《分析力学》课程教学资源（教案讲义）第五章 哈密顿原理

第五章哈密顿原理 5.1.变分问题的欧拉方程: 力学第一性原理(力学最高原理):可由它导出全部力学定律的原理或者假设。(好 比几何学中的公理) 什么原理可以作为力学第一性原理? ·牛顿运动定律 ·达朗伯原理F+FN-m万=0(=12…n) 动力学虚位移原理(是一种微分变分原理,或称动力学虚位移原理或称动力学普 遍方程,在本教材又称达朗贝尔方程:在静力学情况下是虚位移原理,或称虚功 原理。) Lagrange方程 正则方程 以上原理中的任何一者都可以,因为它们是相互等价的。 在本章介绍另外一类力学第一性原理——力学的积分变分原理 2.物理学中的变分原理举例 ①求单摆的平衡位置: 平衡位置应满足平衡方程 Tcos0=0 ITsin 0=0 求得平衡位置:O=0(T=n ⅱi利用虚位移原理 mg x= I cose→- mglsin 660=0 mglsin a=0 6=0 ii利用势能=-mgx=- mgl cos最小这个条件,o= mgl sin 650=0 或者 00 mgl sin=0得到O=0 方法i是找出满足平衡条件的态(着眼于一个单独的态):方法ⅲ是将真实平衡位置与无 限接近它的邻近位置比较,平衡位置将使动力学函数(势能)达到极值(逗留值)S=0 方法ⅱ也相似,但虚位移原理∑F=0不要求左边成为恰当变分,适用范围更广些 方法ⅱ和ⅲ均系利用变分原理(微分变分原理)求解 最速落径问题( The brachistochrone problem) 从静止出发,在重力作用下,沿光滑轨道由A(x1, (XuYu) y1)滑到B(x2,0),问沿怎样的轨道y=f(x)所 用x-"m=最短 O(x,.0) B(x2,0)

1 第五章 哈密顿原理 5．1．变分问题的欧拉方程： 1．力学第一性原理（力学最高原理）：可由它导出全部力学定律的原理或者假设。（好 比几何学中的公理） 什么原理可以作为力学第一性原理? • 牛顿运动定律 ⚫ 达朗伯原理 0 F F m r i Ni i i + − = (i n =1,2, , ) ⚫ 动力学虚位移原理（是一种微分变分原理，或称动力学虚位移原理或称动力学普 遍方程，在本教材又称达朗贝尔方程；在静力学情况下是虚位移原理，或称虚功 原理。） ⚫ Lagrange 方程 ⚫ 正则方程 以上原理中的任何一者都可以，因为它们是相互等价的。 在本章介绍另外一类力学第一性原理——力学的积分变分原理。 2．物理学中的变分原理举例 ○1 求单摆的平衡位置： i 平衡位置应满足平衡方程    = − = sin 0 cos 0   T mg T 求得平衡位置：  = 0 (T mg = ) ii 利用虚位移原理 0 sin 0 cos sin 0 0 = − = =  − = =      mgl x l mgl mg x ⅲ 利用势能 V = −mgx = −mgl cos 最小这个条件， V = mglsin  = 0 或者 = sin = 0     mgl V 得到  = 0。 方法ⅰ是找出满足平衡条件的态（着眼于一个单独的态）；方法ⅲ是将真实平衡位置与无 限接近它的邻近位置比较，平衡位置将使动力学函数（势能）达到极值（逗留值） V = 0 ； 方法ⅱ也相似，但虚位移原理   = 0 i i i F r    不要求左边成为恰当变分，适用范围更广些。 方法ⅱ和ⅲ均系利用变分原理（微分变分原理）求解。 ○2 最速落径问题（The brachistochrone problem） 从静止出发，在重力作用下，沿光滑轨道由 A（x1， y1）滑到 B（x2，0），问沿怎样的轨道 y＝f(x)所 用时间   = = ( ) ( ) ( ) ( ) B A B A v ds T dt 最短。 mg T θ x y O x B(x2, 0) A(x1, y1) y O (x1, 0)

