不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。在本课程中主 要讨论定态波函数,后面的φ都是指定态波函数y(x,y,z) φ一般是复数形式:ψ=f+g,f和g是坐标的实函数。ψ的 共轭复数φ定义为φ=f-ig。为了求ψ·只需在ψ中出现i的地 方都用一i代替即可。由于 g'y=(f-ig)(ftig)=f+g 1.13) 因此φ'是实数,而且是正值。为了书写方便,有时也用φ代替 yφ 由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比,即在 该点附近找到粒子的几率正比于φ'φ,所以通常将用波函数φ描 述的波称为几率波。在原子、分子等体系中,将φ称为原子轨道或 分子轨道;将中φ称为几率密度,它就是通常所说的电子云; φ'如dz为空间某点附近体积元dx中电子出现的几率。 用量子力学处理微观体系时,要设法求出ψ函数的具体形式 虽然不能把ψ看成物理波(如电场或磁场的波动),但中是状态的 种数学表示,能给出关于体系状态和该状态各种物理量的取值 及其变化的信息,对了解体系的冬种性质极为重要。例如氢原子 1s态的波函数为 exp 这是将氢原子核放在极坐标系的原点时,描述电子运动状态的波 函数。式中r表示电子离核的距离,a=52.92pm,称玻尔半径。 p[-2ra0] 为氢原子1s态的几率密度,即电子云的分布。体系处在该状态 的各种物理性质如能量、动量、角动量等一系列物理量可由y求 得(见假设■)。 (x,y,z)在空间某点的数值,可能是正值,也可能是负值,徵 粒的波性通过y的十、一号反映出来,这和光波是相似的。 17
y的性质与它是奇函数还是偶函数有关, 偶函数:p(x,y,z)=φ(-x,-y,-z) 奇函数:y(x,y 波函数的奇、偶性是具有波性的徽观粒子的重要性质,涉及微粒从 一个状态跃迁至另一个状态的几率性质等。 由上可见,描述微观粒子运动状态的波函数y,对了解该体系 的性质和运动规律是十分重要的,因为它全面地规定了体系的各 种性质,它并不局限于只和某一个物理量相联系有人认为中本身 没有什么物理意义它的物理意义要通过￠2来体现。这种理解带 有局限性,只看到了中2的性质,即只看到y性质的一个侧面。其 实,中和体系的各种性质都有联系,而不局限在电子云这一点上。 由于波函数描述的波是几率波,所以波函数φ必须满足下列 个条件 (1)波函数必须是单值的,即在空间每一点中只能有一个值; (2)波函数必须是连续的,即ψ的值不出现突跃;φ对x,y,z 的一级微商也是连续函数; (3)波函数必须是平方可积的,即ψ在整个空间的积分 r为一个有限数,通常要求波函数归·-亿,即 y dt=1 (1.14) 符合这三个条件的波函数称为合格波函数或品优波函数。 2.力学量和算符 假设Ⅱ对一个微观体系的每个可观测的力学量都对应着 个线性自轭算符。 对某一函数进行运算操作,规定运算操作性质的符号称为算 符,例如asin,log等等。在量子力学中,为了和用波函数作为描 述状态的数学工具相适应,以算符作为表示力学量的数学工具。体 18
系的每个可观测的力学量和一个线性自轭算符相对应。线性算符 是指算符满足下一条件 A(ψ1+y2)=A中1+A92 (1.15) 自轭算符是指算存A能满足 少Adr=|乡(41)dr 或 Pi Ad2dr=l22(Ay,)'dr (1.16) 例如,A=ix,=exp[ix], exp[-irlii d dx explor dx expLo d x 量子力学需要用线性自轭算符,是使和算符对应的本征值能 为实数(见假设道)。若干力学量对应的算符列于表1.1中。 表11若千力学量及其算符 力学量 算 符 置 动量的 轴分量 2nm ax 角动量的 轴分量 M 2π dy"4?r 动能 Srm 势能 V=V 总能 E=t-v H=-8 2+V 19
表1.1所列的算符中,动量的x轴分量p所对应的算符p 至关重要,其米源可从下面的推演过程理解注意这种推演只是说 明假设是怎样提出来的,而不是一种严格的证明。按(1.12)式 Y= AexpLh (rpr-Et 3B3'ay=Aexplh xpx-Et)dx[ h(xp: Et) 微 「12r a x 12 hA驴 ih ay pY 可见 P 2 a x (1.17) 动量沿y轴和z轴的分量p2p2角动量沿z轴的分量M2,动 能T等的算符形式即可根据(1.17)式推演得到。 所以为了获得相应物理量的算符,首先是为该物理量写出包 含坐标q(即x,y,z)和动量沿坐标q的分量p的经典表达式,然 后以 ih a qq aq 代入,整理、化简即得 算符和波函数的关系是一种数学关系,通过算符的运算可获 得有关徵观体系的各种信息。实践证明利用算符和波函数能正确 地描述徵观体系的状态和性质 3-本征态、本征值和 Schrodinger方程 假设Ⅲ若某一力学量A的算符A作用于某一状态函数中 后,等于某一常数a乘以ψ,即 冲=φy 那么对所描述的这个微观体系的状态,其力学量A具有确定的
数值a,a称为力学量算符A的本征值,y称为A的本征态或本 征波函数,(1.18)式称为A的本征方程。 这一假定把量子力学数学表达式的计算值与实验测量的数值 沟通起来。当是A的本征态,在这个状态下,实验测定的数值将 与A的本征值a对应。例如,欲知道一个原子可能的能量数值时, 只需将能量算符作用在该状态的原子波函数y上,求出能量算符 的本征值,此值应与实验测得泫状态的能量数值-致。自轭算符的 本征值一定为实数,这和本征值的物理意义是相适应的,现证明如 下 由(1.18)式两边取共轭 4 (1.19) 由(1.18)(1.19)两式,可得 d'(Ap)dr =a|y'fdr P(A')da d 根据(1.16)式定义,得 .(Ap)dr=o(A.s')dr 故 os,'d 即a为实数 个保守体系的总能量E在经典力学中用 Hamilton(哈密 顿)函数H表示,即 H=T+V= 2m(P+的+p)⊥ 将算符形式代入,得 H a2/+ + 8T m