免费下载网址htp:/ jiaoxue5u. ysl68c0m 8.4因式分解 新课指南 1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式,及形如x2+(p+q)x+pq的多项式 因式分解,培养学生应用因式分解解决问题的能力 2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、 归纳等步骤,得出因式分解的方法 3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神, 并体会整体数学思想和转化的数学思想 4.重点与难点:重点是用提公因式法和公式法分解因式难点是分组分解法和形如x2+(p+q)x+pq的多 项式的因式分解 教材解读精华要义 数学与生活 630能被哪些数整除?说说你是怎么想的 思考讨论在小学我们知道,要想解决这个问题,需要把630分解成质数的乘积的形式,即630=2× 32×5×7 类似地,在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分 解.那么如何进行因式分解呢? 知识详解 知识点1因式分解的定义 把一个多顶式代成几个整式的积的形式这秒变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式 【说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆的运算 +1)(x-1) (2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验 知识点2提公因式法 多项式 matmb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因 式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把mamb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另 个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法 例如:x2-x=x(x-1),8ab-4ab+2a2a(4ab-2b+1) 探究交流 下列变形是否是因式分解?为什么, (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x): (2)x2-2x+3=(x-1)2+2 (3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1) (4)x"(x2-x+1)=x"2-x"+x 点拨(1)不是因式分解,提公因式错误,可以用整式乘法检验其真伪 (2)不是因式分解,不满足因式分解的含义 (3)不是因式分解,因为因式分解是恒等变形而本题不恒等 (4)不是因式分解,是整式乘法 知识点3公式法 (1)平方差公式:a-b2=(a+b)(ab) 即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积 例如:4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) (2)完全平方公式:a±2b+b2=(a±b)2. 其中,a±2ab+b2叫做完全平方式 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方 例如:4x2-12xy+9y=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y) 探究交流 下列变形是否正确?为什么? (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 8.4 因式分解 新课指南 1.知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如 x 2 +(p+q)x+pq 的多项式 因式分解，培养学生应用因式分解解决问题的能力. 2.过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、 归纳等步骤，得出因式分解的方法. 3.情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神， 并体会整体数学思想和转化的数学思想. 4.重点与难点：重点是用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解法和形如 x 2 +(p+q)x+pq 的多 项式的因式分解. 教材解读 精华要义 数学与生活 630 能被哪些数整除？说说你是怎么想的. 思考讨论 在小学我们知道，要想解决这个问题，需要把 630 分解成质数的乘积的形式，即 630=2× 3 2×5×7. 类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分 解.那么如何进行因式分解呢？ 知识详解 知识点 1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 分解因式. 【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算. 例如： (2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验. 知识点 2 提公因式法 多项式 ma+mb+mc 中的各项都有一个公共的因式 m，我们把因式 m 叫做这个多项式的公因 式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把 ma+mb+mc 分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 m，另 一个因式(a+b+c)是 ma+mb+mc 除以 m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法. 