复旦大学：《电动力学》课程电子讲义（PDF演示版）第六章 电磁波的辐射 06-04 运动点电荷的场

经典电动力学导论 Let there be light 第六章:电磁波的辐射§64 φ(T,t) 6[7-r(tr)] d rq(tr)与r有关,因为tr=t-|r-y1/c 4丌∈0 q 6[u(r 4丌∈0J|r一 6函数的宗量是r的函数:u(r)=7-rq(tr) 仅当不是”的函数时,才有/6(-0), 1 令:1=ex·[-T(tr) ey·[r-74(tr) φ(T,t) =9/(a d r dy dz 变量代换:dx'dydz′=→du1du2da3 4丌∈0J|-r 6(u) y dui due du3 J为雅可比( Jacobi)行列式 丌e U1 du 0xay′0z′ du? au2 au2 ax a 0 0u30 复旦大学物理系 林志方徐建军2

Let there be light ²;>ÄåÆØ 18Ùµ>^ÅË § 6.4 ϕ(r~, t) = q 4π0 Z δ[r~ 0 − r~q(tr)] |r~ − r~ 0 | dτ 0 , rq(tr) † r~ 0 k'§Ï tr = t − |r~ − r~ 0 |/c = q 4π0 Z δ[u~(r~ 0 )] |r~ − r~ 0 | dτ 0 , δ ¼êmþ´ r~ 0 ¼êµu~(r~ 0 ) = r~ 0 − r~q(tr) = r~0 Ø´ r~ 0 ¼êž§âk Z δ(r~ 0 − r~0) |r~ − r~ 0 | dτ 0 = 1 |r~ − r~0| -µu1 = eˆx · [r~ 0 − r~q(tr)], u2 = eˆy · [r~ 0 − r~q(tr)], u3 = eˆz · [r~ 0 − r~q(tr)] ϕ(r~, t) = q 4π0 Z δ(u~) |r~ − r~ 0 | dx 0 dy 0 dz 0 Cþ†µdx 0 dy 0 dz 0 =⇒ du1 du2 du3 = q 4π0 Z δ(u~) |r~ − r~ 0 | J −1 du1 du2 du3 J äŒ' (Jacobi) 1ª J =               ∂u1 ∂x0 ∂u1 ∂y0 ∂u1 ∂z0 ∂u2 ∂x0 ∂u2 ∂y0 ∂u2 ∂z0 ∂u3 ∂x0 ∂u3 ∂y0 ∂u3 ∂z0               E￾ŒÆ ÔnX  Mï
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经典电动力学导论 Let there be light 第六章:电磁波的辐射§64 φ(T,t) 6[7-r(tr)] d rq(tr)与r有关,因为tr=t-|r-y1/c 4丌∈0 q 6[u(r 4丌∈0J|r一 6函数的宗量是r的函数:u(r)=7-rq(tr) 仅当元不是的函数时,才有/( 1 dT 令:1=en·[一T(tr),u2=ey·[-7(tx),3=e2·[-7(t+ φ(T,t) =9/(a d r dy dz 变量代换:dx'dydz′=→du1du2da3 4丌∈0J|-r 6(u) 4π∈0J|r-r y dui due du3 J为雅可比( Jacobi)行列式 Ou1Ox′-x(tr) arq(tr)atr U1 du ax/ ax at ax′ 0xay′0z′ 1 Qng. 2 ax a 0 0u30 复旦大学物理系 林志方徐建军2

