《数值分析》课程大纲一、课程名称：数值分析二、课程性质：选修、理论课三、学时与学分：32学时，2学分四、课程先导课：高等数学、线性代数、高级语言程序设计等五、课程简介“数值分析”是介绍使用计算机求解连续性数学问题的数值方法与理论，具有很强的理论性、实践性与应用的厂泛性，它是数学科学的一个分支，且与计算机科学技术的发展紧密相关，是计算机典型而深入的重要应用领域，是继理论与实验后另一科学研究手段。“数值分析”是包括计算机科学技术、数据科学与技术等在内的工科专业的一专业基础课。课程以计算机求解数学问题的数值计算原理与误差分析理论为基础，详细讨论科学与工程应用中常见的基本数学问题如函数的数值逼近、数值积分与微分、常微分方程数值解、非线性方程求根，以及线性方程组数值解等问题的求解方法、数值算法、误差估计、收敛性与稳定性分析理论，从而可在计算机上通过编程实现对相关数学问题的实用、可靠与有效的数值求解。在现代科学研究与工程实践中，存在许多建模为连续性数学模型的问题，数值计算是解决这些问题的主要手段，通过该课程的学习与应用实践，有助于提升学生的数学建模能力，应用问题求解能力与工程化实践能力。六、课程目标通过相关教学活动，使学生理解数值计算基本原理，掌握典型数值计算问题的数值求解方法、处理技巧与数值算法，并能够对数值解进行误差分析，掌握相应的收敛性与稳定性分析的理论与方法，通关数值求解编程实践提高学生运用数值分析方法解决实际问题的能力与科学计算程序设计的能力。课程具体目标包括：目标1：理解数值计算基本原理，掌握离散化、递推化与近似替代等常用数值算法设计技术，能将科学与工程应用中的一般连续性数学问题转化为数值计算问题，培养计算机应用中的数值计算思维。目标2：掌握典型数值计算问题如函数插值与逼近、数值积分、常微分方程数值解、非线性方程与初步数值代数等问题的求解方法，及其中计算处理技巧
《数值分析》课程大纲 一、课程名称：数值分析 二、课程性质：选修、理论课 三、学时与学分：32 学时，2 学分 四、课程先导课：高等数学、线性代数、高级语言程序设计等 五、课程简介 “数值分析”是介绍使用计算机求解连续性数学问题的数值方法与理论，具 有很强的理论性、实践性与应用的广泛性，它是数学科学的一个分支，且与计算 机科学技术的发展紧密相关，是计算机典型而深入的重要应用领域，是继理论与 实验后另一科学研究手段。“数值分析”是包括计算机科学技术、数据科学与技 术等在内的工科专业的一门专业基础课。课程以计算机求解数学问题的数值计算 原理与误差分析理论为基础，详细讨论科学与工程应用中常见的基本数学问题如 函数的数值逼近、数值积分与微分、常微分方程数值解、非线性方程求根，以及 线性方程组数值解等问题的求解方法、数值算法、误差估计、收敛性与稳定性分 析理论，从而可在计算机上通过编程实现对相关数学问题的实用、可靠与有效的 数值求解。在现代科学研究与工程实践中，存在许多建模为连续性数学模型的问 题，数值计算是解决这些问题的主要手段，通过该课程的学习与应用实践，有助 于提升学生的数学建模能力，应用问题求解能力与工程化实践能力。 六、课程目标 通过相关教学活动，使学生理解数值计算基本原理，掌握典型数值计算问题 的数值求解方法、处理技巧与数值算法，并能够对数值解进行误差分析，掌握相 应的收敛性与稳定性分析的理论与方法，通关数值求解编程实践提高学生运用数 值分析方法解决实际问题的能力与科学计算程序设计的能力。 课程具体目标包括： 目标 1：理解数值计算基本原理，掌握离散化、递推化与近似替代等常用数 值算法设计技术，能将科学与工程应用中的一般连续性数学问题转化为数值计算 问题，培养计算机应用中的数值计算思维。 目标 2：掌握典型数值计算问题如函数插值与逼近、数值积分、常微分方程 数值解、非线性方程与初步数值代数等问题的求解方法，及其中计算处理技巧
认识其模型的数学特征，理解它们的应用背景，提升对应用问题进行抽象分析与数学建模的能力。目标3：在掌握典型数值计算问题求解方法的基础上，进行一定的数值算法设计与数值计算程序设计，认识数值计算程序设计的特征，通过小型工程应用实践，进一步培养学生编制数值计算软件或软件模块的能力。目标4：掌握误差分析的基本方法，包括典型问题数值解的截断误差与舍入误差估计，以及数值算法收敛性与稳定性的概念与分析方法；并通过一定的数值计算实验，加深理解数值算法收敛性与稳定性的含义：能根据数值算法的收敛速度、稳定性与计算复杂度等方面进行合理选择。目标5：了解数值分析/数值计算的发展历史，认识到计算机技术与科学和工程应用技术驱动看数值分析学科的不断发展，新的数值计算问题及新的数值计算方法不断涌现，培养学生在专业学习的过程中提炼数值计算问题与应用数值计算方法的自觉性，不断提高数值计算及其应用能力。