3.5一刚性转子转动惯量为1,它的能量的经典表示式是H=,L为角动量, 求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数 (1)转子绕一固定轴转动: (2)转子绕一固定点转动: 解:(1)设该固定轴沿Z轴方向,则有 哈米顿算符=1=h 21 do 其本征方程为(与t无关,属定态问题) h- d P()=Eo() 21 de 2E 令m2=2,,则 d'o(o) +n 取其解为q)=Aem甲(m可正可负可为零) 由波函数的单值性,应有 P(+2r=o( im(9+2r) 2m露 ∴m=0,±1,±2, 转子的定态能量为En=m2(m 可见能量只能取一系列分立值,构成分立谱。定态波函数为 oo A为归一化常数,由归一化条件 4.,d=fd=42z A= 2丌 转子的归一化波函数为 综上所述,除m=0外,能级是二重简并的
3.5 一刚性转子转动惯量为 I,它的能量的经典表示式是 I L H 2 2 = ,L 为角动量, 求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数: (1) 转子绕一固定轴转动: (2) 转子绕一固定点转动: 解:(1)设该固定轴沿 Z 轴方向,则有 2 2 L = LZ 哈米顿算符 2 2 2 2 2 ˆ 2 1 ˆ d d I L I H Z = = − 其本征方程为 ( H与t ˆ 无关,属定态问题) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 IE d d E d d I = − − = 令 2 2 2 IE m = ,则 ( ) 0 ( ) 2 2 2 + = m d d 取其解为 im ( ) = Ae ( m 可正可负可为零) 由波函数的单值性,应有 im im + = e = e ( +2 ) ( 2 ) ( ) 即 1 2 = i m e ∴m= 0,±1,±2,… 转子的定态能量为 I m Em 2 2 2 = (m= 0,±1,±2,…) 可见能量只能取一系列分立值,构成分立谱。 定态波函数为 im m = Ae A 为归一化常数,由归一化条件 2 1 1 2 2 2 0 2 2 0 * = = = = A m md A d A ∴ 转子的归一化波函数为 im m e 2 1 = 综上所述,除 m=0 外,能级是二重简并的
(2)取固定点为坐标原点,则转子的哈米顿算符为 H与t无关,属定态问题,其本征方程为 <2Y(.p)=EY(,g) (式中Y(,q)设为的本征函数,E为其本征值) 2Y(0,q)=2EY(6,q) 令2E=M2,则有 i2Y(6,q)=h2Y(6,p) 此即为角动量2的本征方程,其本征值为 I2=2=(+1)h2(=0,1,2,…) 其波函数为球谐函数Y(,q)=NaP{m(cose ∴转子的定态能量为 E=+2 可见,能量是分立的,且是(2C+1)重简并的。 # 3.6设t=0时,粒子的状态为 y(r=Asin kx+2 cos kx 求此时粒子的平均动量和平均动能 ff: v(x)=A[sinkx+Icos kx]=A[z(1-cos 2kx)+3cos kx [1-cos 2kr cos he -( -ike )+l(e“+e) A√2m le-2 ike -12kx+-e 2 +e1 2TTh 可见,动量pn的可能值为02M 2 动能Pn的可能值为02k2n22k2h2k2h kh2 对应的几率O应为(414 A 上述的A为归一化常数,可由归一化条件,得
(2)取固定点为坐标原点,则转子的哈米顿算符为 ˆ 2 2 1 ˆ L I H = H与t ˆ 无关,属定态问题,其本征方程为 ( , ) ( , ) ˆ 2 1 2 L Y EY I = (式中 Y( ,) 设为 H ˆ 的本征函数, E 为其本征值) ( , ) 2 ( , ) ˆ 2 L Y = IEY 令 2 2IE = ,则有 ( , ) ( , ) ˆ 2 2 L Y = Y 此即为角动量 2 L ˆ 的本征方程,其本征值为 ( 1) ( 0, 1, 2, ) L 2 = 2 = + 2 = 其波函数为球谐函数 m im m m Y ( , ) N P (cos )e = ∴ 转子的定态能量为 2 ( 1) 2 I E + = 可见,能量是分立的,且是 (2 + 1) 重简并的。 # 3.6 设 t=0 时,粒子的状态为 ( ) [sin cos ] 2 2 1 x = A kx + kx 求此时粒子的平均动量和平均动能。 解: ( ) [sin cos ] [ (1 cos 2 ) cos ] 2 1 2 1 2 2 1 x = A k x + k x = A − k x + k x [1 cos2 cos ] 2 kx kx A = − + [1 ( ) ( )] 2 2 2 2 1 2 1 i kx i kx ikx ikx e e e e A − − = − − + + 2 1 [ ] 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 0 1 = − − + + i x i kx −i kx ikx −ikx e e e e e A 可见,动量 n p 的可能值为 0 2k − 2k k − k 动能 2 2 n p 的可能值为 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 k k k k 对应的几率 n 应为 ) 2 16 16 16 16 4 ( 2 2 2 2 2 A A A A A 2 ) 8 1 8 1 8 1 8 1 2 1 ( A 上述的 A 为归一化常数,可由归一化条件,得 2 2 ) 2 16 4 4 1 ( 2 2 2 = = + = A A A n n
∴A=1/√m ∴动量p的平均值为 p=∑PnOn =0+2M×一2m-2随x一2m+随x一2m-hx一2mh=0 =0+2k2h21k2h2 2 kkh 8 # 率**率* shangshuyihe***** 3.7一维运动粒子的状态是 当x≥0 0,当x<0 其中元>0,求: (1)粒子动量的几率分布函数 (2粒子的平均动量。 解:(1)先求归一化常数,由 1=lw(x) ax=axe"x 423 A=223 y(x)=232xa-2x (x≥0) y(x)=0 (x<0) p)=.1-“w(x=(,y2,x xe-+ y(x)dx 2 -(A+ik) 1P。-(λ+i)xd +诉 a+ik 动量几率分布函数为 2h3 o(p)=c(p) P (h a +p