r=√2g(-y),d=+[r(x gly T不能是x的函数,因为它是上下限确定的对x的定积分。T也不能是y的函数,因为如 果T是y的“函数”,而y是x的函数,那么T就是x的复合函数,这显然也不对。上式 应记为T=T]=T[f(x)]=[/门,不代表x与T之间的对应关系,而是函数关系∫ (即x与y的对应关系)与T之间的对应关系。也就是无限多个函数值f(x)与T之间的 对应关系,即无限多个自变量f(x)的多元函数7,我们称T为y的泛函。把f(x)的宗量 x记成别的字母,例如u,也不会改变T的值,在不会引起混淆时也可以略去不记,即 T=T[(x)]=T[(a)]=T[/门。上式中另外几个量:x,x,y对这个泛函的定义 是不可缺少的,也是不可随意改用别的字母来记。最速落径问题就是要求出使泛函T取极 小值的函数fx)也就是函数几(x)的无限多个值] ③费马原理( Fermat Principle) 在介质内(一般可以不均匀),光从一点到另一点是沿光程取极值(极大、极小或者常数) 的路径传播的。(极端光程原理)或者说,是取所需时间为极值的路径传播的。(时间极值 原理)光程是传播路程l与折射率n的乘积nl,非均匀介质中为|ndl是路径函数的泛 (A) 函。传播时间是dt 与光程nd成正比。均匀介质内光的直线传播定律 光的反射定律、光的折射定律都是费马原理的实例。 3.有关泛函的初步知识: (1)我们把泛函Fq)与有限个自变量的多元函数f(x1…xn)作一对比。(为简 单起见,限于实数范围内) F[q() fx1…xn) 自变量∞个实数值q,∞维空间H(函数空n个实数x,n维空间R的点 间)的点 t0≤t≤l1,t连续, k=1,2,…n,k分立,有限个 因变量 F[q(1)]∈R(实数) f(x…xn)∈R(实数) 映射 H R "R 极值(逗留 当q(n)=q(1),Fq(=F极值 x 值) fx…xn)极值 极值条件 F=0 d=0 例线性泛函F)=c(m 线性函数 f(x1x2…xn)=∑C4x 2

2 v = g(y − y) 2 1 ， ds f (x) dx 2 = 1+  ( )  − +  = 2 1 1 2 2 x 1 x dx g y y y T T 不能是 x 的函数，因为它是上下限确定的对 x 的定积分。T 也不能是 y 的函数，因为如 果 T 是 y 的“函数”，而 y 是 x 的函数，那么 T 就是 x 的复合函数，这显然也不对。上式 应记为 T T y T f x T f = = =     ( )     ，不代表 x 与 T 之间的对应关系，而是函数关系 f （即 x 与 y 的对应关系）与 T 之间的对应关系。也就是无限多个函数值 f x( ) 与 T 之间的 对应关系，即无限多个自变量 f x( ) 的多元函数 T ,我们称 T 为 y 的泛函。把 f x( ) 的宗量 x 记成别的字母，例如 u，也不会改变 T 的值，在不会引起混淆时也可以略去不记，即 T T f x = =   ( )   T f u T f   ( ) =     。上式中另外几个量：x1，x2，y1 对这个泛函的定义 是不可缺少的，也是不可随意改用别的字母来记。最速落径问题就是要求出使泛函 T 取极 小值的函数 f(x)[也就是函数 f(x)的无限多个值]。 ○3 费马原理（Fermat Principle） 在介质内（一般可以不均匀），光从一点到另一点是沿光程取极值（极大、极小或者常数） 的路径传播的。（极端光程原理）或者说，是取所需时间为极值的路径传播的。（时间极值 原理）光程是传播路程 l 与折射率 n 的乘积 nl ，非均匀介质中为  ( ) ( ) B A ndl 是路径函数的泛 函。传播时间是 / dl dl ndl dt v c n c = = = 与光程 ndl 成正比。均匀介质内光的直线传播定律、 光的反射定律、光的折射定律都是费马原理的实例。 3． 有关泛函的初步知识： （1） 我们把泛函 F[q(t)]与有限个自变量的多元函数 f(x1…xn)作一对比。（为简 单起见，限于实数范围内） F[q(t)] f(x1…xn) 自变量 ∞个实数值 q(t)，∞维空间 H（函数空 间）的点 0 1 t t t t   , 连续，  个 n 个实数 xk，n 维空间 R n 的点 k n = 1, 2, , k 分立，有限个 因变量 F[q(t)]∈R（实数） f(x1…xn)  R （实数） 映射 H R ⎯⎯F→ R R n ⎯⎯f → 极值（逗留 值） 当 q(t)=qe(t)，F[q(t)]=Fe极值 当(x1, x2, …, xn)=(x1e, x2e, …, xne)， f(x1…xn)=fe极值 极值条件 δF＝0 df＝0 例 线性泛函  ( ) ( ) ( )  = 1 0 t t F q t C t q t dt 线性函数 ( ) = = n k n k k f x x x C x 1 1 2 , 