例如：x 2 -x=x(x-1)，8a 2 b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1). 探究交流 下列变形是否是因式分解？为什么， (1)3x 2 y-xy+y=y(3x2 -x)； (2)x 2 -2x+3=(x-1) 2 +2； (3)x2 y 2 +2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)x n (x2 -x+1)=xn+2 -x n+1+xn . 点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪. (2)不是因式分解，不满足因式分解的含义 (3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等. (4)不是因式分解，是整式乘法. 知识点 3 公式法 (1)平方差公式：a 2 -b 2 =(a+b)(a-b). 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积. 例如：4x 2 -9=(2x) 2 -3 2 =(2x+3)(2x-3). (2)完全平方公式：a 2±2ab+b2 =(a±b)2 . 其中，a 2±2ab+b2 叫做完全平方式. 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 例如：4x 2 -12xy+9y2 =(2x)2 -2·2x·3y+(3y)2 =(2x-3y)2 . 探究交流 下列变形是否正确？为什么？ (1)x 2 -3y2 =(x+3y)(x-3y)；
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com (2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2 点拨(1)不正确,目前在有理数范围内不能再分解 (2)不正确,4x2-6xy+9y2不是完全平方式,不能进行分解 (3)不正确,x2-2x-1不是完全平方式,不能用完全平方公式进行分解,而且在有理数范围内也不能分 解. 知识点4分组分解法 (1)形如:m+amn+bm+bn=(am+amn)+(bmt+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b) (2)形如:x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2 (x+y+1)(x-y+1) 把多顶式进行适岂的分组,分组后能够有因式或运用父式,这样的因式分艇方法叫做分组分艇法、 知识规律小績(1)分组分解法一般分组方式不惟一 例如:将am+mn+bm+bn因式分解,方法有两种: Tit 1: am+ an+bm+bn=(amtan)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(atb) Bit 2: am+ an+bmtbn=(am+bm)+(an+bn)=m(atb)+n(atb)=(m+n)(atb) (2)分组除具有尝试性外,还要具有目的性,或者分组后能出现公因式,或者分组后能运用公式 例如:am+mn+bm+bn分组后有公因式:x2-y2+2x+1分组后能运用公式 分组分解法是因式分解的基本方法,体现了化整体为局部,又统揽全局的思想,如何恰当分组是解题 的关键,常见的分组方法有: (1)按字母分组 (2)按次数分组 (3)按系数分组 例如:把下列各式因式分解 (1)am+bm++bn (2)x2 (3)2 知识点5关于x2+(p+q)xtpq型二次三项式的因式分解 g+pg=(x+p)(xtg) 事实上:x2+(p+q)x+pq (x+px)+(qxtpq x(x+p)+q(x+p) (x+p)(x+q) .x+(p+g) x+pg=(xtp)(x+g) 利用这个公式,可以把二次三项式因式分解,当p=q时,这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2,是完 全平方式,可以运用公式分解因式 例如:把x2+3x+2分解因式 (分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,这是一个 x2+(p+q)x+pq型式子 解:x2+3x+2=(x+1)(x+2) 典例剖析师生互动 基础知识应用题 本节基础知识的应用主要包括:(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式:(2)会分解关 于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式 例1用提公因式法将下列各式因式分解 (1)ax-ay:(2)6xyz-3xz2;(3)-x2z+x'y (4)36by-12abx+6ab;(5)3x(ab)+2y(b-a) (6)x(m-x)(my)-m(x-m)(y-m) 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com (2)4x2 -6xy+9y2 =(2x-3y)2； (3)x 2 -2x-1=(x-1)2 . 点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解. (2)不正确，4x 2 -6xy+9y 2 不是完全平方式，不能进行分解. (3)不正确，x 2 -2x-1 不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分 解. 知识点 4 分组分解法 (1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b) (2)形如：x 2 -y 2 +2x+1=(x2 +2x+1)-y 2 =(x+1)2 -y 2 =(x+y+1)(x-y+1). 把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法. 知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一. 