nd?<0.2时,G= μo048d由端面至x处的侧表面xdG= μo 0.22d +0.4x(2.36)一般x-(2~3)8。(3）两个相等的矩形端面间气隙磁导用有限元以及电磁场相似原则分析磁场虽然准确，但使用的情况毕竞有限。比较实用的方法是可以估计磁通可能的路径，把整个磁场分成几个简单的几何形状的磁通管。然后用分析法求解，或用以下近似公式：(2.37)Gu=Ho Than式中，Abav为磁通管的平均截面积(米2)：lba为磁通管内力线的平均长度(m）；Vb为磁通管的体积（m3)：k为磁通管编码。整个气隙磁导是这些磁导总和。（a）方形磁极图2-19是一个正方形磁极。将气隙磁通路径分成的几何形状如图2-19中1一半圆柱，2－半圆筒，3一1/4圆球，4一1/4圆球壳。分割的各磁通管如图2-20所示。Pm图2-19矩形磁极之间的边缘磁导4-1/4球壳3-1/4球一半圆柱2一半圆筒G4G3G1G图2-20矩形端面分割的磁通管以2号半圆筒为例，根据式（2.37）求得半圆筒磁导2μoaAbarmxa(2.38)G, = Hooo元(8+m)/2lham式中，m=(1~2)：平均磁路长度1bm=元(8+m)/2：截面积Abam=m×a。当&3m时
当 0.2 d 时， 2 0 4 d G = 由端面至 x 处的侧表面 0 0.22 0.4 xd G d x = + (2.36) 一般 x=(2～3)δ。 (3) 两个相等的矩形端面间气隙磁导 用有限元以及电磁场相似原则分析磁场虽然准确，但使用的情况毕竟有限。比较实用 的方法是可以估计磁通可能的路径，把整个磁场分成几个简单的几何形状的磁通管。然后用 分析法求解，或用以下近似公式： G A l V l bk bav bav b bav = 0 = 0 2 (2.37) 式中，Abav 为磁通管的平均截面积(米 2 )；lbav 为磁通管内力线的平均长度(m)；Vb 为磁 通管的体积(m3 )；k 为磁通管编码。整个气隙磁导是这些磁导总和。 （a）方形磁极 图 2-19 是一个正方形磁极。将气隙磁通路径分成的几何形状如图 2-19 中 1－半圆柱， 2－半圆筒，3－1/4 圆球，4－1/4 圆球壳。分割的各磁通管如图 2-20 所示。 图 2-19 矩形磁极之间的边缘磁导 图 2-20 矩形端面分割的磁通管 以 2 号半圆筒为例，根据式(2.37)求得半圆筒磁导 ( ) 0 2 0 0 2 / 2 1 bav bav A a m a G l m m = = = + + (2.38) 式中，m=(1~2)δ；平均磁路长度 ( ) / 2 bav l m = + ；截面积 A m a bav = 。 当<3m 时
2ma,G, = ~=In/1+(2.39)S元同理得到其它分割的磁导半圆柱G=o×0.26a(2.40)1/4球G,=μ×0.0778(2.41)m1/4球壳G=×(2.42)4由式（2.28）得到端面间气隙磁导Ge = Loa?(2.43)8总的气隙磁导为(2.44)G=G+4(G, +G, +G, +G)如果端面是aXb的矩形。取m=S，则总磁导为G= G + 4(G, +G)+ 2(Gla +G2a +Gib +G2b)(2.45)axb,m(a+b)m2 +0.13(a+b)+0.0778+= 4μo48元(8+m)4（b）圆柱形磁极圆柱形磁极之间的气隙磁导也可用正方形的分割法计算，将边缘磁导分成圆环和圆环壳。如柱的直径为d，气隙长度为8，用分割法求得圆柱总气隙磁导为[元d+1.632d+8）+(d +0)in|1+G=μo(2.46)443.气隙磁导粗略估算从图2-11和图2-14可见，在气隙附近磁位差很大，存在强烈的边缘磁通，向外扩展超过气隙的边界，有效的气隙截面积大于磁芯端面截面积，即等效的气隙截面积增大了。为避免过大的误差，计算时必须根据有效截面积，而不是极端面积。经验近似方法是加一个气隙长度到磁芯端面尺寸上。对于边长α和b矩形极，有效气隙面积A近似为(2.47)Ase =(a+8)×(b+8)对于直径为D的圆端面截面"(D+8)(2.48)Ase4当S=0.1D时，面积校正系数A&/A为1.21。A为磁极端面面积当校正系数低于20%以上，用前面经验公式是有帮助的，而更加精确的校正需要用有限元求解