(2)等时变分和微分 (为了叙述方便,我们只考虑一个自由度的情形。推广到多个自由度的情形并不困难,请 同学们自行完成。) 在力学中我们经常运用的是自变量为t的函数q(t),训)等等。我们曾研究,随t的变化 引起的q的变化,在无限小情况下,用微分表示cq=qdt,我们现在要研究的,不是由 于t的变化,而是由于函数形式的微小改变引起的对应于同一个t的q()的值的变化,称 为变分,函数q(的变分()=列()-q)(即列)=q+(),q(,q(,代表 两个相近的运动规律,q()是同一时刻t的可与q的差。既然如此,自然有t=0。这 种变分称为等时变分。作为泛函的自变量的函数q(),其改变量应相当于δq而不是d 说明:从另一个角度来理解O=0。函数空间的一个确定的函数f()相当于一维空间的 个确定的数(常数)C;确定的函数的变分相当于确定的数的微分。既然dC=0是理 所当然的,6f()=0也就不难理解了。我们把看成一个确定的函数f()=t,bt=0 也就是顺理成章的了。 例 dq=atdr ()=(a+)2,oq()=q()-q()=72 例2.q()=1 d q (0)=2a“,=2a(-1)=2 ar" aInt满足6()=()=0 Bl 3. q(0)=Asinot, dq=oAcosotdt ()=(4+090,g=645mm满足y()(0 以上是某个参数引起的dq的几个实例;其实δq的形式是非常普遍的,并不限于某个或 某些参数的改变所引起 d (3)6与d,以及d的运算次序

3 （2）等时变分和微分 （为了叙述方便，我们只考虑一个自由度的情形。推广到多个自由度的情形并不困难，请 同学们自行完成。） 在力学中我们经常运用的是自变量为 t 的函数 q t( ), q (t) 等等。我们曾研究，随 t 的变化 引起的 q 的变化，在无限小情况下，用微分表示 dq = q dt ，我们现在要研究的，不是由 于 t 的变化，而是由于函数形式的微小改变引起的对应于同一个 t 的 q t( ) 的值的变化，称 为变分，函数 q(t)的变分 q(t) = q(t)− q(t) （即 q(t) = q(t)+q(t) ）， q(t)，q t( ), 代表 两个相近的运动规律，  q t( ) 是同一时刻 t 的 q 与 q 的差。既然如此，自然有 t = 0 。这 种变分称为等时变分。作为泛函的自变量的函数 q t( ) ，其改变量应相当于  q 而不是 dq 。 说明：从另一个角度来理解 t = 0 。函数空间的一个确定的函数 f t( ) 相当于一维空间的 一个确定的数（常数） C ；确定的函数的变分相当于确定的数的微分。既然 dC = 0 是理 所当然的，  f t( ) = 0 也就不难理解了。我们把 t 看成一个确定的函数 f t t ( ) = ，t = 0 也就是顺理成章的了。 例 1． ( ) 1 2 2 q t at = ， dq atdt = ( ) ( ) 1 2 2 q t a t = +  ， ( ) ( ) ( ) 1 2 2   q t q t q t t = − = 例 2． ( ) 1 2 q t at = ， 1 2 dq at dt  − = ( ) 1 2 q t at  + = ， ( ) 1 1 1 ln 2 2 q at t at t      = −   满足   q q (0 1 0 ) = = ( ) 例 3． q t A t ( ) = sin ， dq A t dt =    cos q t A A t ( ) = + (   )sin ，    q A t = sin 满足 q q (0 0 )       = =     以上是某个参数引起的  q 的几个实例；其实  q 的形式是非常普遍的，并不限于某个或 某些参数的改变所引起。 （3）δ与 d， dt d 以及 dt  的运算次序