例如：将 am+an+bm+bn 因式分解，方法有两种： 方法 1：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b). 方法 2：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b). (2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式. 例如：am+an+bm+bn 分组后有公因式；x 2 -y 2 +2x+1 分组后能运用公式. 分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题 的关键，常见的分组方法有： (1)按字母分组； (2)按次数分组； (3)按系数分组. 例如：把下列各式因式分解. (1) am+bm+an+bn； (2)x2 -y 2 +x+y； (3)2ax-5by+2ay-5bx. 知识点 5 关于 x 2 +(p+q)x+pq 型二次三项式的因式分解 x 2 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 事实上：x 2 +(p+q)x+pq =x 2 +px+qx+pq =(x2 +px)+(qx+pq) =x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q). ∴x 2 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当 p=q 时，这个式子化成 x 2 +2px+p 2 或 x 2 +2qx+q2，是完 全平方式，可以运用公式分解因式. 例如：把 x 2 +3x+2 分解因式. (分析)因为二次三项式 x 2 +3x+2 的二次项系数是 1，常数项 2=1×2，一次项系数 3=1+2，这是一个 x 2 + (p+q) x+pq 型式子. 解：x 2 +3x+2=(x+1)(x+2) 典例剖析 师生互动 基础知识应用题 本节基础知识的应用主要包括：(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；(2)会分解关 于 x 2 +(p+q)x+pq 型的二次三项式. 例 1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)ax-ay； (2)6xyz-3xz 2； (3)-x 3 z+x4 y； (4)36aby-12abx+6ab； (5)3x(a-b)+2y(b-a)； (6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com (分析)(1)~(4)题直接提取公因式分解即可,(5)题和(6)题首先要适当的变形,其中(5)题把b-a化 成-(ab)的,(6)题把(x-m)(y-m化成(m-x)(my),然后再提取公因式 解:(1)ax-ay=a(xy) (2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z) (3)-x2+x'y=x2(-z+xy) (4)36aby-12abx+6b=6ab(6y-2x+1) (5)3x(ab)+2y(b-a)=3x(ab)-2y(ab)=(ab)(3x-2y) (6)x(m-x)(my)-m(x-m)(y-m) =x(m-x)(m-y)-m(mx)(m (m-x)2(m-y) 小结运用提公团式法分解因式时,要注意下列问题: (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号不能再分解 如:(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y) (x+y)[(7m8n)-(3m2n)] =(x+y)(4m-6n) =2(x+y)(2m-3n) (2)如果出现像(5)(6)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少,减少统一计算出现误差的 机率,这时注意到(ab)=(b-a)"(n为偶数) 例如:分解因式a(x-y)2+b(y-x)2+c(y-x) 本题既可以把(x-y)统一成(y-x),也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简 便,因为(x-y)2=(y-x)2 a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2 a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2 (y-x)[atb(y-x)+c] (y-x)2(atby-bx+c) (3)因式分解最后如果有同底数幂,要写成积的形式 例如:(7a8b)(a2b)+(a8b)(a2b) (a2b)[(7a8b)+(a8b)] (a2b)(8a-16b) =8(a2b)(a2b) =8(a2b) 学生做一做把下列各式分解因式 1)amtan (2)(xy+ ay-by) (3)(2a+b)(2a3b)+(2a+5b)(2a+b) (4)3x(ab)-2y(b-a) (5)4p(1-q)2+2(q-1)2 (6)ab2(x-y)"+ab(x-y)”. 老师评一评(1)原式=a(m+n) (2)原式=y(x+ab); (3)原式=2(2a+b)2; (4)原式=(ab)(3x+2y) (5)原式=(1-q)2(4p-4pq+2) (6)原式=ab(x-y)"(b+ax-ay) 例2把下列各式分解因式 (1)m2+2m+1 x2-12x+4 (3)1-10x+25x2; (4)(m+n)2-6(m+n)+9 (分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式 解:(1)m2+2m+1=(m+1) (2)9x2-12x+4=(3x-2 (3)1-10x+25x2=(1-5x)2 (4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2 学生做一做把下列各式分解因式 (1)(x2+4)2-2(x2+4)+1 (2)(x+y)2-4(x+y-1) 老师评一评(1)原式=(x2+3) (2)原式=(x+y-2)2 例3把下列各式分解因式 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com (分析) (1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把 b-a 化 成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式. 