高等数学(A)教学大纲 课程性质:理科基础课 学分数:5+5 学时数:(5+1)×18×2=(90+18)×2=216,其中 I一元函数微积分:55+11 Ⅱ线性代数与空间解析几何:48+10 Ⅲ多元函数微积分:62+12 Ⅳ常微分方程:15+3 教学对象:理科自然科学类和技术科学类本科一年级学生 教学内容与要求 高等数学(上) 总学时:90+18 元函数微积分 、极限与连续(学时数:15+3) 教学内容 1.函数 函数概念;函数的图象;函数的性质;复合函数;反函数;初等函数。 2.数列的极限 无穷小量;无穷小量的运算;数列的极限;收敛数列的性质;单调有界数列 Cauchy收敛准则 3.函数的极限 自变量趋于有限值时函数的极限;极限的性质;单侧极限;无穷远处的极限 曲线的渐近线 4.连续函数 函数在一点的连续性;函数的间断点;区间上的连续函数;闭区间上连续函 数的性质;无穷小和无穷大的连续变量 教学要求
1 高等数学(A)教学大纲 课程性质：理科基础课 学分数：5+5 学时数：(5+1)×18×2=(90+18)×2=216，其中 Ⅰ 一元函数微积分：55+11 Ⅱ 线性代数与空间解析几何：48+10 Ⅲ 多元函数微积分：62+12 Ⅳ 常微分方程：15+3 教学对象：理科自然科学类和技术科学类本科一年级学生 教学内容与要求 高 等 数 学（上） 总学时：90+18 Ⅰ 一元函数微积分 一、极限与连续（学时数：15+3） 教学内容 1．函数 函数概念；函数的图象；函数的性质；复合函数；反函数；初等函数。 2．数列的极限 无穷小量；无穷小量的运算；数列的极限；收敛数列的性质；单调有界数列； Cauchy 收敛准则。 3．函数的极限 自变量趋于有限值时函数的极限；极限的性质；单侧极限；无穷远处的极限； 曲线的渐近线。 4．连续函数 函数在一点的连续性；函数的间断点；区间上的连续函数；闭区间上连续函 数的性质；无穷小和无穷大的连续变量。 教学要求
1.理解函数、函数的图象、函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性等概念 及性质 2.理解复合函数的概念,了解反函数的概念。 3.掌握基本初等函数的性质及其图象,了解初等函数的概念 4.理解数列极限的概念。 5.掌握数列极限的性质及四则运算法则 6.掌握单调有界数列必有极限的准则,掌握数列极限的夹逼准则,并会利用 它们求极限,了解 Cauchy收敛原理。 7.理解函数极限的概念(含自变量趋于有限值或无穷大时的极限及单侧极 限)。 8.掌握函数极限的性质及四则运算法则,掌握利用两个重要的极限求有关的 极限。 9.会求曲线的水平、垂直和斜渐近线 10.理解无穷小和无穷大的概念,掌握无穷小的比较法,会用等价无穷小求 极限。 1.理解函数连续性的概念,会判断函数的间断性 12.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性 质,掌握这些性质的简单应用。 二、微分与导数(学时数:20+4) 教学内容 1.微分与导数的概念 微分的概念;导数的概念;导数的意义;微分的几何意义 2.求导运算 初等函数的导数;四则运算的求导法则;复合函数求导的链式法则;反函数 求导法则;对数求导法;高阶导数 3.微分运算 基本初等函数的微分公式;微分运算法则:一阶微分的形式不变性;隐函数 求导法;参数方程确定的函数求导;微分的应用:近似计算、误差估计 4.微分学中值定理
2 1．理解函数、函数的图象、函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性等概念 及性质。 2．理解复合函数的概念，了解反函数的概念。 3．掌握基本初等函数的性质及其图象，了解初等函数的概念。 4．理解数列极限的概念。 5．掌握数列极限的性质及四则运算法则。 6．掌握单调有界数列必有极限的准则，掌握数列极限的夹逼准则，并会利用 它们求极限，了解 Cauchy 收敛原理。 7．理解函数极限的概念（含自变量趋于有限值或无穷大时的极限及单侧极 限）。 8．掌握函数极限的性质及四则运算法则，掌握利用两个重要的极限求有关的 极限。 9．会求曲线的水平、垂直和斜渐近线。 10．理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小的比较法，会用等价无穷小求 极限。 11．理解函数连续性的概念，会判断函数的间断性。 12．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性 质，掌握这些性质的简单应用。 二、微分与导数（学时数：20+4） 教学内容 1．微分与导数的概念 微分的概念；导数的概念；导数的意义；微分的几何意义。 2．求导运算 初等函数的导数；四则运算的求导法则；复合函数求导的链式法则；反函数 求导法则；对数求导法；高阶导数。 3．微分运算 基本初等函数的微分公式；微分运算法则；一阶微分的形式不变性；隐函数 求导法；参数方程确定的函数求导；微分的应用：近似计算、误差估计。 4．微分学中值定理
