复数情形 现在我们可以利用度规张量来计算速度和加速度矢量的表达式了。利用矢径公式 r=x(gf)i+y(a)j+(a')k 可以求出元位移的表达式 F=∑=∑E,其中是元位移的逆变分量,而它的协变分量则为 dn=6·d=∑EEd=∑gdr从而弧微分的平方可以表为 d2=d,d=∑=∑g,进而我们可以速度的表达式 kl=l dr_3daF ∑ 由此得=,=以及y-4-( 下面我们来计算加速度的协变分量(进而计算逆变分量也就不难了) 币 ak=a·Ek dt a](( 在以上计算过程中用到了下列关系 d ar 这两个被称为第一和第二拉格朗日经典关系的公式(请同学自行从已有关系中导出)。 把这些结果运用到牛顿动力学方程,由ma=F出发,求等式在坐标基矢sD 上 的投影,得到m=F.=.即“「|- dh OK 这就是单质点力学体系的拉格朗日方程(推广到质点系并无原则上的困难,见第三章)。 思考与练习 1。利用一般曲线坐标系的公式求球坐标系中速度和加速度的表达式,并和以前学过的 多种方法作比较。 2。A=2i+j,其中i,为一组正交归一基矢,另取一组基矢1,E2,求在这组基矢 下的8g",以及矢量在这组基矢下的A,4,以及

5 形，必要时也可推广到复数情形。 现在我们可以利用度规张量来计算速度和加速度矢量的表达式了。利用矢径公式 ( ) ( ) ( ) k k k r x q i y q j z q k = + + 可以求出元位移的表达式 3 3 1 1 k k k k k k r dr dq dq q  = =  = =    ，其中 k dq 是元位移的逆变分量，而它的协变分量则为 3 3 1 1 l l k k k l kl l l dq dr dq g dq    = = =  =  =   从而弧微分的平方可以表为 3 3 2 , 1 , 1 k l k l k l kl k l k l ds dr dr dq dq g dq dq   = = =  =  =   ，进而我们可以速度的表达式 3 3 1 1 k k k k k k dr dq v q dt dt   = = = = =   ， 由此得 k k v q = ， 3 1 l k kl l v g v = =  以及 2 3 2 , 1 k l kl k l ds v g q q dt =   = =      下面我们来计算加速度的协变分量（进而计算逆变分量也就不难了） 2 2 2 2 k k k k k k k dv r d r d r d v v a a v v dt q dt q dt q dt q q               =  =  =  −  = −                      在以上计算过程中用到了下列关系 kkk v r r qqq    = =  和 kkk d r r v dt q q q    = =  这两个被称为第一和第二拉格朗日经典关系的公式（请同学自行从已有关系中导出）。 把这些结果运用到牛顿动力学方程，由 ma F = 出发，求等式在坐标基矢 k k r q   =  上 的投影，得到 k k k r ma F Q q  =    即 k k k d T T Q dt q q     − =       这就是单质点力学体系的拉格朗日方程（推广到质点系并无原则上的困难，见第三章）。 思考与练习 1。利用一般曲线坐标系的公式求球坐标系中速度和加速度的表达式，并和以前学过的 多种方法作比较。 2。 A i j = + 2 ，其中 i j , 为一组正交归一基矢，另取一组基矢 1 2  , ，求在这组基矢 下的 , , kl kl g g 以及矢量 A 在这组基矢下的 , , k A Ak 以及 A