Let there be light ²;>ÄåÆØ 18Ùµ>^ÅË § 6.4 ϕ(r~, t) = q 4π0 Z δ[r~ 0 − r~q(tr)] |r~ − r~ 0 | dτ 0 , rq(tr) † r~ 0 k'§Ï tr = t − |r~ − r~ 0 |/c = q 4π0 Z δ[u~(r~ 0 )] |r~ − r~ 0 | dτ 0 , δ ¼êmþ´ r~ 0 ¼êµu~(r~ 0 ) = r~ 0 − r~q(tr) = r~0 Ø´ r~ 0 ¼êž§âk Z δ(r~ 0 − r~0) |r~ − r~ 0 | dτ 0 = 1 |r~ − r~0| -µu1 = eˆx · [r~ 0 − r~q(tr)], u2 = eˆy · [r~ 0 − r~q(tr)], u3 = eˆz · [r~ 0 − r~q(tr)] ϕ(r~, t) = q 4π0 Z δ(u~) |r~ − r~ 0 | dx 0 dy 0 dz 0 Cþ†µdx 0 dy 0 dz 0 =⇒ du1 du2 du3 = q 4π0 Z δ(u~) |r~ − r~ 0 | J −1 du1 du2 du3 J äŒ' (Jacobi) 1ª J =               ∂u1 ∂x0 ∂u1 ∂y0 ∂u1 ∂z0 ∂u2 ∂x0 ∂u2 ∂y0 ∂u2 ∂z0 ∂u3 ∂x0 ∂u3 ∂y0 ∂u3 ∂z0               ∂u1 ∂x0 = ∂[x 0 − xq(tr)] ∂x0 = 1 − ∂xq(tr) ∂tr ∂tr ∂x0 = 1 − vqx(tr) ∂tr ∂x0 = 1 − αxvqx c E￾ŒÆ ÔnX  Mï
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经典电动力学导论 Let there be light 第六章:电磁波的辐射§64 φ(T,t) 6[7-r(tr)] d rq(tr)与r有关,因为tr=t-|r-y1/c 丌∈0 q 6[u(r 6函数的宗量是r的函数:u(r)=7-rq(tr) 4丌e 仅当元不是的函数时,才有/( 1 dT 令:1=ex·[-T(tr) ey·[r-74(tr) φ(T,t) =9/(a d r dy dz 变量代换:dax'dy'dz′=→du1da2du3 4丌∈0J|-r 6(u) 4π∈0J|r-r y dui due du3 J为雅可比( Jacobi)行列式 P['-sq(tr)] arq(tr)at U1 du 0x′ at ax′ 0xay′0z′ du? au2 au2 ax a 0 atr at-r-r'l/c 1am-r'l 0u30 ax/ cr-rnI 复旦大学物理系 林志方徐建军2

Let there be light ²;>ÄåÆØ 18Ùµ>^ÅË § 6.4 ϕ(r~, t) = q 4π0 Z δ[r~ 0 − r~q(tr)] |r~ − r~ 0 | dτ 0 , rq(tr) † r~ 0 k'§Ï tr = t − |r~ − r~ 0 |/c = q 4π0 Z δ[u~(r~ 0 )] |r~ − r~ 0 | dτ 0 , δ ¼êmþ´ r~ 0 ¼êµu~(r~ 0 ) = r~ 0 − r~q(tr) = r~0 Ø´ r~ 0 ¼êž§âk Z δ(r~ 0 − r~0) |r~ − r~ 0 | dτ 0 = 1 |r~ − r~0| -µu1 = eˆx · [r~ 0 − r~q(tr)], u2 = eˆy · [r~ 0 − r~q(tr)], u3 = eˆz · [r~ 0 − r~q(tr)] ϕ(r~, t) = q 4π0 Z δ(u~) |r~ − r~ 0 | dx 0 dy 0 dz 0 Cþ†µdx 0 dy 0 dz 0 =⇒ du1 du2 du3 = q 4π0 Z δ(u~) |r~ − r~ 0 | J −1 du1 du2 du3 J äŒ' (Jacobi) 1ª J =               ∂u1 ∂x0 ∂u1 ∂y0 ∂u1 ∂z0 ∂u2 ∂x0 ∂u2 ∂y0 ∂u2 ∂z0 ∂u3 ∂x0 ∂u3 ∂y0 ∂u3 ∂z0               ∂u1 ∂x0 = ∂[x 0 − xq(tr)] ∂x0 = 1 − ∂xq(tr) ∂tr ∂tr ∂x0 = 1 − vqx(tr) ∂tr ∂x0 = 1 − αxvqx c ∂tr ∂x0 = ∂[t − |r~ − r~ 0 |/c] ∂x0 = − 1 c ∂|r~ − r~ 0 | ∂x0 = 1 c x − x 0 |r~ − r~ 0 | = αx c , E￾ŒÆ ÔnX  Mï
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经典电动力学导论 Let there be light 第六章:电磁波的辐射§64 φ(T,t) 6[7-r(tr)] d rq(tr)与r有关,因为tr=t-|r-y1/c 丌∈0 q 6[u(r 4丌∈0J|r一 6函数的宗量是r的函数:u(r)=7-rq(tr) 仅当元不是的函数时,才有/( 1 dT 令:1=ex·[-T(tr) ey·[r-74(tr) φ(T,t) =9/(a d r dy dz 变量代换:dax'dy'dz′=→du1da2du3 4丌∈0J|-r 6(u) 4π∈0J|r-r y dui due du3 J为雅可比( Jacobi)行列式 P['-sq(tr)] arq(tr)at U1 du 0x′ at ax′ 0xay′0z′ du? au2 au2 ax a 0 atr at-r-r'l/c 1am-r'l 0u30 ax/ ratr_az cr-rnI O 复旦大学物理系 林志方徐建军2