局部极值与 Fermat定理;Roll定理;微分学中值定理; Cauchy中值定理 5. L'Hospital法则 0型的极限:型的极限:其它不定型的极限 6. Taylor公式 带 Peano余项的 Taylor公式;带 Lagrange余项的 Taylor公式; Maclaurin公 式 7.函数的单调性和凸性 函数的单调性;函数的极值;最大值和最小值;函数的凸性;曲线的拐点 函数图象的描绘 8.方程的近似求解 教学要求 1.理解微分和导数的概念、关系和几何意义。会用导数描述一些物理量,理 解函数的可微性和连续性的关系 2.熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数求导的链式法则,熟练掌握基本 初等函数的求导公式、掌握反函数求导方法,隐函数求导方法和参数方程确定的 函数的求导法,掌握对数求导法 3.理解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数 4.了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性,会求函数的微分,了 解微分在近似计算和误差估计中的应用。 5.理解并能应用Role定理, Lagrange微分学中值定理,了解并会用 Cauchy 中值定理。 6.掌握用 L'Hospital法则求未定式极限的方法。 7.掌握带 Peano余项和 Lagrange余项的 Taylor公式,掌握 Maclaurin公式 8.理解函数极值的概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用 9.掌握用导数判断函数的凸性和拐点的方法 10.掌握根据函数的微分性质描绘函数图象的方法。 11.了解求方程近似解的 Newton切线法
3 局部极值与 Fermat 定理；Rolle 定理；微分学中值定理；Cauchy 中值定理。 5．L'Hospital 法则 0 0 型的极限； 型的极限；其它不定型的极限。 6．Taylor 公式 带 Peano 余项的 Taylor 公式；带 Lagrange 余项的 Taylor 公式；Machlaurin 公 式。 7．函数的单调性和凸性 函数的单调性；函数的极值；最大值和最小值；函数的凸性；曲线的拐点； 函数图象的描绘。 8．方程的近似求解 教学要求 1．理解微分和导数的概念、关系和几何意义。会用导数描述一些物理量，理 解函数的可微性和连续性的关系。 2．熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数求导的链式法则，熟练掌握基本 初等函数的求导公式、掌握反函数求导方法，隐函数求导方法和参数方程确定的 函数的求导法，掌握对数求导法。 3．理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4．了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性，会求函数的微分，了 解微分在近似计算和误差估计中的应用。 5．理解并能应用 Rolle 定理，Lagrange 微分学中值定理，了解并会用 Cauchy 中值定理。 6．掌握用 L'Hospital 法则求未定式极限的方法。 7．掌握带 Peano 余项和 Lagrange 余项的 Taylor 公式，掌握 Maclaurin 公式。 8．理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法， 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9．掌握用导数判断函数的凸性和拐点的方法。 10．掌握根据函数的微分性质描绘函数图象的方法。 11．了解求方程近似解的 Newton 切线法
三、一元函数积分学(学时数:20+4) 教学内容 1.定积分的概念、性质和微积分基本定理 面积问题;路程问题;定积分的定义;定积分的性质:原函数;微积分基本 定理 2.不定积分的计算 不定积分;基本不定积分表;第一类换元积分法(凑微分法):第二类换元积 分法;分部积分法;有理函数的积分;某些无理函数的积分;三角函数有理式的 积分 3.定积分的计算 分部积分法;换元积分法;数值积分:梯形公式、抛物线公式( Simpson公式)。 4.定积分的应用 微元法;面积问题:直角坐标下的区域、极坐标下的区域;已知平行截面面 积求体积;旋转体的体积;曲线的弧长;旋转曲面的面积;由分布密度求分布总 量:质量、引力、液体对垂直壁的压力;动态过程的累积效应:功 5.广义积分 无穷限的广义积分;比较判别法:无界函数的广义积分; Cauchy主值积分 「函数;B函数 教学要求 1.理解定积分的概念、意义和性质,理解原函数的概念 2.掌握微积分基本定理。 3.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的第一换元积分法和第二换元积 分法,掌握分部积分法。 4.会计算有理函数的积分、某些无理函数的积分和三角函数有理式的积分。 5.掌握定积分计算的换元积分法和分部积分法 6.了解数值积分的梯形公式和 Simpson公式。 7.了解定积分应用的微元法,掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量 的方法(包括平面图形的面积,已知平行截面面积求体积,旋转体的体积,曲线 的弧长,旋转曲面的面积,质量、引力、液体对垂直壁的压力,功)。 8.了解广义积分的概念,掌握关于广义积分收敛性的比较判别法,了解 Cauchy
