学科基础课平台必修课 《高等数学A1》课程教学大纲 Higher Mathematics Al 课程编号：130704003 学时：80 学分：50 适用对象：理工科各专业 先修课程：无 一、课程的性质和任务 本课程是学校理工科各专业的一门必修的重要的公共基础课。该课程可以支撑毕业要求第 12条的达成。 通过这门课程的学习，要使学生系统地获得一元函数微积分的基本知识，基础理论和常用 的运算方法，并注意培养学生比较熟练的运算能力抽象思维能力逻辑推理能力能力，从而使学 生受到数学方法训练和运用这些方法解决几何，力学和物理等实际问题的初步训练，为学习后继 课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础 二、教学目的与要求 教学中应认真贯彻“以应用为目的，以必需够用为度”的原则，教学重点放在“掌握概念。 强化应用，培养能力，提高素质”上。 教学目的：1.使学生掌据本课程的基本概念基本理论和基本运算，为学习各专业课程提供 必要的工具：2逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力综合运用所学知识分析和解决实际 问题的能力数学建模及使用计算机求解数学模型的能力初步抽象概括问题的能力.自主学习的 能力以及一定的逻辑推理能力，使学生在掌握数学知识的同时，尽量多地理解数学思想明晰数 学方法建立数学思维。课程教学应在学生的知识能力及素质三个方面的培养承担相应角色。 1,知识要求：通过本课程的学习，要使学生获得：理解和掌握函数的相关性质.极限的概 念.导数与微分的概念.中值定理及导数的应用。不定积分.定积分：熟练掌握复合函数的复合过 程。基本初等函数的简单性质及其图象.两个重要极限求极限的方法，基本初等函数的导数基本 公式.四则运算法则以及复合函数的求导方法.洛必达法则求“0/0”.“∞/∞”.“0× 四”，“四-∞”.“1四”。“00”和“©0”型未定式的极限方法不定积分第一换元法.第二换 元法.牛顿一莱布尼茨公式。定积分的换元积分法与分部积分法：理解和掌握定积的元素法定积 6
6 学科基础课平台必修课 《高等数学 A1》课程教学大纲 Higher Mathematics A1 课程编号：130704003 学时：80 学分：5.0 适用对象：理工科各专业 先修课程： 无 一、课程的性质和任务 本课程是学校理工科各专业的一门必修的重要的公共基础课。该课程可以支撑毕业要求第 1.2 条的达成。 通过这门课程的学习，要使学生系统地获得一元函数微积分的基本知识，基础理论和常用 的运算方法，并注意培养学生比较熟练的运算能力.抽象思维能力.逻辑推理能力能力，从而使学 生受到数学方法训练和运用这些方法解决几何.力学和物理等实际问题的初步训练，为学习后继 课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。 二、教学目的与要求 教学中应认真贯彻“以应用为目的，以必需够用为度”的原则，教学重点放在“掌握概念， 强化应用，培养能力，提高素质”上。 教学目的：1.使学生掌握本课程的基本概念.基本理论和基本运算，为学习各专业课程提供 必要的工具；2.逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力.综合运用所学知识分析和解决实际 问题的能力.数学建模及使用计算机求解数学模型的能力.初步抽象概括问题的能力.自主学习的 能力以及一定的逻辑推理能力，使学生在掌握数学知识的同时，尽量多地理解数学思想.明晰数 学方法.建立数学思维。课程教学应在学生的知识.能力.及素质三个方面的培养承担相应角色。 1. 知识要求：通过本课程的学习，要使学生获得：理解和掌握函数的相关性质.极限的概 念.导数与微分的概念.中值定理及导数的应用.不定积分.定积分；熟练掌握复合函数的复合过 程.基本初等函数的简单性质及其图象.两个重要极限求极限的方法.基本初等函数的导数基本 公式.四则运算法则以及复合函数的求导方法.洛必达法则求“0/0”.“∞/ ∞”.“0× ∞”.“∞-∞”.“1∞”.“00”和“∞0”型未定式的极限方法.不定积分第一换元法.第二换 元法.牛顿—莱布尼茨公式.定积分的换元积分法与分部积分法；理解和掌握定积的元素法.定积