七、课程目标对毕业要求的支撑关系支撑的毕业要求二级指标点对应课程目标1.1能将数学、自然科学和信息科学的语言工具用于计算机复杂工程目标1问题的表述1.2能针对计算机复杂工程问题的具体对象进行建模和求解目标23.2能为计算机复杂工程问题解决方案设计满足特定需求的软/硬件目标3模块4.3能对实验结果进行理论分析，对实验现象进行解释，并能通过信目标4息综合得到合理有效的结论。12.1能认识到计算机技术日新月异的发展特点，认同自主学习和终目标5身学习的必要性12.2具备自主学习能力，能通过多种途径拓展自己的知识和能力，目标5包括理解能力、归纳总结能力和提出问题的能力等八，教学设计及对课程目标的支持第一章数值分析引论1.教学目标1）理解数值分析的课程特点，常用的数值算法思想，了解数值分析发展的历史与未来趋势；2）掌握误差的基本理论，包括误差的来源，误差、误差限、相对误差与有效数字及其相互关系；
认识其模型的数学特征，理解它们的应用背景，提升对应用问题进行抽象分析与 数学建模的能力。 目标 3：在掌握典型数值计算问题求解方法的基础上，进行一定的数值算法 设计与数值计算程序设计，认识数值计算程序设计的特征，通过小型工程应用实 践，进一步培养学生编制数值计算软件或软件模块的能力。 目标 4：掌握误差分析的基本方法，包括典型问题数值解的截断误差与舍入 误差估计，以及数值算法收敛性与稳定性的概念与分析方法；并通过一定的数值 计算实验，加深理解数值算法收敛性与稳定性的含义；能根据数值算法的收敛速 度、稳定性与计算复杂度等方面进行合理选择。 目标 5：了解数值分析/数值计算的发展历史，认识到计算机技术与科学和 工程应用技术驱动着数值分析学科的不断发展，新的数值计算问题及新的数值计 算方法不断涌现，培养学生在专业学习的过程中提炼数值计算问题与应用数值计 算方法的自觉性，不断提高数值计算及其应用能力。 七、课程目标对毕业要求的支撑关系 支撑的毕业要求二级指标点 对应课程目标 1.1 能将数学、自然科学和信息科学的语言工具用于计算机复杂工程 问题的表述 目标 1 1.2 能针对计算机复杂工程问题的具体对象进行建模和求解 目标 2 3.2 能为计算机复杂工程问题解决方案设计满足特定需求的软/硬件 模块 目标 3 4.3 能对实验结果进行理论分析，对实验现象进行解释，并能通过信 息综合得到合理有效的结论。 目标 4 12.1 能认识到计算机技术日新月异的发展特点，认同自主学习和终 身学习的必要性 目标 5 12.2 具备自主学习能力，能通过多种途径拓展自己的知识和能力， 包括理解能力、归纳总结能力和提出问题的能力等 目标 5 八、教学设计及对课程目标的支持 第一章 数值分析引论 1.教学目标 1） 理解数值分析的课程特点，常用的数值算法思想，了解数值分析发展的 历史与未来趋势； 2）掌握误差的基本理论，包括误差的来源，误差、误差限、相对误差与有 效数字及其相互关系；
3）掌握四则运算的误差传播分析方法，了解函数运算稳定性分析原理：4）理解近似计算应注意的一些原则以及数值方法的评价准则本章教学支持课程目标1、目标4和课程目标5。2.教学重点1）截断误差与舍入误差的概念在误差的四种来源中，截断误差与舍入误差和数值方法直接相关，也是后面每章都需分析的问题，要求学生能理解截断误差与舍入误差的概念，能举例说明它们的区别。2）误差、误差限、相对误差与有效数字数值计算是以允许误差为基础的，学生必须掌握误差的几种表示形式，以及它们相互之间的转换方法。3.教学难点1）算术运算的误差传播分析稳定性是评价数值算法性能的重要方面，算术运算的误差传播分析是基础，学生必须掌握基本的误差分析公式，并可以应用到简单计算的误差传播分析之中4.教学环节设计围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲授与讨论、作业、课外阅读等教学形式。1）讨论在数值分析对应用问题求解过程中会产生哪几种不同类型的误差？举例说明截断误差与舍入误差的区别。在科学研究与工程实践中，讨论数值计算的典型应用实例。2）作业主要练习误差限与有效数字的相互转化，算术运算的误差分析。3）课外阅读阅读数值分析发展史与趋势分析的文献。第二章插值法与曲线拟合本章的主要知识点包括多项式插值的概念及存在唯一性；Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段插值；曲线拟合的最小二乘法。1.教学目标1）掌握多项式插值的基本概念以及插值多项式的存在唯一性；2）掌握Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段线性插值的插值公式及其利用基函数法的推导过程，以及它们的余项公式及其证明方法；