4 三、一元函数积分学（学时数：20+4） 教学内容 1．定积分的概念、性质和微积分基本定理 面积问题；路程问题；定积分的定义；定积分的性质；原函数；微积分基本 定理。 2．不定积分的计算 不定积分；基本不定积分表；第一类换元积分法（凑微分法）；第二类换元积 分法；分部积分法；有理函数的积分；某些无理函数的积分；三角函数有理式的 积分。 3．定积分的计算 分部积分法；换元积分法；数值积分：梯形公式、抛物线公式（Simpson 公式）。 4．定积分的应用 微元法；面积问题：直角坐标下的区域、极坐标下的区域；已知平行截面面 积求体积；旋转体的体积；曲线的弧长；旋转曲面的面积；由分布密度求分布总 量：质量、引力、液体对垂直壁的压力；动态过程的累积效应：功。 5．广义积分 无穷限的广义积分；比较判别法；无界函数的广义积分；Cauchy 主值积分； Γ 函数；Β 函数。 教学要求 1．理解定积分的概念、意义和性质，理解原函数的概念。 2．掌握微积分基本定理。 3．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的第一换元积分法和第二换元积 分法，掌握分部积分法。 4．会计算有理函数的积分、某些无理函数的积分和三角函数有理式的积分。 5．掌握定积分计算的换元积分法和分部积分法。 6．了解数值积分的梯形公式和 Simpson 公式。 7．了解定积分应用的微元法，掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量 的方法（包括平面图形的面积，已知平行截面面积求体积，旋转体的体积，曲线 的弧长，旋转曲面的面积，质量、引力、液体对垂直壁的压力，功）。 8．了解广义积分的概念，掌握关于广义积分收敛性的比较判别法，了解 Cauchy
主值积分,会计算广义积分。了解厂函数和B函数的概念及基本性质 线性代数与空间解析几何(一) 四、矩阵和线性方程组(学时数:22+4) 教学内容 1.向量与矩阵 向量;矩阵;矩阵的运算;分块矩阵的运算。 2.行列式 n阶行列式的定义;行列式的性质 3.逆阵 逆阵的定义;用初等变换求逆阵; Cramer法则。 向量的线性关系 线性相关与线性无关;与线性关系有关的性质 5.秩 向量组的秩;矩阵的秩 6.线性方程组 齐次线性方程组;非齐次线性方程组; Causs消去法; Jacobi迭代法。 教学要求 1.理解向量和矩阵的概念。掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、共轭转置以 及它们的运算规则,了解分块矩阵的概念、性质及运算 2.理解n阶行列式的定义,掌握行列式的性质,并能利用这些性质计算行列 式 3.理解逆矩阵的概念,掌握矩阵可逆的主要条件,会用初等变换求逆阵,会 用伴随矩阵求矩阵的逆。 理解向量组线性相关和线性无关的概念,掌握向量组线性相关和线性无关 的有关性质。 理解向量组线性无关极大组的概念,理解向量组的秩和矩阵的秩及相互关 系,会求矩阵的秩 6.掌握 Cramer法则,了解Gaus消去法
5 主值积分，会计算广义积分。了解Γ 函数和Β 函数的概念及基本性质。 Ⅱ 线性代数与空间解析几何（一） 四、矩阵和线性方程组（学时数：22+4） 教学内容 1．向量与矩阵 向量；矩阵；矩阵的运算；分块矩阵的运算。 2．行列式 n 阶行列式的定义；行列式的性质。 3．逆阵 逆阵的定义；用初等变换求逆阵；Cramer 法则。 4．向量的线性关系 线性相关与线性无关；与线性关系有关的性质。 5．秩 向量组的秩；矩阵的秩。 6．线性方程组 齐次线性方程组；非齐次线性方程组；Causs 消去法；Jacobi 迭代法。 教学要求 1．理解向量和矩阵的概念。掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、共轭转置以 及它们的运算规则，了解分块矩阵的概念、性质及运算。 2．理解 n 阶行列式的定义，掌握行列式的性质，并能利用这些性质计算行列 式。 3．理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的主要条件，会用初等变换求逆阵，会 用伴随矩阵求矩阵的逆。 4．理解向量组线性相关和线性无关的概念，掌握向量组线性相关和线性无关 的有关性质。 5．理解向量组线性无关极大组的概念，理解向量组的秩和矩阵的秩及相互关 系，会求矩阵的秩。 6．掌握 Cramer 法则，了解 Gauss 消去法