(3)在凹面上: 研究以AB为弦长的一个球 形凹面上的环作为边界。由于环 上每点两边的表面张力都与凹形 的液面相切,大小相等,但不在 剖面图 同一平面上,所以会产生一个向 上的合力。 所有的点产生的总压力为Ps, 称为附加压力。凹面上向下的总A 压力为:PoPs,所以凹面上所受 的压力比平面上小。 附加压力示意图
（3）在凹面上： 剖 面 图 附加压力示意图 研究以AB为弦长的一个球 形凹面上的环作为边界。由于环 上每点两边的表面张力都与凹形 的液面相切，大小相等，但不在 同一平面上，所以会产生一个向 上的合力。 所有的点产生的总压力为Ps ， 称为附加压力。凹面上向下的总 压力为：Po -Ps ，所以凹面上所受 的压力比平面上小
杨-拉普拉斯公式 1805年 Young-Laplace导出了附加压力与曲率半 径之间的关系式: 般式:P=7(n+n) 2 特殊式(对球面): R 根据数学上规定,凸面的曲率半径取正值,凹 面的曲率半径取负值。所以,凸面的附加压力指向 液体,凹面的附加压力指向气体,即附加压力总是 指向球面的球心
杨-拉普拉斯公式 1805年Young-Laplace导出了附加压力与曲率半 径之间的关系式： 特殊式（对球面）： ' s 2 R P = 根据数学上规定，凸面的曲率半径取正值，凹 面的曲率半径取负值。所以，凸面的附加压力指向 液体，凹面的附加压力指向气体，即附加压力总是 指向球面的球心。 一般式： ) 1 1 ( ' 2 ' 1 s R R P = +
Young- Laplace一般式的推导 1.在任意弯曲液面上取小矩形曲面ABCD(红色面) 其面积为xy曲面边缘AB和BC弧的曲率半径分别为R 和R 2.作曲面的两个相互垂直的正截面, 交线O为O点的法线。 3.令曲面沿法线方向移动dz,使 曲面扩大到ABCD(蓝色面),则x 与y各增加d和dy。 任意穹曲的液面扩 大时所做功的分析
Young-Laplace 一般式的推导 1. 在任意弯曲液面上取小矩形曲面ABCD(红色面)， 其面积为xy。曲面边缘AB和BC弧的曲率半径分别为 和 。 ' R1 ' R2 2. 作曲面的两个相互垂直的正截面， 交线Oz为O点的法线。 3. 令曲面沿法线方向移动dz ，使 曲面扩大到A’B’C’D’(蓝色面)，则x 与y各增加dx和dy
4.移动后曲面面积和体积增加dA和d为: da =(x+dx(y+dy)-xy xdy+ ydx dv=xuz 5.增加dA面积所作的功与克服附 加压力P增加dV所作的功应该相 等,即: rdA=pdv 任意弯曲的液面扩 r(xdy+ ydx )= psxydz (A) 大时所做功的分析
5. 增加dA面积所作的功与克服附 加压力Ps增加dV所作的功应该相 等，即： ( d d ) d (A) d d s s x y y x P x y z A P V + = = 4. 移动后曲面面积和体积增加dA和dV为： V x y z x y y x A x x y y x y d d d d d ( d )( d ) = = + = + + −
6.根据相似三角形原理可得: (x+dx)/(R1+d)=x/R化简得dx=xdzR (y+dy)/(R2+d)=y/R2化简得dy=xd=/R2 7.将dX;dy代入(A)式,得: P=r( R R 2 8.如果是球面,R=R2,则 P 2R 任意弯曲的液面护 大财所做功的分析
6. 根据相似三角形原理可得： ' 2 ' 2 ' 2 ' 1 ' 1 ' 1 ( d )/( d ) / d d ( d )/( d ) / d d y y R z y R y x z/R x x R z x R x x z/R + + = = + + = = 化简得 化简得 7. 将dx,dy代入(A)式,得： ) 1 1 ( ' 2 ' 1 s R R P = + 8. 如果是球面， , : ' 2 ' R1 = R 则 ' 2 s R P =