海南大学：《电工学》课程教学资源（教案讲义）第四章 正弦交流电路

此外正弦量还可以用旋转有向线段表示。 设正弦量：u=U sin@t+W,如下图所示： u t 设有向线段长度为U；有向线段与横轴夹角为初相位g,有向线段以 速度按逆时针方向旋转；则该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即 表示相应时刻正弦量的瞬时值。 正弦量的各种表示方法是分析与计算正弦量的基础。以上表示方法在 正弦量的计算中都非常复杂，为了使计算简化，下面介绍一种新的表示方 法一相量法。 一、正弦量的相量表示法 相量表示法实际就是复数表示法。 1,复数的三种表示形式 6 A 设A为复数： (1)代数式A=a+jb a+ 式中：b=rsin一复数的模 =arctan一复数的辐角 a (2)三角式 A=rcos w+jrsin w=r(cos w+jsin w) (3)指数式 由欧拉公式：cosy=e”+e 2 .sin y=elr-e 2j 85

85 此外正弦量还可以用旋转有向线段表示。 设正弦量: u U (ω t ψ)  m sin  ，如下图所示： 设有向线段长度为Um；有向线段与横轴夹角为初相位ψ，有向线段以 速度 按逆时针方向旋转；则该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即 表示相应时刻正弦量的瞬时值。 正弦量的各种表示方法是分析与计算正弦量的基础。以上表示方法在 正弦量的计算中都非常复杂，为了使计算简化，下面介绍一种新的表示方 法——相量法。 一．正弦量的相量表示法 相量表示法实际就是复数表示法。 1．复数的三种表示形式 设 A 为复数: (1) 代数式 A=a + jb 式中: b  rsin ψ —复数的模 a b ψ  arctan —复数的辐角 (2) 三角式 A  r cos ψ  j rsin ψ  r( cos ψ  jsin ψ) (3) 指数式 由欧拉公式: , e e ψ j ψ j ψ 2 cos    j e e ψ j ψ j ψ 2 sin   

可得：e'"=cosw+jsin9 代入三角式可得指数式： A=relv (4)极坐标式 指数式也可以写成人以下形式：A=r∠华，称为极坐标式。 小结：A=a+jb=rcosw+jrsinw=reP=r∠y 2.相量 表示正弦量的复数称相量。 设正弦量：u=U.sin(ot+以 相量表示：)-Ue"=U∠w 式中：正弦量的有效值U称为相量的模：正弦量的初相角称为相量 的辐角，这种表示形式称为有效值相量。 或表示为：0m=Une"=Um∠g 式中：正弦量的幅值U称为相量的模；正弦量的初相角y称为相量的 辐角，这种表示形式称为幅值相量。 相量和正弦量之间有着一一对应的关系，说明如下： 设有复数 A=Inca+”=Icos(ol+）+jlsin(ol+） 则有：i=3 I4]=Isin(or+) 改写成：i=5]=3 nlei"ei]=3 miei]=1nsin(om+p) 由此可见相量1.与正弦电流i之间存在着一一对应的关系。不仅如 此，用相量表示正弦量还可以简化计算。 86

86 可得: e ψ j ψ j ψ  cos  sin 代入三角式可得指数式： j ψ A  r e (4) 极坐标式 指数式也可以写成人以下形式： A  rψ ，称为极坐标式。 小结： A a jb r ψ jr ψ re r ψ j ψ    cos  sin    2．相量 表示正弦量的复数称相量。 设正弦量: u U ( ωt ψ)  m sin  相量表示: U Ue U ψ j ψ     式中：正弦量的有效值U 称为相量的模；正弦量的初相角ψ称为相量 的辐角，这种表示形式称为有效值相量。 或表示为：U U e Um ψ j ψ  m  m   式中：正弦量的幅值U m 称为相量的模；正弦量的初相角ψ称为相量的 辐角，这种表示形式称为幅值相量。 相量和正弦量之间有着一一对应的关系，说明如下： 设有复数 e cos( ) sin( ) (            t j t t m m ψ) m A I I I j 则有： e ] sin( ) (         i m t i m ψ) mI I j [ 改写成： e ] e e ] e ] sin( ) (               i m m m t t t t m m ψ m ψ) mI I I I j j j j [ [ [  由此可见相量 mI  与正弦电流 i 之间存在着一一对应的关系。不仅如 此，用相量表示正弦量还可以简化计算

3.基尔霍夫定律的相量形式 设有两个同频率的正弦电流： i=Im sin(ot+)=3mlIm(]=3mIm elve]=mli] i=Im2sin(ot+2)=3mIe(:]=3mlImeei]=3mli 求两者之和： i=i+i=3mllm eio]+3mlim e]=3ml(+1m)el]=3mll ei] =I sin(am+w） 即： i=i+i=3ml(I+m)ei]=3mll ei ]=I sin(ot+) 结论： ①两个同频率正弦量之和仍为同频率的正弦量： ②两个同频率正弦量之和的相量等于两个同频率正弦量的相量之和： 因此，求两个同频率正弦量之和，可以转换成求他们的相量之和（也适合于 有效值相量)： ③KCL与KVL的相量形式： 1=0 ∑u=0 可以写成Σ1=0 Σ0=0 4.相量图 相量是复数，所以也可以用复平面上的有向线段表示，称为相量图 设有同频率的正弦电压： 4=2202sin(ot+20°)V 相量为： 01=220∠+20V 2=110V2sin(@t+45)V 相量为： 0=110∠+45V 把相量用复平面上有向线段来表示，如右图所示，即为相量图。 87