分在几何和物理上的应用：熟练掌握常见一阶微分方程的解法以及高阶常系数微分方程.特别是 二阶常系数线性方程的解法。（支撑毕业要求1-1指标点） 2.能力要求：了解并适度掌握数学模型的基本综合知识，具各分析问题.解决问愿的能力。 3。素质要求：具备初步的抽象概括问题的能力.自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力。 三、教学内容 第一章函数与极限 1.基本内容 函数概念函数的性质，复合函数：极限，左右极限，无穷小量，无穷大量，极限的四则运 算，两个极限存在准则，两个重要极限：连续性，连续函数的运算性质，基木初等函数和闭区 间上连续函数的性质（最大值，最小值定理和介值定理）。 2教学基本要求： 理解函数的概念，函数在一点连续的概念：熟悉基本初等函数的性质及其图形：了解反函 数复合函数概念，极限的eN,e-6定义（对于给出e求N或6不作过高要求），并能在学习 过程中逐步加深对极限思想的理解，两个极限存在准则，无穷小无穷大概念，初等函数的连续 性：掌握极限四则运算法则及无穷小的比较：知道在闭间区上连续函数的性质：会用两个重要 极限求极限，会判断间断点的类型，能列出简单实际问题中的函数关系。 3教学重点难点： 函数的概念：连续函数的性质：两个重要极限求极限，判断间断点的类型，列出简单实际 问题中的函数关系：难点为函数极限的eN,e6定义。 4教学建议： 函数极限的eN,e-6定义不作考试要求。 第二章导数与微分 1基本内容： 导数概念，导数的几何意义，可导性与连续性之间的关系，导数的运算法则（四则运算复 合运算求反函数导数法则)，基本初等函数的导数公式，高阶导数，隐函数的导数，对数求导法， 由参数方程所确定的函数的导数，微分概念及其运算法则。高阶导数的概念，高阶导数的运算 法则，参数方程及隐函数的高阶导数。 2教学基本要求： 理解导数和微分概念：熟悉导数和微分的运算法则和导数的基本公式，熟练地求初等函数 的一阶，二阶导数：了解导数的几何意义，函数的可导性与连续性的关系，高阶导数概念：掌
7 分在几何和物理上的应用；熟练掌握常见一阶微分方程的解法以及高阶常系数微分方程.特别是 二阶常系数线性方程的解法。（支撑毕业要求 1-1 指标点） 2. 能力要求：了解并适度掌握数学模型的基本综合知识，具备分析问题.解决问题的能力。 3. 素质要求：具备初步的抽象概括问题的能力.自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力。 三、教学内容 第一章 函数与极限 1.基本内容： 函数概念.函数的性质，复合函数；极限，左右极限，无穷小量，无穷大量，极限的四则运 算，两个极限存在准则，两个重要极限；连续性，连续函数的运算性质，基本初等函数和闭区 间上连续函数的性质（最大值，最小值定理和介值定理）。 2.教学基本要求： 理解函数的概念，函数在一点连续的概念；熟悉基本初等函数的性质及其图形；了解反函 数.复合函数概念，极限的ε-N，ε-δ定义（对于给出ε求 N 或δ不作过高要求）,并能在学习 过程中逐步加深对极限思想的理解，两个极限存在准则，无穷小.无穷大概念，初等函数的连续 性；掌握极限四则运算法则及无穷小的比较；知道在闭间区上连续函数的性质；会用两个重要 极限求极限，会判断间断点的类型，能列出简单实际问题中的函数关系。 3.教学重点难点： 函数的概念；连续函数的性质；两个重要极限求极限，判断间断点的类型，列出简单实际 问题中的函数关系；难点为函数极限的ε-N，ε-δ定义。 4.教学建议： 函数极限的ε-N，ε-δ定义不作考试要求。 第二章 导数与微分 1.基本内容： 导数概念，导数的几何意义，可导性与连续性之间的关系，导数的运算法则（四则运算.复 合运算.求反函数导数法则），基本初等函数的导数公式，高阶导数，隐函数的导数，对数求导法， 由参数方程所确定的函数的导数，微分概念及其运算法则。高阶导数的概念，高阶导数的运算 法则，参数方程及隐函数的高阶导数。 2.教学基本要求： 理解导数和微分概念；熟悉导数和微分的运算法则和导数的基本公式，熟练地求初等函数 的一阶，二阶导数；了解导数的几何意义，函数的可导性与连续性的关系，高阶导数概念；掌
握隐函数和参数式所确定的函数的一阶二阶导数的求法。 3教学重点难点： 理解导数和微分概念，函数的可导性与连续性的关系：高阶导数的概念，高阶导数的运算 法则。高阶导数概念，导数的几何意义：难点为高阶导数，参数方程及隐函数的高阶导数。 4,教学建议： 微分在近似计算中的应用不作考试要求。 第三章微分中值定理与导数的应用 1基本内容： 罗尔定理，格朗日定理，柯西定理，带有拉格朗日余项的泰勒公式。导数的应用，罗必达 法则，函数增减性判定法，函数的极值及其求法，最大值，最小值问题，函数图形的凹凸及其 判定法，拐点及其求法，水平与垂直渐连线，函数图形的描绘，弧微分，曲率定义及其计算公 式与曲率半径。 2.教学基本要求： 理解罗尔定理，拉格朗日定理，函数的极值概念：熟悉柯西定理泰勒定理：掌握求函数的极 值，判断函数的增减性与函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点的方法：知道曲率和曲率半径 的概念：能用导数描述一些物理量，会应用拉格朗日定理，能描绘函数的图形，会解数简单的 最大值和最小值问题，会计算曲率和曲率半径。 3.教学重点难点： 掌握函数的极值的计算方法，判断函数的增减性与函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点 的方法。熟悉函数图形的描绘。难点为柯西定理泰勒定理：曲率和曲率半径的计算：函数作图。 4.教学建议： 泰勒公式不作考试要求。 第四章不定积分 1基本内容： 不定积分的概念，性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法，有理函数三角函数， 有理函数及简单的无理函数的积分举例。 2教学基本要求： 理解不定积分的概念和性质，掌握基本积分公式，换元积分法，分部积分法：了解有理函 数的积分，可化为有理函数的积分 3.教学重点难点：
