《匹配滤波器》第8章 数字信号的最佳接收

滤波器输出噪声的平均功率为 0 2丌 Po (@ do=p(o)H(o) do 1["()H(o) dos no ro° 2丌J-∞2 4兀 ∫H(o)o(.1-4) 在抽样时刻t,线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声 平均功率之比为 joto do (0)2兀 (Os(oe (8.1-5) N 4丌 H(O) do

滤波器输出噪声的平均功率为        N P d P H d n ni 2 0 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1  0   −  − = =    −  − = =        H d n H d n 2 0 2 0 ( ) 4 ( ) ( ) 2 2 1 (8.1 - 4)    −  − = =         H d n H S e d N s t r j t 2 0 2 0 2 0 0 0 ( ) 4 ( ) ( ) 2 1 ( ) 0 在抽样时刻t0，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声 平均功率之比为 (8.1 - 5)

滤波器输出信噪比匚与输入信号的频谱函数S(ω)和滤 波器的传输函数H(o)有关。在输入信号给定的情况下, 输出信噪比只与滤波器的传输函数H(o)有关。使输 出信噪比r达到最大的传输函数H()就是我们所要求 的最佳滤波器的传输函数。 施瓦兹( Schwartz)不等式 (8.1-6) 2丌 式中,X(o)和Y(o)都是实变量o的复函数。当且仅当 X(O=KY(O (8.1-7) 时式中等式才能成立

滤波器输出信噪比ro与输入信号的频谱函数S(ω)和滤 波器的传输函数H(ω)有关。在输入信号给定的情况下， 输出信噪比ro只与滤波器的传输函数H(ω)有关。使输 出信噪比ro达到最大的传输函数H(ω)就是我们所要求 的最佳滤波器的传输函数。 施瓦兹(Schwartz)不等式     −  −  −            X Y d X d Y d 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 (8.1 - 6) 式中， X(ω)和Y(ω)都是实变量ω的复函数。当且仅当 时式中等式才能成立。() ()  X = KY (8.1 - 7)

令 X()=H() 8.1-8) Y(O=S(oe (8.1-9) H(oS(o)e/oo dol 2丌 可得= (8.1-10) 4丌 ∫(o) LH(o dolls S(Oe JO/2 S(o do 4丌 O 4 根据帕塞瓦尔( Parseval)定理有 T s(a)do=s2(dt=E (8.1-1D

X () = H() (8.1 - 8) 0 ( ) ( ) j t Y S e   =  (8.1 - 9) 令 可得    −  − =         H d n H S e d r j t 2 0 2 0 ( ) 4 ( ) ( ) 2 1 0 (8.1 - 10) 2 ( ) 2 1 ( ) 4 ( ) ( ) 4 1 0 2 2 0 2 2 2 0 n S d H d n H d S e d j t      −  −  −  −  =             根据帕塞瓦尔(Parseval)定理有 S d = s t dt = E    −  − ( ) ( ) 2 1 2 2    (8.1 - 11)

因此 2E (8.1-12) 2E 最大输出信噪比6om (8.1-13) 根据施瓦兹不等式中等号成立的条件可得 匹配滤波器 Ho=KS(oe (8.1-14) h()÷、1 H(oe da Ks(oe oelde 2丌 2丌 K on s(Te jo(to-do 2丌 K e o(T-to+ido s(TaT -o2丌 -kLs(r)8(T-to +tdr=Ks(to-t (8.1-15)

0 0 2 n E 因此 r  (8.1 - 12) 最大输出信噪比 0 0max 2 n E r = (8.1 - 13) 0 ( ) ( ) j t H KS e     − = (8.1 - 14) 根据施瓦兹不等式中等号成立的条件可得 匹配滤波器    −  −  − = =          h t H e d K S e e d j t j t j t 0 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( )       −  − − +  − − −  −       = =             K e d s d s e d e d K j t t j j t t ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 = K s −t +t d = Ks t −t   −     (8.1 - 15)

即匹配滤波器的单位冲激响应为 h()=K(t-D) (8.1-16) 上式表明,匹配滤波器的单位冲激响应h(t)是输入信 号s的镜像函数,t为输出最大信噪比时刻。 s() h(t) 图8-2匹配滤波器单位冲激响应原理

即匹配滤波器的单位冲激响应为 ( ) ( ) 0 h t = Ks t −t (8.1 - 16) 上式表明，匹配滤波器的单位冲激响应h(t)是输入信 号s(t)的镜像函数，t0为输出最大信噪比时刻。 图8-2 匹配滤波器单位冲激响应原理 s(t) O T t h(t) O t t 0