n 2 0 2 ln 1 a m G = + (2.39) 同理得到其它分割的磁导 半圆柱 1 0 G a = 0.26 (2.40) 1/4 球 3 0 G = 0.077 (2.41) 1/4 球壳 4 0 4 m G = (2.42) 由式(2.28)得到端面间气隙磁导 2 0 0 a G = (2.43) 总的气隙磁导为 G G G G G G = + + + + 0 1 2 3 4 4( ) (2.44) 如果端面是 a×b 的矩形。取 m=δ，则总磁导为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 4 1 2 1 2 0 4 2 4 0.13 0.077 4 4 G G G G G G G G a a b b a b m m a b a b m = + + + + + + + = + + + + + + (2.45) （b）圆柱形磁极 圆柱形磁极之间的气隙磁导也可用正方形的分割法计算，将边缘磁导分成圆环和圆环 壳。如柱的直径为 d，气隙长度为δ，用分割法求得圆柱总气隙磁导为 ( ) 2 0 2 2 1.63 ln 1 4 4 d d m G d + = + + + + (2.46) 3. 气隙磁导粗略估算 从图 2-11 和图 2-14 可见，在气隙附近磁位差很大，存在强烈的边缘磁通，向外扩展超 过气隙的边界，有效的气隙截面积大于磁芯端面截面积，即等效的气隙截面积增大了。为避 免过大的误差，计算时必须根据有效截面积，而不是极端面积。经验近似方法是加一个气隙 长度到磁芯端面尺寸上。对于边长 a 和 b 矩形极，有效气隙面积 Ae 近似为 ( ) ( ) A a b e = + + (2.47) 对于直径为 D 的圆端面截面: 2 ( ) 4 A D e = + (2.48) 当 δ＝0.1D 时，面积校正系数 Ae/A 为 1.21。A 为磁极端面面积。 当校正系数低于 20％以上，用前面经验公式是有帮助的，而更加精确的校正需要用有限 元求解
2.2.4永磁体等效电路在具体的磁路计算中,可以将永磁体等效成一个恒磁通源与一个内磁导相并联的磁通源。也可以等效成一个恒磁动势源与一个内磁导并联的磁动势源，如图2-21所示。0mOm0AFmFF(a)磁通源(b)磁动势源图2-21永磁体磁路等效永磁体内磁导 ^,"-lo-m×10~(H)hap永磁体向外磁路提供的每极磁通gm=BAm×10-（Wb)永磁体虚拟内磁通Φ=B,A.×10=B,Am×10-（Wb）每对极中永磁体两端向外磁路提供的磁动势Fm=Hhg×10~(A)永磁体的虚拟内漏磁通=A。F.(Wb)永磁体磁动势源的计算磁动势F=H.h×10-（A）其中，hMP为永磁体磁化方向的长度。2.3磁网络解析电磁器件的运行性能是由其内部的磁场分布决定的，根据其几何结构和磁通的预定走向，可以把磁场区域划分为若干串并联的支路，每条磁路由磁导或磁势源等单元组成，这些单元都直接与特定的几何形状和材料性能相关，单元与单元之间通过节点相联，就构成电磁器件的磁网络。根据磁网络与电网络的相似性，可以采用节点法或回路法来求解磁网络。依据磁网络的求解结果可以计算电磁器件的性能和参数。等效磁网络法基于磁通管原理，把器件内部磁通密度相对均匀的部分看作一个单元，最后把各个节点用等效磁导连起来，构成一个磁导的网络图依据电路磁路相似性，解出各部分磁位，求得器件参数和性能。本节将通过一个实例介绍磁网络的基本知识