考虑在t≤t≤t1的两条曲线(代表两个运动 规律,有时称之为轨道,其实和我们原有 的轨道概念是不同的。)q(t)(真实运动的位 q(t)+8 q(t) 置)和列(=q()+v)(邻近运动中无 限接近的为约束所允许的位置),起点和终 q(t+dtq(tp+dq(t) 点位置相同,q()=可(n),q1)=q(1) 即q(0)=6q(1)=0。(这个要求是下面讨 论哈密顿原理所要求的。思考:上面的例 题中,如何选取0和1才能满足这个要求?)考虑两曲线上的四个点M,N,M,N分 别对应于q(0),q(t+d),q()=q()+q()和可(t+dn)=q(t+d)+oq(t+d)。 我们用两种不同方法计算可(+dn) ●M→N→N (t+d)=q(1+dm)+aq(+d),q(t+d)=q(1)+dq() q()+dq()+6q(t)+6q( ●M→M→N (t+d)=q()+l(t), q()=q()+oq() =q()+oq()+q()+doq() 比较得od()=dq()即:在等时变分6=0的条件下,δ和d可以交换次序。 6=6()=()-dn(d) 6(d)d(q) dt dt dt 所以8和可交换次序。(在证明过程中用到了(dn)=d(o)=0) 我们进一步研究复合函数=f(q(),)在某一瞬时t,由于函数形式的变化引起q 的变化,q的变化引起的变化,不考虑∫的形式的改变即q()是函数空间的变点,而 ∫是确定的函数关系,这称为l的变分on=f(q()+(,)-f(q(),),所以 ,M(在多个q情况下表为=∑n。)。在此情况下,微分的运算 +gd与变分运算是很相似的但应注意,0=列()-0)与=d aq

4 考虑在 t0≤t≤t1 的两条曲线（代表两个运动 规律，有时称之为轨道，其实和我们原有 的轨道概念是不同的。）q(t)（真实运动的位 置）和 q(t) = q(t)+q(t) （邻近运动中无 限接近的为约束所允许的位置），起点和终 点位置相同， ( ) ( ) 0 0 q t = q t ， ( ) ( ) 1 1 q t = q t 。 即δq(t0)＝δq(t1)＝0。（这个要求是下面讨 论哈密顿原理所要求的。思考：上面的例 题中，如何选取 0 t 和 1 t 才能满足这个要求？）考虑两曲线上的四个点 M，N， M ，N 分 别对应于 q t( ) ，q t dt ( + ) ，q t q t q t ( ) = + ( )  ( ) 和 q t dt q t dt q t dt ( + = + + + ) ( )  ( ) 。 我们用两种不同方法计算 q(t + dt)。 ⚫ M→N→ N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q t dt q t dt q t dt q t dt q t dq t , ( ) q t dq t q t dq t    + = + + + + = + = + + + ⚫ M→ M → N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q t dt q t dq t q t q t q t , q t q t dq t d q t    + = + = + = + + + 比较得   dq t d q t ( ) = ( ) 即：在等时变分 t = 0 的条件下，  和 d 可以交换次序。 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 dq d dq dt dq dt dq d q q q dt dt dt dt dt          − = = = = =     所以δ和 dt d 可交换次序。（在证明过程中用到了   (dt d t ) = = ( ) 0 ） 我们进一步研究复合函数 u f q t t = ( ( ), ) 在某一瞬时 t ，由于函数形式的变化引起 q 的变化， q 的变化引起 u 的变化，不考虑 f 的形式的改变(即 q t( ) 是函数空间的变点，而 f 是确定的函数关系)，这称为 u 的变分   u f q t q t t f q t t = + − ( ( ) ( ), , ) ( ( ) ) ，所以 f u q q    =  （在多个 q 情况下表为 f u q q       =   ）。在此情况下，微分的运算 f f du dq dt q t     = +       与变分运算是很相似的。但应注意， q(t) = q(t)− q(t) 与 dq = q dt t q(t) q q(t+dt)=q(t)+dq(t) q(t)+δq(t) t0 t1 MM N N