解：(1)ax-ay=a(x-y ) (2)6xyz-3xz 2 =3xz(2y-z). (3)-x 3 z+x4 y=x 3 (-z+xy). (4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1). (5)3x (a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y). (6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m) =x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y) =(m-x)(m-y)(x-m) =-(m-x)2 (m-y). 小结 运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题： (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解. 如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y) =(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)] =(x+y)(4m-6n). =2(x+y)(2m-3n). (2)如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的 机率，这时注意到(a-b) n =(b-a) n (n 为偶数). 例如：分解因式 a(x-y)2 +b(y-x)3 +c(y-x)2 . 本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简 便，因为(x-y) 2 =(y-x)2 . a(x-y)2 +b(y-x)3 +c(y-x)2 =a(y-x)2 +b(y-x)3 +c(y-x)2 =(y-x)2 [a+b(y-x)+c] =(y-x)2 (a+by-bx+c). (3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式. 例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b) =(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)] =(a-2b)(8a-16b) =8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)2 . 学生做一做 把下列各式分解因式. (1)am+an； (2)(xy+ay-by)； (3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)； (4)3x(a-b)-2y(b-a)； (5)4p(1-q)3 +2(q-1) 2； (6)ab 2 (x-y)m +a 2 b(x-y)m+1 . 老师评一评 (1)原式=a(m+n) (2)原式=y(x+a-b)； (3)原式=2(2a+b)2； (4)原式=(a-b)(3x+2y)； (5)原式=(1-q)2 (4p-4pq+2)； (6)原式=ab(x-y)m (b+ax-ay). 例 2 把下列各式分解因式. (1)m2 +2m+1； (2)9x 2 -12x+4； (3)1-10x+25x 2； (4)(m+n)2 -6(m+n)+9. (分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式. 解：(1)m2 +2m+1=(m+1)2 . (2)9x2 -12x+4=(3x-2)2 . (3)1-10x+25x 2 =(1-5x) 2 . (4)(m+n)2 -6(m+n)+9=(m+n-3)2 . 学生做一做 把下列各式分解因式. (1)(x2 +4)2 -2(x2 +4)+1； (2)(x+y)2 -4(x+y-1). 老师评一评 (1)原式=(x 2 +3)2； (2)原式=(x+y-2)2 . 例 3 把下列各式分解因式
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com (1)x2+7x+10 2)x2-2x-8; (3)y2-7y+10 (4)x2+7x-18 (分析)二次三项式x2+7x+10的二次项系数为1,常数项10=2×5,一次项系数7=2+5,所以这是一个 x2+(p+q)x+pq型的式子,可以用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解 解:(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5) (2)x2-2x-8=(x-4)(x+2) (3)y2-7y+10=(y-2)(y-5) (4)x2+7x-18=(x+9)(x-2) 小结对于x2+(p+q)xp型二次三项式的因式分解,①p>0,则p,q同号,若p+q>0,则p>0,q >0;若qp<0,则p<0,q<0;②若pq<0,则p,q异号,若p+q>0,则绝对值大的为正数,若p+q< 0,则绝对值大的为负数 学生做一做把下列各式分解因式 (1)m2-7m+12 (2)x2y2-3xy-10 (3)(m-n)2-(m-n)-12 (4)x2-xy-2y 老师评一评(1)原式=(m3)(m-4) (2)原式=(xy-5)(xy+2) (3)原式=(mn-4)(m-n+3); (4)原式=(x-2y)(x+y) 综合应用题 本节知识的综合应用主要包括:(1)用分组分解法分解因式:;(2)与方程组的综合应用:(3)与几何知 识的综合应用;(4)几种因式分解方法的综合应用. 