2.2.4 永磁体等效电路 在具体的磁路计算中,可以将永磁体等效成一个恒磁通源与一个内磁导相并联的磁通源。 也可以等效成一个恒磁动势源与一个内磁导并联的磁动势源，如图 2-21 所示。 m r 0 Fm 0 磁通源 (a)磁通源 (b)磁动势源 图 2-21 永磁体磁路等效 永磁体内磁导 0 2 0 10 (H) r m MP A h − 永磁体向外磁路提供的每极磁通 4 10 (Wb) m m BA − = 永磁体虚拟内禀磁通 4 4 10 10 (Wb) r ir m r m B A B A − − = = 每对极中永磁体两端向外磁路提供的磁动势 2 10 (A) F Hh m Mp − = 永磁体的虚拟内漏磁通 0 0 (Wb) = F m 永磁体磁动势源的计算磁动势 2 10 (A) F H h c c Mp − = 其中，hMP为永磁体磁化方向的长度。 2.3 磁网络解析 电磁器件的运行性能是由其内部的磁场分布决定的，根据其几何结构和磁通的预定走 向，可以把磁场区域划分为若干串并联的支路，每条磁路由磁导或磁势源等单元组成，这些 单元都直接与特定的几何形状和材料性能相关，单元与单元之间通过节点相联，就构成电磁 器件的磁网络。根据磁网络与电网络的相似性，可以采用节点法或回路法来求解磁网络。依 据磁网络的求解结果可以计算电磁器件的性能和参数。 等效磁网络法基于磁通管原理，把器件内部磁通密度相对均匀的部分看作一个单元，最 后把各个节点用等效磁导连起来，构成一个磁导的网络图依据电路磁路相似性，解出各部分 磁位，求得器件参数和性能。本节将通过一个实例介绍磁网络的基本知识
2.3.1互感耦合直线开关磁阻发电机（LSRM）的变结构磁网络模型基于理想化假设的线性磁路模型采用分段线性的电感模型以线性矩阵的表示形式给出了互感耦合LSRM的特性参数，对电感精度要求不高的场合如电机性能的近似计算和控制方案的确定，提供了快捷可靠的模型样本库材料。但是在对电机进行优化设计和对电机运行特性进行分析时需要精确的数学模型。特别是在电机高功率密度时，磁场饱和程度加重，波形畸变严重，电机的实际性能和基于理想化假设的线性磁路模型的预测值会有一定的差距，因此线性磁路模型难以满足要求，而需要研究能够详细描述其边缘效应和磁路饱和影响的数学模型，这对于研究其结构变化所产生的复杂特性和后续的电机优化都具有非常现实的意义。目前，大多数文献都采用有限元软件来分析具有边缘效应的直线电机，然而有限元分析密集的计算工作一般都会耗费不少时间，因此本节根据互感耦合LSRM的特点，基于磁网络理论，建立考虑磁路饱和和边缘效应的变结构磁网络模型，以此来简化模型的计算工作量。基于磁网络模型来研究开关磁阻电机的磁路饱和情况在不少文献中都有提及，而其中大部分都是以二维建模的方法对RSRM进行研究，而对于LSRM的研究较少。LSRM有许多不同于RSRM的特点，如磁路开断引起的纵向边缘效应、初次级宽度不一致引起的横向边缘效应、现有机械工艺的限制引起的相对大气隙、磁路不对称引起的法向力以及往复运动的工作模式等，这些特点使适用于RSRM的分析方法不完全适用于LSRM，因此采用磁网络模型对互感耦合LSRM进行建模有更多需要进一步考虑的问题。另外，因为边缘效应的存在使二维的建模分析方法对互感耦合LSRM的特性描述变得不够充分，而需要考虑三维的磁场分布影响，对原有的二维模型做一些改进，使其能够更加准确的描述互感耦合LSRM的主要特性。该模型在推导时做了如下假设：（1）忽略涡流、磁滞效应影响：（2）忽略磁场中高次谐波，仅考虑基波分量。建立电机磁网络模型的指导思想在于用电路的观点来考虑电机的磁路问题。主要的等效原则为：用电路中的电阻代表磁路中的磁阻，用电路中的支路电压源代表磁路中的电动势，用电路中的支路电流代表磁路中的磁通。由于互感耦合LSRM和传统LSRM磁路结构基本相似，因此两者的等效磁网络虽然相似，但又有着一些因边缘效应和特殊绕组分布而带来的本质区别。从有限元2D模型中静态磁场分布的情况可知，初次级齿对齐和不对齐情况下的磁通路径有很大的区别，因此用单一的磁网络模型来模拟这种多变化的磁结构是不够准确的。