8 握隐函数和参数式所确定的函数的一阶.二阶导数的求法。 3.教学重点难点： 理解导数和微分概念，函数的可导性与连续性的关系；高阶导数的概念，高阶导数的运算 法则。高阶导数概念，导数的几何意义；难点为高阶导数，参数方程及隐函数的高阶导数。 4.教学建议： 微分在近似计算中的应用不作考试要求。 第三章 微分中值定理与导数的应用 1.基本内容： 罗尔定理，格朗日定理，柯西定理，带有拉格朗日余项的泰勒公式。导数的应用，罗必达 法则，函数增减性判定法，函数的极值及其求法，最大值，最小值问题，函数图形的凹凸及其 判定法，拐点及其求法，水平与垂直渐连线，函数图形的描绘，弧微分，曲率定义及其计算公 式与曲率半径。 2.教学基本要求： 理解罗尔定理,拉格朗日定理，函数的极值概念；熟悉柯西定理.泰勒定理；掌握求函数的极 值，判断函数的增减性与函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点的方法；知道曲率和曲率半径 的概念；能用导数描述一些物理量，会应用拉格朗日定理，能描绘函数的图形，会解数简单的 最大值和最小值问题，会计算曲率和曲率半径。 3.教学重点难点： 掌握函数的极值的计算方法，判断函数的增减性与函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点 的方法。熟悉函数图形的描绘。难点为柯西定理.泰勒定理；曲率和曲率半径的计算；函数作图。 4.教学建议： 泰勒公式不作考试要求。 第四章 不定积分 1.基本内容： 不定积分的概念，性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法，有理函数.三角函数， 有理函数及简单的无理函数的积分举例。 2.教学基本要求： 理解不定积分的概念和性质，掌握基本积分公式，换元积分法，分部积分法；了解有理函 数的积分，可化为有理函数的积分。 3.教学重点难点：
不定积分的概念，性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法。第二类换元积分法， 有理函数积分法。 4敦学建议： 对于有理函数积分，只要求学生学会最简单的有理函数积分。 第五章定积分 1基本内容： 定积分概念.性质，积分变上限的函数及其求导定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元 法与分部积公法，广义积分，定积分在几何学中的应用（面积弧长.平行藏面面积已知的主体的 体积)。 2教学基本要求： 理解定积分的概念和性质，积分变上限的函数及其求导定理。熟悉牛顿一莱布尼兹公式， 定积分的换元法与分部积公法。 3,教学重点难点： 定积分的概念，性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法：广义积分，定积分在几 何学中的应用。定积分的换元法与分部积公法及应用：难点为反常积分。 4教学建议： 反常积分的敛散性不应作为重点。 第六章定积分的应用 1基本内容： 定积分的元素法：定积分在几何上的应用：平面图形的面积，特殊立体的体积，平面曲线 的弧长：定积分在物理上的应用。 2.教学基本要求： 熟练掌握利用定积分的微元法求解平面图形的面积，特殊立体的体积，平面曲线的弧长： 定积分在物理上的应用等实际问题。 3.教学重点难点： 定积分的微元法。利用微元法求解面积体积。 4教学建议： 定积分的微元法应该重点讲解，并适当引申。 第七章常微分方程 1基本内容： 9
9 不定积分的概念，性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法。第二类换元积分法， 有理函数积分法。 4.教学建议： 对于有理函数积分，只要求学生学会最简单的有理函数积分。 第五章 定积分 1.基本内容： 定积分概念.性质，积分变上限的函数及其求导定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元 法与分部积公法，广义积分，定积分在几何学中的应用（面积.弧长.平行截面面积已知的主体的 体积）。 2.教学基本要求： 理解定积分的概念和性质，积分变上限的函数及其求导定理。熟悉牛顿一莱布尼兹公式， 定积分的换元法与分部积公法。 3.教学重点难点： 定积分的概念，性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法；广义积分，定积分在几 何学中的应用。定积分的换元法与分部积公法及应用；难点为反常积分。 4.教学建议： 反常积分的敛散性不应作为重点。 第六章 定积分的应用 1.基本内容： 定积分的元素法；定积分在几何上的应用；平面图形的面积，特殊立体的体积，平面曲线 的弧长；定积分在物理上的应用。 2.教学基本要求： 熟练掌握利用定积分的微元法求解平面图形的面积，特殊立体的体积，平面曲线的弧长； 定积分在物理上的应用等实际问题。 3.教学重点难点： 定积分的微元法。利用微元法求解面积.体积。 4.教学建议： 定积分的微元法应该重点讲解，并适当引申。 第七章 常微分方程 1.基本内容：