例4分解因式 (1)x3-2x2+x (2)(a+b)2-4a (3)x-81x2y2; (4)x2(x-y)+y2(y-x):(5)(a+b+c)2-(ab-c)2 (分析)本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式 解:(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2 (2)(a+b)2-4a=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a) (3)x-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y) (4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y) (x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y) (x+y)(x-y)2 (5)(a+b+c)2-(ab-c) =[(a+b+c)(ab-c)][(a+b+c)-(ab-c)] 2a·(2b+2c) =4a(b+c). 例5利用分组分解法把下列各式分解因式 (1)a-b2+ab (2)a2+b2-2ab-1 (3)(ax+by)2+(ay-bx)2 (4)a2-2ab+b2-c2-2c-1 (分析)分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解,分组有两个目的,一是分组后能 出现公因式,二是分组后能应用公式,其中(1)题分组后存在公因式,(3)题需去括号后重新分组,(2)和 (4)题分组后能运用公式 解:(1)a-b2+ab=(a2-b2)+(ab) =(a+b)(ab)+(ab)=(ab)(a+b+1) (2)a+b2-2ab-1=(a-2ab+b2)-1 (a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1) (3)(ax+by )+(ay-bx =ax+2abxy+by2+ay2-2abxy+bx dx+by+ady+bx (ax2+ay)+(b2y2+b2x2) =a2(x2+y2)+b2(x2+y2) (a+b2)(x2+y2) (4)a2-2ab+b2-c2-2c-1 (a2-2ab+b2)-(c2+2c+1) 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com (1)x2 +7x+10； (2)x 2 -2x-8； (3)y2 -7y+10； (4)x2 +7x-18. (分析) 二次三项式 x 2 +7x+10 的二次项系数为 1，常数项 10=2×5，一次项系数 7=2+5，所以这是一个 x 2 +(p+q)x+pq 型的式子，可以用 x 2 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解. 解：(1)x 2 +7x+10=(x+2)(x+5). (2)x 2 -2x-8=(x-4)(x+2). (3)y2 -7y+10=(y-2)(y-5). (4)x2 +7x-18=(x+9)(x-2). 小结 对于 x 2 +(p+q)x+pq 型二次三项式的因式分解，①pq＞0，则 p,q 同号，若 p+q＞0，则 p＞0，q ＞0；若 q+p＜0，则 p＜0，q＜0；②若 pq＜0，则 p,q 异号，若 p+q＞0，则绝对值大的为正数，若 p+q＜ 0,则绝对值大的为负数. 学生做一做 把下列各式分解因式. (1)m2 -7m+12； (2)x 2 y 2 -3xy-10； (3)(m-n)2 -(m-n)-12； (4)x 2 -xy-2y 2 . 老师评一评 (1)原式 =(m-3)(m-4)； (2)原式=(xy-5)(xy+2)； (3)原式=(m-n-4)(m-n+3)； (4)原式=(x-2y)(x+y). 综合应用题 本节知识的综合应用主要包括：(1)用分组分解法分解因式；(2)与方程组的综合应用；(3)与几何知 识的综合应用；(4)几种因式分解方法的综合应用. 例 4 分解因式. (1)x 3 -2x2 +x； (2)(a+b)2 -4a 2； (3)x 4 -81x2 y 2； (4)x 2 (x-y)+y 2 (y-x)； (5)(a+b+c)2 -(a-b-c)2 . (分析)本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式. 解：(1)x 3 -2x2 +x=x(x2 -2x+1)=x(x-1)2 . (2)(a+b)2 -4a 2 =(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a). (3)x 4 -81x2 y 2 =x 2 (x2 -81y2 )=x2 (x+9y)(x-9y). (4)x 2 (x-y)+y2 (y-x)=x2 (x-y)-y 2 (x-y) =(x-y)(x 2 -y 2 )=(x-y)(x+y)(x-y) =(x+y)(x-y)2 . (5)( a+b+c) 2 -(a-b-c)2 =[(a+b+c)(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)] =2a·(2b+2c) =4a(b+c). 例 5 利用分组分解法把下列各式分解因式. (1)a 2 -b 2 +a-b； (2)a 2 +b 2 -2ab-1； (3)(ax+by)2 +(a y-bx) 2； (4)a 2 -2ab+b2 -c 2 -2c-1. (分析) 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能 出现公因式，二是分组后能应用公式，其中(1)题分组后存在公因式，(3)题需去括号后重新分组，(2)和 (4)题分组后能运用公式. 解：(1)a 2 -b 2 +a-b=(a 2 -b 2 )+(a-b) =(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1). (2)a 2 +b 2 -2ab-1=(a 2 -2ab+b 2 )-1 =(a-b)2 -1=(a-b+1)(a-b-1). (3)(ax+by)2 +(ay-bx) 2 =a 2 x 2 +2abxy+b2 y 2 +a 2 y 2 -2abxy+b2 x 2 =a 2 x 2 +b2 y 2 +a 2 y 2 +b2 x 2 =(a 2 x 2 +a 2 y 2 )+(b2 y 2 +b2 x 2 ) =a 2 (x2 +y2 )+b2 (x2 +y2 ) =(a 2 +b2 )(x2 +y2 ). (4)a 2 -2ab+b2 -c 2 -2c-1 =(a 2 -2ab+b2 )-(c2 +2c+1)
