§4.3单一参数的交流电路 分析各种正弦交流电路，不外乎要确定电路中电压与电流之间的关系 (大小和相位)，并讨论电路中能量的转换和功率问题。由于电阻、电感和 电容是构成正弦交流电路的基本元件，因此只有掌握这三个元件上电压与 电流之间的关系，才能对复杂的电路进行分析。 一，电阻元件的交流电路 1.电压与电流的关系 设u=U sinot 根据欧姆定律： u=iR 片-0o.2 -sinot=I sin @t=2 Isin @t R R 相量式： i=1∠0 相量图 U=U∠0°=iR 可见电阻上电压与电流的关系为： ①频率相同 ②大小关系：1只 ③相位关系：u、i相位相同 相位差p=y。-4,=0 2.功率关系 (1)瞬时功率p 瞬时功率p等于瞬时电压与瞬时电流的乘积。 将i=√2 Isin ot u=√2 Usin t代入得： 90
90 §4.3 单一参数的交流电路 分析各种正弦交流电路，不外乎要确定电路中电压与电流之间的关系 （大小和相位），并讨论电路中能量的转换和功率问题。由于电阻、电感和 电容是构成正弦交流电路的基本元件，因此只有掌握这三个元件上电压与 电流之间的关系，才能对复杂的电路进行分析。 一．电阻元件的交流电路 1.电压与电流的关系 设u U ωt m sin 根据欧姆定律: u iR ωt R U R U ωt R u i m sin sin 2 I ω t I ω t m sin 2 sin 相量式： I I0 U U I R 0 可见电阻上电压与电流的关系为： ①频率相同 ②大小关系： R U I ③相位关系 ：u、i 相位相同 相位差 ψu ψi 0 2.功率关系 (1) 瞬时功率 p 瞬时功率 p 等于瞬时电压与瞬时电流的乘积。 将i 2 I sin ω t u 2U sin ω t 代入得：
p-u-i-U.I-sin@t-U.I.(1-cos2w0 结论：由瞬时功率曲线可知p≥0且随时间变化，电阻为耗能元件。 (2)平均功率（有功功率）P 平均功率为瞬时功率在一个周期内的平均值。 pdd.-c020 UI-c0s2o0d-UI=PR- R 单位：瓦特(W) 注意：通常交流电器的铭牌数据或交流功率表测量的功率均指有功功 荣。 二，电感元件的交流电路 1.电压与电流的关系 基本关系式：-L 。inNk 设：i=√21sinw1 则u=L.n=反oLsin(@+90°)=Usin(at+90) dt uti u 可见电感上电压与电流的关系为： ①频率相同 ②大小关系：U:u或1：品 定义：感抗X,=L=2πfL(2):显然，X是频率的函数。 则：U=1X 在直流电路中：f=0,X0,电感L视为短路 在交流电路中：f↑→X↑，如图所示。 -2X 所以，电感L具有“通直阻交”的作用 91
91 p u i U I ωt m m 2 sin U I ( ωt) m m 1 cos 2 2 1 结论: 由瞬时功率曲线可知 p 0且随时间变化，电阻为耗能元件。 (2) 平均功率(有功功率)P 平均功率为瞬时功率在一个周期内的平均值。 T T u i dt T p dt T P 0 0 1 1 U I ( ω t)dt T T m m 0 1 cos 2 2 1 1 UI( ωt)dt UI T T 0 1 cos2 1 R U I R 2 2 单位:瓦特（W） 注意：通常交流电器的铭牌数据或交流功率表测量的功率均指有功功 率。 二．电感元件的交流电路 1.电压与电流的关系 基本关系式： dt di u eL L 设：i 2 I sin ω t 则 d t d(I ωt) u L m sin 2 Iω Lsin(ω t 90) 2U sin( ωt 90) 可见电感上电压与电流的关系为： ①频率相同 ②大小关系：U LI 或 ωL U I 定义：感抗 X L ωL 2π f L (Ω)；显然，XL是频率的函数。 则: X L U I 在直流电路中：f = 0, XL=0，电感 L 视为短路； 在交流电路中：f↑→XL↑，如图所示。 所以，电感 L 具有“通直阻交”的作用 u(t) L + iL(t)
③在相位上电压超前电流90°，相位差0=w。-4,=90 ④相量关系：根据：i=√21sino1u=√21oL-sin(o1+90)可得相量 式： i=1∠0° 0-U∠90°=1mL∠90 U 心超前i90 则：号-号490=joL或0=iot=i60x 相量图 此即电感电路复数形式的欧姆定律。 2.功率关系 ()瞬时功率 pi-sinoIsin(+)-sinoicosot-Ul-sin2ot 2 =UIsin2@t 由瞬时功率曲线可以看出电感元件 是储能元件且与外电路之间存在能量的 交换。 (2)平均功率 +1D<0/+1D<0 UIsin (20d0 换言之，电感元件不消耗功率。 p>0\/p>0 储能放能储能放能 (3)无功功率Q 为了衡量电感电路中能量交换的规模，定义瞬时功率的最大值为 电路的无功功率，用Q表示。 即：Q=U1=rx=0k, 单位：乏尔(var) 02