3）掌握四则运算的误差传播分析方法，了解函数运算稳定性分析原理； 4）理解近似计算应注意的一些原则以及数值方法的评价准则。 本章教学支持课程目标 1、目标 4 和课程目标 5。 2.教学重点 1）截断误差与舍入误差的概念 在误差的四种来源中，截断误差与舍入误差和数值方法直接相关，也是后面 每章都需分析的问题，要求学生能理解截断误差与舍入误差的概念，能举例说明 它们的区别。 2）误差、误差限、相对误差与有效数字 数值计算是以允许误差为基础的，学生必须掌握误差的几种表示形式，以及 它们相互之间的转换方法。 3.教学难点 1）算术运算的误差传播分析 稳定性是评价数值算法性能的重要方面，算术运算的误差传播分析是基础， 学生必须掌握基本的误差分析公式，并可以应用到简单计算的误差传播分析之中。 4.教学环节设计 围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲授与讨论、作业、课外阅读等教 学形式。 1）讨论 在数值分析对应用问题求解过程中会产生哪几种不同类型的误差？举例说 明截断误差与舍入误差的区别。在科学研究与工程实践中，讨论数值计算的典型 应用实例。 2）作业 主要练习误差限与有效数字的相互转化，算术运算的误差分析。 3）课外阅读 阅读数值分析发展史与趋势分析的文献。 第二章 插值法与曲线拟合 本章的主要知识点包括多项式插值的概念及存在唯一性；Lagrange 插值、 Newton 插值、Hermite 插值、分段插值；曲线拟合的最小二乘法。 1.教学目标 1）掌握多项式插值的基本概念以及插值多项式的存在唯一性； 2）掌握 Lagrange 插值、Newton 插值、Hermite 插值、分段线性插值的插值 公式及其利用基函数法的推导过程，以及它们的余项公式及其证明方法；
3）掌握直线拟合的最小二乘法；理解正规方程组及其特征；4）能熟练利用上述插值法与直线拟合法对给定数据建立多项式近似模型。本章教学支持的课程目标为目标2、目标3与目标4。2.教学重点1）Lagrange插值、分段线性插值Lagrange插值是插值法的基础，也是教学的重点；龙格现象说明Lagrange插值多项式不具有收敛性，而分段线性插值多项式具有一致收敛性。2）直线拟合的最小二乘法为已知复杂函数或给定数据建立近似多项式表示，除了插值法之外，另有一类数值方法就是曲线拟合，让学生重点掌握直线拟合的最小二乘法基本原理，正规方程组及其应用，理解插值法与曲线拟合的区别，3.教学难点1）Lagrange插值余项公式截断误差分析是数值分析课程理论性的一个方面，要求学生理解利用数学方法推导Lagrange插值余项公式的基本方法，并会利用余项公式估计插值计算结果的截断误差限。2）Hermite插值Hermite插值相比于Lagrange插值多了一类插值条件，Hermite插值基函数比Lagrange插值基函数更复杂，Hermite插值公式的推导过程、形式特征及余项估计也比Lagrange插值复杂得多，并且在数学方法运用上具有代表性，是本章教学的难点之一。4.教学环节设计围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲解、直观演示、讨论、作业与课外数值实验等教学形式。1）课堂讨论待定系数法求解插值多项式的计算复杂度与可行性，不同插值法的计算特征与应用局限性，多项式插值与曲线拟合的区别。2）作业主要练习依据给定函数表应用几种插值公式求解相应的插值多项式，利用插值余项公式估计计算结果的误差：并对不规则Hermite低次插值问题，建立其插值多项式，推导与证明其插值余项：直线拟合实例求解等。3）直观演示
3）掌握直线拟合的最小二乘法；理解正规方程组及其特征； 4）能熟练利用上述插值法与直线拟合法对给定数据建立多项式近似模型。 本章教学支持的课程目标为目标 2、目标 3 与目标 4。 2.教学重点 1）Lagrange 插值、分段线性插值 Lagrange 插值是插值法的基础，也是教学的重点；龙格现象说明 Lagrange 插值多项式不具有收敛性，而分段线性插值多项式具有一致收敛性。 2）直线拟合的最小二乘法 为已知复杂函数或给定数据建立近似多项式表示，除了插值法之外，另有一 类数值方法就是曲线拟合，让学生重点掌握直线拟合的最小二乘法基本原理，正 规方程组及其应用，理解插值法与曲线拟合的区别。 3.教学难点 1）Lagrange 插值余项公式 截断误差分析是数值分析课程理论性的一个方面，要求学生理解利用数学方 法推导 Lagrange 插值余项公式的基本方法，并会利用余项公式估计插值计算结 果的截断误差限。 