不同,以及t=0 我们再研究泛函S]=「L(q)的变分,这应该是q的形式改变引起S的变化 (函数L的形式不变)。因此 6s以]=「"L(q,9)d=S{q+6d-S[ =L(q++69,)d-L(q4)=oL(q,9.)dm (至此得到,在等时变分的条件下(Ot=0),与「d可以交换次序。我们继续计算:) aL OL aL satos t8q dt d(aL d aL 8q+aqdr qa q q aL aL Sgdt dr(aq)aq (4)泛函的极值 力学中常见的泛函为:F)=/(4)(最速落径问题,费马原理中遇到的泛函也 类似)。我们已经得到 f aq aq 由于Oq()=0q(1)=0,积分上下限n,1任意选定,δq是任意的(<1<41)所以 6F=0等价于49-9=0,称为Eu方程(174) dt aq aq 5)易见, Euler方程和拉格朗日方程实质上是一样的,因此,拉格朗日方程的理论,例如运动 积分,循环积分等都可以运用到这里来。例如最速落径问题的T=f(yy,x)女中,∫不 显含x,所以有“类能量积分”y,-f=C整理得(n-y)(1+y2)=C 令y=cotO则有y=y1-C1sin2进一步,d==-2C1sin2OdO于是得 )+C2 y=y-2 (1-cos20) (6)等时变分与虚位移是从不同角度引入的概念,我们采用了同样的符号d

5 不同，以及 t = 0。 我们再研究泛函 Sq L(q q t)dt t t = 1 0 , , 的变分，这应该是 q 的形式改变引起 S 的变化 （函数 L 的形式不变）。因此   ( )     ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 0 0 , , , , , , , , t t t t t t t t S q L q q t dt S q q S q L q q q q t dt L q q t dt L q q t dt       = = + − = + + − =     （至此得到，在等时变分的条件下（ t = 0 ），  与 dt  可以交换次序。我们继续计算：） 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 t t t t t t t t t t L L L L d L d L d L q q dt q q dt q q q dt q q q q dt q dt q dt q L d L L q qdt q dt q q                           = + = + = + −                                   = − −                （4） 泛函的极值 力学中常见的泛函为：  ( ) ( )  = 1 0 , , t t F q t f q q t dt （最速落径问题，费马原理中遇到的泛函也 类似）。我们已经得到          −          −   = 1 0 1 0 t t t t qdt q f q f dt d q q f F     由于   q t q t ( 0 1 ) = = ( ) 0 ，积分上下限 0 1 t t , 任意选定，  q 是任意的（ 0 1 t t t   ）所以  F = 0 等价于 = 0   −   q f q f dt d  ， 称为 Euler 方程（1744）。 (5) 易见， Euler 方程和拉格朗日方程实质上是一样的，因此，拉格朗日方程的理论，例如运动 积分，循环积分等都可以运用到这里来。例如最速落径问题的 ( ) 2 1 , , x x T f y y x dx =   中， f 不 显含 x ，所以有“类能量积分” f y f C y   − =   整理得 ( )( ) 2 1 1 y y y C − + = 1  令 y  = cot 则有 2 1 1 y y C = − sin  进一步， 2 1 2 sin dy dx C d y = = −    于是得 ( ) ( ) 1 2 1 1 2 sin 2 2 1 cos 2 2 C x C C y y     = − − +    = − −  （6） 等时变分与虚位移是从不同角度引入的概念，我们采用了同样的符号 