本文采用六个不同的磁网络模型来模拟这种多变化的磁路结构，图2-22给出了六个典型位置情况下的简化磁通路径和对应的磁网络模型。图2-22中的x表示初级相对次级的位移，定义初级齿S3和次级齿处于对齐位置时x=0mm。在一个互感变化周期内（x=0~36.75mm）取六个典型位置，其中三个典型位置（x=0mm，x=12.25mm，x=24.5mm）分别为初级齿S3，S4，S5和次级齿对齐的位置，其他三个典型位置为这三个对齐位置之间的不对齐位置。这里给出的六个典型位置为正向运动时的变化情况，而在反向运动时变化情况顺序与此相反，但磁网络模型结构与此相同。磁网络模型中包含两种磁阻一铁磁磁阻和空气磁阻，条纹状表示的铁磁磁阻采用不同的计算方法考虑了磁路非线性和磁路饱和的影响，而白色无条纹表示的空气磁阻阻则假设为理想情况下的真空磁阻
2.3.1 互感耦合直线开关磁阻发电机（LSRM）的变结构磁 网络模型 基于理想化假设的线性磁路模型采用分段线性的电感模型以线性矩阵的表示形式给出 了互感耦合 LSRM 的特性参数，对电感精度要求不高的场合如电机性能的近似计算和控制 方案的确定，提供了快捷可靠的模型样本库材料。但是在对电机进行优化设计和对电机运行 特性进行分析时需要精确的数学模型。特别是在电机高功率密度时，磁场饱和程度加重，波 形畸变严重，电机的实际性能和基于理想化假设的线性磁路模型的预测值会有一定的差距， 因此线性磁路模型难以满足要求，而需要研究能够详细描述其边缘效应和磁路饱和影响的数 学模型，这对于研究其结构变化所产生的复杂特性和后续的电机优化都具有非常现实的意 义。 目前，大多数文献都采用有限元软件来分析具有边缘效应的直线电机，然而有限元分析 密集的计算工作一般都会耗费不少时间，因此本节根据互感耦合 LSRM 的特点，基于磁网 络理论，建立考虑磁路饱和和边缘效应的变结构磁网络模型，以此来简化模型的计算工作量。 基于磁网络模型来研究开关磁阻电机的磁路饱和情况在不少文献中都有提及，而其中大部分 都是以二维建模的方法对 RSRM 进行研究，而对于 LSRM 的研究较少。LSRM 有许多不同 于 RSRM 的特点，如磁路开断引起的纵向边缘效应、初次级宽度不一致引起的横向边缘效 应、现有机械工艺的限制引起的相对大气隙、磁路不对称引起的法向力以及往复运动的工作 模式等，这些特点使适用于 RSRM 的分析方法不完全适用于 LSRM，因此采用磁网络模型 对互感耦合 LSRM 进行建模有更多需要进一步考虑的问题。另外，因为边缘效应的存在使 二维的建模分析方法对互感耦合 LSRM 的特性描述变得不够充分，而需要考虑三维的磁场 分布影响，对原有的二维模型做一些改进，使其能够更加准确的描述互感耦合 LSRM 的主 要特性。 该模型在推导时做了如下假设： （1）忽略涡流、磁滞效应影响； （2）忽略磁场中高次谐波，仅考虑基波分量。 建立电机磁网络模型的指导思想在于用电路的观点来考虑电机的磁路问题。主要的等 效原则为：用电路中的电阻代表磁路中的磁阻，用电路中的支路电压源代表磁路中的电动势， 用电路中的支路电流代表磁路中的磁通。由于互感耦合 LSRM 和传统 LSRM 磁路结构基本 相似，因此两者的等效磁网络虽然相似，但又有着一些因边缘效应和特殊绕组分布而带来的 本质区别。从有限元 2D 模型中静态磁场分布的情况可知，初次级齿对齐和不对齐情况下的 磁通路径有很大的区别，因此用单一的磁网络模型来模拟这种多变化的磁结构是不够准确 的。本文采用六个不同的磁网络模型来模拟这种多变化的磁路结构，图 2-22 给出了六个典 型位置情况下的简化磁通路径和对应的磁网络模型。 图 2-22 中的 x 表示初级相对次级的位移，定义初级齿 S3 和次级齿处于对齐位置时 x=0mm。在一个互感变化周期内（x=0~36.75mm）取六个典型位置，其中三个典型位置 （x=0mm，x=12.25mm，x=24.5mm）分别为初级齿 S3，S4，S5 和次级齿对齐的位置，其他 三个典型位置为这三个对齐位置之间的不对齐位置。这里给出的六个典型位置为正向运动时 的变化情况，而在反向运动时变化情况顺序与此相反，但磁网络模型结构与此相同。磁网络 模型中包含两种磁阻—铁磁磁阻和空气磁阻，条纹状表示的铁磁磁阻采用不同的计算方法考 虑了磁路非线性和磁路饱和的影响，而白色无条纹表示的空气磁阻阻则假设为理想情况下的 真空磁阻