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com =(ab)2-(c+1)2 =[(ab)+(c+1)][(ab)-(c+1)] =(a-btc+1)(ab-c-1) 小结解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式:如果没有公因式或提取公因 式后,通常分下列几种情况考虑: (1)如果是四项或四项以上,考虑用分组分解法 (2)如果是二次三项式或完全平方式,则考虑用x2+(p+q)xpq型式子或完全平方公式分解因式 (3)如果是两项,则考虑能否用平方差公式分解因式 最后,直到每一个因式都不能再分解为止 例6解方程组 2y=1 (分析)本题是一个二元二次方程组,就目前的知识水平来说,用代入消元法或加减消元法来解是困难 的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5,再把 2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中,即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解 解:由①得(x+2y)(x-2y)=5,③ 把②代入③中得x+2y=5,④ ∴原方程组化为 x+2y=5,④ ②+④得2x=6,∴x=3 ②-④得 ∴原方程组的解为/=3 Iv=l 学生做一做解方程组 老师评一评 例7若a,b,c是三角形的三边,且满足关系式a+b2+c-bb-ac-bc=0,试判断这个三角形的形状 解:∵a+b2+c2-ab-ac-bc=0, ∴2a+2b2+2c2-2db-2ac-2bc=0 即(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2a+a)=0 (ab)2+(b-c)2+(c-a)2=0 由平方的非负性可知 ab=0, c-a=0, ∴ab=C. ∴.这个三角形是等边三角形 例8利用因式分解计算下列各题 (1)234×265-234×65;(2)992+198+1 (分析)主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算 解:(1)234×265-234×65=234×(265-65 =234×200=46800 (2)992+198+1=992+2×99×1+1 =(99+1)2=100 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com =(a-b)2 -(c+1)2 =[(a-b)+(c+1)][(a-b)-(c+1)] =(a-b+c+1)(a-b-c-1). 小结 解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因 式后，通常分下列几种情况考虑： (1)如果是四项或四项以上，考虑用分组分解法； (2)如果是二次三项式或完全平方式，则考虑用 x 2 +(p+q)x+pq 型式子或完全平方公式分解因式； (3)如果是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式. 最后，直到每一个因式都不能再分解为止. 例 6 解方程组 − = − = ② ① 2 1. 4 5, 2 2 x y x y (分析)本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难 的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程 x 2 -4y 2 =5 可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5，再把 x-2y=1 代入方程(x+2y)(x-2y)=5 中，即可得到 x+2y=5 由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解 出. 解：由①得(x+2y)(x-2y)=5，③ 把②代入③中得 x+2y=5，④ ∴原方程组化为 − = + = ② ④ 2 1, 2 5, x y x y ②+④得 2x=6，∴x=3. ②-④得 4y=4，∴y=1. ∴原方程组的解为 = = 1. 3, y x 学生做一做 解方程组 − = − + = 9 35. 3 7, 2 2 x y x y 老师评一评 = = 2. 1, y x 例 7 若 a，b，c 是三角形的三边，且满足关系式 a 2 +b2 +c-ab-ac-bc=0，试判断这个三角形的形状. 解：∵a 2 +b2 +c2 -ab-ac-bc=0， ∴2a 2 +2b2 +2c2 -2ab-2ac-2bc=0. 即(a 2 -2ab+b2 )+(b 2 -2bc+c 2 )+(c2 -2ac+a 2 )=0， (a-b)2 +(b-c)2 +(c-a) 2 =0. 由平方的非负性可知， ∴a=b=c. ∴这个三角形是等边三角形. 例 8 利用因式分解计算下列各题. (1)234×265-234×65； (2)992 +198+1. (分析)主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算. 解：(1)234×265-234×65=234×(265-65) =234×200=46800. (2)992 +198+1=992 +2×99×1+1 =(99+1)2 =1002