2）Hermite 插值 Hermite 插值相比于 Lagrange 插值多了一类插值条件，Hermite 插值基函数比 Lagrange 插值基函数更复杂，Hermite 插值公式的推导过程、形式特征及余项估 计也比 Lagrange 插值复杂得多，并且在数学方法运用上具有代表性，是本章教 学的难点之一。 4.教学环节设计 围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲解、直观演示、讨论、作业与课 外数值实验等教学形式。 1）课堂讨论 待定系数法求解插值多项式的计算复杂度与可行性，不同插值法的计算特征 与应用局限性，多项式插值与曲线拟合的区别。 2）作业 主要练习依据给定函数表应用几种插值公式求解相应的插值多项式，利用插 值余项公式估计计算结果的误差；并对不规则 Hermite 低次插值问题，建立其插 值多项式，推导与证明其插值余项；直线拟合实例求解等。 3）直观演示
利用直观图表或数值计算程序演示，揭示高次插值龙格现象，分段线性插值的一致收敛性等，形成直观认识，加深理解。4）课外实验可让学生在课外实现Lagrange插值计算程序，并就龙格现象计算实例进行求解实验，分析计算结果及其误差发散现象。第三章数值积分与数值微分本章的主要知识点包括机械求积法与代数精度的概念、求积公式的构造方法，NewtonCotes求积公式，复化求积法、变步长梯形算法、Romberg求积公式与Romberg算法，数值微分。1.教学目标1）理解机械求积、积分余项与代数精度的概念，掌握代数精度的判别方法；2）掌握插值型求积公式的构造方法与特征；3）掌握NewtonCotes求积公式，包括其推导过程、低阶公式的余项估计与数值稳定性；4）掌握复化求积法，如复化梯形公式、复化Simpson公式等及其余项公式；5）掌握Romberg求积公式、变步长梯形算法与Romberg算法：6）掌握数值微分的差商近似法与插值型公式；本章教学支持的课程目标为目标2、目标3与目标4。2.教学重点1）Newton_Cotes求积公式NewtonCotes求积公式是等距节点的插值型求积公式，作为本章的基础。2）复化求积公式及Romberg算法复化求积公式及Romberg算法，能够较好地控制数值求积的稳定性与收敛性，保证结果的精度，是较实用的方法。3.教学难点1）Newton_Cotes求积公式与复化求积公式的余项公式余项公式的推导以及公式本身具有较强的数学性，注意其推导方法2）外推原理与Romberg公式外推原理在数值方法中使用普遍，使学生理解应用外推原理推导Romberg公式的方法。4.教学环节设计围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲授与讨论、演示、作业与课外数值计算实验等手段
利用直观图表或数值计算程序演示，揭示高次插值龙格现象，分段线性插值 的一致收敛性等，形成直观认识，加深理解。 4）课外实验 可让学生在课外实现 Lagrange 插值计算程序，并就龙格现象计算实例进行求 解实验，分析计算结果及其误差发散现象。 第三章 数值积分与数值微分 本章的主要知识点包括机械求积法与代数精度的概念、求积公式的构造方法、 Newton_Cotes 求积公式，复化求积法、变步长梯形算法、Romberg 求积公式与 Romberg 算法，数值微分。 1.教学目标 1） 理解机械求积、积分余项与代数精度的概念，掌握代数精度的判别方法； 2）掌握插值型求积公式的构造方法与特征； 3）掌握 Newton_Cotes 求积公式，包括其推导过程、低阶公式的余项估计与 数值稳定性； 4） 掌握复化求积法，如复化梯形公式、复化 Simpson 公式等及其余项公式； 5）掌握 Romberg 求积公式、变步长梯形算法与 Romberg 算法； 6）掌握数值微分的差商近似法与插值型公式； 本章教学支持的课程目标为目标 2、目标 3 与目标 4。 2.教学重点 1）Newton_Cotes 求积公式 Newton_Cotes 求积公式是等距节点的插值型求积公式，作为本章的基础。 2）复化求积公式及 Romberg 算法 复化求积公式及 Romberg 算法，能够较好地控制数值求积的稳定性与收敛性， 保证结果的精度，是较实用的方法。 3.教学难点 1）Newton_Cotes 求积公式与复化求积公式的余项公式 余项公式的推导以及公式本身具有较强的数学性，注意其推导方法。 2）外推原理与 Romberg 公式 外推原理在数值方法中使用普遍，使学生理解应用外推原理推导 Romberg 公 式的方法。 4.教学环节设计 围绕教学重点和教学难点，综合应用课堂讲授与讨论、演示、作业与课外数 值计算实验等手段