◆二、平面图的特征 ◆找出一个图是平面图的充分必要条件的 研究曾经持续了几十年,直到1930年库 拉托斯基( Kuratowski)给出了平面图的 一个非常简洁的特征
二、平面图的特征 找出一个图是平面图的充分必要条件的 研究曾经持续了几十年, 直到 1930 年库 拉托斯基 (Kuratowski) 给出了平面图的 一个非常简洁的特征
◆首先介绍剖分的概念: ◆给定图G的一个剖分是对G实行有限次下 述过程而得到的图: ◆删去它的一条边{uy后添加一个新的点 w以及新的边{wu和{w,v} ◆也就是说在G的边上插入有限个点便得 到G的一个剖分。 ◆下图中给出了K的一个剖分
首先介绍剖分的概念： 给定图G的一个剖分是对G实行有限次下 述过程而得到的图: 删去它的一条边{u,v}后添加一个新的点 w以及新的边{w,u}和{w,v}。 也就是说在G的边上插入有限个点便得 到 G的一个剖分。 下图中给出了K5的一个剖分
◆定理:(1)若图G的一个子图是Kn的剖分 则G中至少有n个顶点度数大于等于n1; ◆(2)若图G的一个子图是Kn的剖分,则G 中至少有2n个顶点度数大于等于n ◆例:G=(V,E),ⅣV=7,若G中含有K的剖 分,则G不含有K或K3的剖分 ◆定理63(库拉托斯基定理:图G是平面图 当且仅当它的任何子图都不是K或K3 的剖分。 上例中G是非平面图,而G是平面图
定理：(1)若图G的一个子图是Kn的剖分， 则G中至少有n个顶点度数大于等于n-1； (2)若图G的一个子图是Kn,n的剖分，则G 中至少有2n个顶点度数大于等于n。 例：G=(V,E)，|V|=7，若G中含有K5的剖 分，则 不含有K5或K3,3的剖分. 定理 6.3 (库拉托斯基定理):图G是平面图 当且仅当它的任何子图都不是K5或 K3,3 的剖分。 上例中G是非平面图，而 是平面图 G G
◆此定理告诉我们: ◆(1)一个图是平面图,则不含有K的剖分, 也不含有K3的剖分。 ◆(2)若图G不含有K的剖分,也不含有K33 的剖分。则G一定是平面图。 ◆(3)若图G含有K的剖分,则G一定不是 平面图;若图G含有K3的剖分,则G 定不是平面图 ◆(4)若图G不是平面图,则或者G含有Ks 的剖分,或者G含有K3的剖分
此定理告诉我们： (1)一个图是平面图，则不含有K5的剖分， 也不含有K3,3的剖分。 (2)若图G不含有K5的剖分，也不含有K3,3 的剖分。则G一定是平面图。 (3)若图G含有K5的剖分，则G一定不是 平面图；若图G含有K3,3的剖分，则G一 定不是平面图。 (4)若图G不是平面图，则或者G含有K5 的剖分，或者G含有K3,3的剖分