ResR,s2Ri3ORs4Ri6R,s7oR, s1RRg4Rg2ORg3RgsR6RgORusDR.OROReR4ReRe.ReRe(a)x=0mmNalaRyRysNlNclcRysRysNalaNelRyRysNelc000R2Rs3R,4R5R6R7Rsl阿nR2 ReRg4Res ReRg?RglRa6Rn3OReRit3R.4IRRReReRe!Re(b)x=6mmNlaRyRy,lgNcRRlNlRyRy0ORrsOR_2R.s4RisR,s!Rs6自Rs75iRgsRg4RgRg2RgsRg6IR.RARDRieRi13Rt88ReRelRe.(c)x=12.25mmNlyaly0RIRR2[RsRs6RRistonn1RRURn4ReResIRalURRgR0R3Rus0R2NRe!Re!Re(d)x=18mmNlaRy,Ry,elNecRyRNANelRyRy000ORis3Ri4ORs5IRSRtRtRstoTRDRg3Rg4nResnR.IRTRR.IR.EORR.5ORi3S00SRe!Re!Re!Rel(e) x=24.5mm
+- -+ +- -+ +- -+ NAIA Ry_sRy_sNBIBNCICRy_s Ry_sNAIANBIB Ry_sRy_sNCIC Rc_t Rc_t Rc_t Rc_t Rt_s1 Rt_s2 Rt_s3 Rt_s4 Rt_s5 Rt_s6 Rt_t1 Rt_t2 Rt_t3 Rt_t4 Rg1 Rg2 Rg3 Rg4 Rg5 Rg6 Rg7 Rt_s7 Rt_t5 (a) x=0mm Rg7 Rt_s7 +- -+ +- -+ +- -+ NAIA NBIBNCIC NAIANBIB NCIC Rt_s1 Rt_t1 Rg1 Ry_sRy_s Ry_sRy_s Ry_s Ry_s Rc_t Rc_t Rc_t Rc_t Rt_t2 Rt_t3 Rt_t4 Rt_t5 Rg2 Rf1_3 Rf2_3 Rg4 Rg5 Rf1_6 Rf2_6 Rt_s2 Rt_s3 Rt_s4 Rt_s5 Rt_s6 (b) x=6mm +- -+ +- -+ +- -+ NA NAIA IA Ry_sRy_s NBIBNCICRy_sRy_s NBIB Ry_sRy_sNCIC Rc_t Rc_t Rc_t Rc_t Rt_s1 Rt_s2 Rt_s3 Rt_s4 Rt_s5 Rt_s6 Rt_s7 Rt_t1 Rt_t2 Rt_t3 Rt_t4 Rt_t5 Rg1 Rg2 Rg3 Rg4 Rg5 Rg6 Rg7 (c) x=12.25mm Rt_t2 +- -+ +- -+ +- -+ NAIA Ry_sRy_sNBIBNCICRy_s Ry_sNAIA NBIBRy_sRy_sNCIC Rc_t Rc_t Rc_t Rt_s1 Rg1 Rt_t3 Rt_t4 Rt_t5 Rg2 Rg3 Rf1_4 Rg5 Rg6 Rt_s2 Rt_s3 Rt_s4 Rt_s5 Rt_s6 Rf2_4 Rt_s7 Rg7 (d) x=18mm +- -+ +- -+ +- -+ NAIA Ry_sRy_s NBIBNCIC Ry_sRy_sNAIANBIBRy_s Ry_sNCIC Rc_t Rc_t Rc_t Rc_t Rt_s1 Rt_s2 Rt_s3 Rt_s4 Rt_s5 Rt_s6 Rt_t2 Rt_t3 Rt_t4 Rt_t5 Rg1 Rg2 Rg3 Rg4 Rg5 Rg6 Rt_s7 Rg7 Rt_t6 (e) x=24.5mm