92 ③在相位上电压超前电流 90°，相位差 90 ψu ψi ④相量关系：根据：i 2I sin ωt u 2I ω L sin ( ωt 90 )可得相量 式： I I0 U U90 Iω L90 则： j ωL I U I U 90 或U jI ω L I (jX ) L 此即电感电路复数形式的欧姆定律。 2.功率关系 (1) 瞬时功率 p i u U I ωt ( ωt ) m m sin sin 90 ωt U I U I ωt ωt m m m m sin 2 2 sin cos UI sin 2ωt 由瞬时功率曲线可以看出电感元件 是储能元件且与外电路之间存在能量的 交换。 (2) 平均功率 sin 2 0 1 1 UI ( ωt)dt T p dt T P T T o o 换言之，电感元件不消耗功率。 (3) 无功功率 Q 为了衡量电感电路中能量交换的规模，定义瞬时功率的最大值为 电路的无功功率，用 Q 表示。 即： L L X Q U I I X U 2 2 单位：乏尔（var）
例1：把一个0.1H的电感接到户50Hz,U=10V的正弦电源上，求I, 如保持U不变，而电源f=5000Hz这时I为多少？ 解：当f=50Hz时 X2=2π=2×3.14x50×0.12=31.49 品4 当f=5000Hz时 X2=21=2×3.14×5000×0.1=31402 1名品=d 所以电感元件具有“通直阻交”、“通低频阻高频”的特性 三.电容元件的交流电路 1.电流与电压的关系 基本关系式：1=c 设：u=2 Usin @t 则：i=c的=5 Cwexut =√2 U@Csin@1+90°) 可见电容上电压与电流的关系为： ①频率相同 ②大小关系：I=aU或U=x之 定义：容抗Xe=0C2mfC 1 (2),显然，Xc是频率的函数。 则：U=IXc 在直流电路中：Xc→∞，电容C视为开路 =U2fc)
93 例 1: 把一个 0.1H 的电感接到 f=50Hz, U=10V 的正弦电源上，求 I， 如保持 U 不变，而电源 f = 5000Hz, 这时 I 为多少？ 解：当 f = 50Hz 时 XL 2πfL 23.14500.1Ω 31.4Ω mA X . U I L 318 314 10 当 f = 5000Hz 时 XL 2πfL 23.1450000.1 3140Ω . . mA X U I L 318 3140 10 所以电感元件具有“通直阻交”、 “通低频阻高频”的特性 三．电容元件的交流电路 1. 电流与电压的关系 基本关系式： dt du i C 设：u 2U sin ω t 则： UC ω ωt dt du i C 2 cos 2U ωCsin(ω t 90) 可见电容上电压与电流的关系为： ①频率相同 ②大小关系：I CU 或 C 1 I U 定义：容抗 ωC π f C X C 2 1 1 （Ω），显然，XC是频率的函数。 则: X C U I 在直流电路中：XC→∞ ，电容 C 视为开路；
在交流电路中：f↑→Xc↓，如图所示。 所以，电容C具有“隔直通交”、“通高频阻低频”的作用。 ③电流超前电压90°，相位差p=4。-4,=-90° ④根据u=√2 Usin@1和i=√2 U@C-sin(a1+90°)可得相量式： 0=-ic-ix 此即电容电路中复数形式的欧姆定律。 2.功率关系 ui ()瞬时功率 p=iu=UIsinotsin(01+90) _0↓sin2w1=U1sin2at 2 由瞬时功率曲线可以看出电容元件 是储能元件且与外电路之间存在能量的 t p>0 -/p>0 交换。 充电放电充电放电 (2)平均功率P P=pdi=。Isin2awd=0 与电感元件一样，电容元件不消耗功率。 (3)无功功率Q 为了同电感电路的无功功率相比较， 这里也设i=√21sint,则：u=2Usin(w1-90) 所以p=-UIsin2ot 同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。 94
94 在交流电路中：f↑→XC↓，如图所示。 所以，电容 C 具有“隔直通交”、“通高频阻低频”的作用。 ③电流超前电压 90°，相位差 90 ψu ψi ④根据u 2U sin ωt 和i 2Uω C sin( ωt 90)可得相量式： X C jI ω C U jI 1 此即电容电路中复数形式的欧姆定律。 2. 功率关系 (1) 瞬时功率 p i u U I ωt ( ωt ) m m sin sin 90 ωt UI ωt U I m m sin 2 sin 2 2 由瞬时功率曲线可以看出电容元件 是储能元件且与外电路之间存在能量的 交换。 (2) 平均功率 Ｐ sin 2 0 1 1 0 0 UI ( ωt)dt T p dt T P T T 与电感元件一样，电容元件不消耗功率。 (3) 无功功率 Q 为了同电感电路的无功功率相比较， 这里也设i 2I sin ωt ，则：u 2U sin ( ωt 90 ) 所以 p UI sin 2ωt 同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值