87 3. 基尔霍夫定律的相量形式 设有两个同频率的正弦电流： sin( ) e ] e e ] e ] ( 1 1 t t t i t m m m      j j j j [ [ [ m1 ψ m1 ψ ) m1 m1 I I I I     1   1     sin( ) e ] e e ] e ] ( 2 2 t t t i t m m m      j 2 j j 2 j 2 2 [ [ [ m ψ m ψ ) m m I I I I     2   2     求两者之和： e ] e ] ) e ] e ] 1 2 t t t t i i i m m m m   j  j  1 2 j 2 j 1 [ [ [( [ m m m m m I I I I I                  sin(t  ) mI 即： ) e ] e ] sin( ) 1 2     i  i  i  m   m  t  t t m m m m I I I I j j 1 2 [( [    结论： ① 两个同频率正弦量之和仍为同频率的正弦量； ② 两个同频率正弦量之和的相量等于两个同频率正弦量的相量之和； 因此，求两个同频率正弦量之和,可以转换成求他们的相量之和（也适合于 有效值相量）； ③ KCL 与 KVL 的相量形式： 0 0     u i 可以写成 0 0     U I   4. 相量图 相量是复数，所以也可以用复平面上的有向线段表示，称为相量图。 设有同频率的正弦电压： u1  220 2 sin(ω t  20 ) V 相量为： U 1  220   20V u2  110 2 sin(ω t  45) V 相量为： U 2  110   45 V 把相量用复平面上有向线段来表示，如右图所示，即为相量图

求相量之和可以用复数计算， 也可以在相量图上用平四边形法则 45 运算。 120° +1 注意 ①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量： ②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示： ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上： ④相量的书写方式：模用最大值表示，则用符号：心。、im, 实际应用中，模多采用有效值，则用符号：心、i。 ⑥”的数学意义和物理意义 旋转90°因子：e0=cos90°±jsin90°=±j 设相量A=re" 相量A乘以em,A将逆时针旋转0°，得到B, 相量A乘以e心，A将顺时针旋转90°，得到C, 如右图所示。 例1：将山、用相量表示，已知 4=220N2sin(@1+20°)y 4=110V2sina1+45°)y 解：相量式为： 0,=220∠+20ΨU2=110∠+45Ψ /450 相量图见右心，落后于心，相位 20° +1 差为-25°。 例2：已知i=12.7W2sin(3141+30)Ai,=112sin(3141-60)A 88

88 求相量之和可以用复数计算， 也可以在相量图上用平四边形法则 运算。 注意： ①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量； ②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示； ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上； ④相量的书写方式：模用最大值表示 ，则用符号： m m U 、 I   ， 实际应用中，模多采用有效值，则用符号：U、 I  。 ⑥“j”的数学意义和物理意义 旋转90因子： e j j j        cos90 sin 90 90 设相量 jψ A  re  相量 A 乘以 j90 e ， A 将逆时针旋转90，得到B ， 相量 A 乘以 -j90 e ， A 将顺时针旋转90，得到C ， 如右图所示。 例 1: 将 u1、u2 用相量表示，已知 u1  220 2 sin(ω t  20 ) V u2 110 2 sin(ω t  45) V 解: 相量式为： U 1  220 20V U 2 110 45 V 相量图见右 U1  落后于U2  ，相位 差为-25°。 例 2: 已知i 1  12 .7 2 sin ( 314 t  30 )A i2  11 2 sin( 314 t  60 )A

求：i=i+ig 解：i,=12.7∠30°A i2=11∠-60°A i=i+i2=12.7∠30°A+11∠-60°A =12.7(cos30°+jsin30)A+11cos60°-jsin60°)A =(16.53.18)A=16.8∠-10.9°A i=16.8√2sin(314t-10.9)A 有效值I=16.8A 例3：图示电路是三相四线制电源，已知三个电源的电压分别为： 44=220V2sin314tp +0A 4a=2202sin(3141-120°)W N 4e=2202sin/3141+120)y -B 试求电压WB，并画出相量图。 解：用相量法计算： U,=220∠0V 0 0。=220∠-120V 30°0 0c=220∠+120W 由KVL定律可知 U 0=0-0。=220∠0-220∠-120V =220V-220[cos(-120)+jsin(-120) =220(1+0.5+j0.866)Ψ-220×1.73∠30V-380∠307 所以 相量图如右图所示，根据相量之间的几何关系也可以得出上述结论。 89

89 求： 1 2 i  i  i 解： I  1  12.730A I  2  11  60A I   I  1  I  2 12.730A11 60A 12.7( cos 30   jsin 30 )A11( cos 60   jsin 60 )A  (16.5-j3.18 )A 16.810.9A i  16.8 2 sin( 314 t 10.9 ) A 有效值 I =16.8 A 例 3: 图示电路是三相四线制电源，已知三个电源的电压分别为： uA  220 2 sin 314 tV uB  220 2 sin ( 314 t 120 )V uC  220 2 sin ( 314 t 120 )V 试求电压 uAB ，并画出相量图。 解: 用相量法计算： U A  2200V U B  220120V U C  220120V 由 KVL 定律可知 U AB U A U B  2200V  220120 V  220 V  220   cos ( 120 )  jsin ( 120) V  220 ( 1 0.5 j 0.866 )V  220 1.7330V  38030V 所以 u AB  380 2 sin(ωt  30)V . 相量图如右图所示，根据相量之间的几何关系也可以得出上述结论