微分方程的定义，阶解通解初始条件，特解。变量可分离的方程，齐次方程，一阶线性 方程，伯努利方程和全微分方程。可降阶的高阶微分方程：y'=f(x)y”=f(x,y), y=∫(y,y)。线性微分方程的解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次 线性微分方程。 2教学基本要求： 熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程的解 法。了解微分方程解通解，初始条件和特解等概念，二阶线性微分方程解的结构。掌握自由项 为多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程 的解法。知道下列几种特殊的高阶方程y=(x),y=f(x,y'),y=f(y,y)的解法，微 分方程的幂级数解法，高阶常系数齐次线性微分方程的解法。会识别下列几种一阶微分方程， 变量可分离的方程，齐次方程一阶线性方程，伯努利方程和全微分方程，会解齐次方程和伯努 利方程，会解较简单的全微分方程，会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。 3.教学重点难点： 微分方程通解的定义： 阶线性方程的解法， 二阶常系数齐次线性微分方程的解法。微分 方程的求解。 4教学建议： 欧拉方程可以不讲。 四、教学环节与学时分配 序 教学内容 总学 甘 课外铺导/ 备注 时 讲课 实验上机其他 课外实践 第一章函数.极限 1 16 14 连续 2第二章导数与微分 12 10 第三草中值定理与 3 14 导数的应用 2 0 4第四意不定积分 108 0 要方 5第五章定积分 8 8 第六章定积分的应 用 第七章常微分方程 12 10 8机动（阶段复习备用） 0 0 共十 80 66 14 五、教学中应注意的问题
10 微分方程的定义，阶.解.通解.初始条件，特解。变量可分离的方程，齐次方程，一阶线性 方程，伯努利方程和全微分方程。可降阶的高阶微分方程：y （n） =f（x）. y f ( x,y ) ， y f ( y,y ) 。线性微分方程的解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次 线性微分方程。 2.教学基本要求： 熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程的解 法。了解微分方程.解.通解，初始条件和特解等概念，二阶线性微分方程解的结构。掌握自由项 为多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程 的解法。知道下列几种特殊的高阶方程 y （n） =f（x）, y f ( x,y )， y f ( y,y ) 的解法，微 分方程的幂级数解法，高阶常系数齐次线性微分方程的解法。会识别下列几种一阶微分方程， 变量可分离的方程，齐次方程一阶线性方程，伯努利方程和全微分方程，会解齐次方程和伯努 利方程，会解较简单的全微分方程，会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。 3.教学重点难点： 微分方程.通解的定义；一阶线性方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。微分 方程的求解。 4.教学建议： 欧拉方程可以不讲。 四、教学环节与学时分配 序 号 教学内容 总学 时 其 中 课外辅导/ 课外实践 备 注 讲课 实验 上机 其他 1 第一章 函数.极限. 连续 16 14 0 0 2 0 “其 它”主 要方式 为习题 课 2 第二章 导数与微分 12 10 0 0 2 0 3 第三章 中值定理与 导数的应用 14 12 0 0 2 0 4 第四章 不定积分 10 8 0 0 2 0 5 第五章 定积分 8 8 0 0 0 0 6 第六章 定积分的应 用 6 4 0 0 2 0 7 第七章 常微分方程 12 10 0 0 2 0 8 机动（阶段复习备用） 2 0 0 0 2 0 共 计 80 66 0 0 14 0 五、教学中应注意的问题