Let there be light ²;>ÄåÆØ 18Ùµ>^ÅË § 6.4 ϕ(r~, t) = q 4π0 Z δ[r~ 0 − r~q(tr)] |r~ − r~ 0 | dτ 0 , rq(tr) † r~ 0 k'§Ï tr = t − |r~ − r~ 0 |/c = q 4π0 Z δ[u~(r~ 0 )] |r~ − r~ 0 | dτ 0 , δ ¼êmþ´ r~ 0 ¼êµu~(r~ 0 ) = r~ 0 − r~q(tr) = r~0 Ø´ r~ 0 ¼êž§âk Z δ(r~ 0 − r~0) |r~ − r~ 0 | dτ 0 = 1 |r~ − r~0| -µu1 = eˆx · [r~ 0 − r~q(tr)], u2 = eˆy · [r~ 0 − r~q(tr)], u3 = eˆz · [r~ 0 − r~q(tr)] ϕ(r~, t) = q 4π0 Z δ(u~) |r~ − r~ 0 | dx 0 dy 0 dz 0 Cþ†µdx 0 dy 0 dz 0 =⇒ du1 du2 du3 = q 4π0 Z δ(u~) |r~ − r~ 0 | J −1 du1 du2 du3 J äŒ' (Jacobi) 1ª J =               ∂u1 ∂x0 ∂u1 ∂y0 ∂u1 ∂z0 ∂u2 ∂x0 ∂u2 ∂y0 ∂u2 ∂z0 ∂u3 ∂x0 ∂u3 ∂y0 ∂u3 ∂z0               ∂u1 ∂x0 = ∂[x 0 − xq(tr)] ∂x0 = 1 − ∂xq(tr) ∂tr ∂tr ∂x0 = 1 − vqx(tr) ∂tr ∂x0 = 1 − αxvqx c ∂tr ∂x0 = ∂[t − |r~ − r~ 0 |/c] ∂x0 = − 1 c ∂|r~ − r~ 0 | ∂x0 = 1 c x − x 0 |r~ − r~ 0 | = αx c , ∂tr ∂x0 = αx c E￾ŒÆ ÔnX  Mï
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u1 due du3 4丌∈0 au1 a l 复旦大学物理系 林志方徐建军3

ϕ(r~, t) = q 4π0 Z δ(u~) |r~ − r~ 0 | J −1 du1 du2 du3 ∂u1 ∂x0 = 1 − αxvqx c , E￾ŒÆ ÔnX  Mï
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