∴ A = 1/ ∴ 动量 p 的平均值为 2 0 16 2 16 2 16 2 2 16 0 2 2 2 2 2 = + − + − = = A k A k A k A k p p n n n = = n n p pn T 2 2 2 2 2 8 1 2 2 8 2 1 0 2 2 2 2 = + + k k 8 5 2 2 k = # ********shangshuyihe******* 3.7 一维运动粒子的状态是 = − 0, 0 , 0 ( ) x Axe x x x 当 当 其中 0 ,求: (1)粒子动量的几率分布函数; (2)粒子的平均动量。 解:(1)先求归一化常数,由 − − = = 0 2 2 2 2 1 (x) dx A x e dx x 2 3 4 1 A = ∴ 3 / 2 A = 2 x x xe 3 / 2 2 ( ) 2 − = ( x 0) ( x) = 0 ( x 0) − − + − − c p = e x dx = xe x dx ikx i k x ) 2 ( ) 2 1 ( ) ( 2 1 ( ) 1 / 2 3 / 2 ( ) − − + − + + + + = − e dx ik e ik x i k x ( i k) x 0 1/ 2 ( ) 3 1 ) [ 2 2 ( 2 1 / 2 3 2 1 / 2 3 ( ) 1 ) 2 2 ( ( ) ) 2 2 ( p i ik x + = = + = 动量几率分布函数为 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) p p p c p + = + = =
P=l V(x)p(x)dx=-in[ 42'read(e )d ih42'n x(1-ar)e i4小(x-Ax2)et -i42h( 42242 0 38在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为a,如果粒子的状态由波函数 y(x)=Ax(a-x) 描写,A为归一化常数,求粒子的几率分布和能量的平均值。 解:由波函数y(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本 征函数和本征值为 n兀 0≤x≤a y(rva a 0, x≤0,x≥a n22h2 E (n=1,2,3,…) 动量的几率分布函数为a(E)=C2 y (x)y()dr=l sin--xy(x)x 先把y(x)归一化,由归一化条件, fw(x)'c= A'x (a-x)cx=Asx(a2-2c (a'x-2ax+x)d ∴C sin -. x(a-xc 2√15 q同xsin"xdx-x2 sin--xdx
(2) − − − − = = − e dx dx d p x p x dx i xe x x ( ) ˆ ( ) 4 ( ) * 3 − − = −i x − x e dx x 3 2 4 (1 ) − − = −i x − x e dx x 3 2 2 4 ( ) ) 4 1 4 1 4 ( 2 2 3 = −i − = 0 # 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为 a ,如果粒子的状态由波函数 (x) = Ax(a − x) 描写,A 为归一化常数,求粒子的几率分布和能量的平均值。 解:由波函数 (x) 的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本 征函数和本征值为 x x a x x a a n x a 0, 0, sin , 0 2 ( ) 2 2 2 2 2 a n En = (n = 1,2,3, ) 动量的几率分布函数为 2 ( ) E = Cn = = − a n x x dx a n C x x dx 0 * ( ) ( ) sin ( ) 先把 (x) 归一化,由归一化条件, = = − = − + − a a x dx A x a x dx A x a ax x dx 0 2 2 2 2 0 2 2 2 1 ( ) ( ) ( 2 ) = − + a A a x ax x dx 0 2 2 2 3 4 ( 2 ) 30 ) 3 2 5 ( 5 2 5 5 5 2 a A a a a = A − + = ∴ 5 30 a A = ∴ = − a n x x a x dx a n a a C 0 5 sin ( ) 2 30 [ sin sin ] 2 15 0 2 0 3 xdx a n xdx x a n a x a a a = −
+ sin -x+-x cos-x n元 2at n元 2a3n兀 XsIn-x cos l-(-1)" O(E)=c 240 661-(-1” n=1,3,5, n°z 0,n=2,4,6, E=w(x)Hw(x)dx=w(x)P,w( sx(r-a).[ 2u dx 30h 30h2a3a3 (x-adx 39设氢原子处于状态 y(r,6,q)=R21(r)Y10(6,q)-=R21(r)Y1-1(6,g) 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值,这些可能值出现的几率和 这些力学量的平均值 解:在此能量中,氢原子能量有确定值 Ex 2n28 (n=2) 角动量平方有确定值为 D2=(+1)h 角动量Z分量的可能值为 L,=OL 其相应的几率分别为 其平均值为 33
a x a n n a x a n x n a x a n x n a x a n n a x a n x n a a 0 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 cos ] 2 sin 2 [ cos sin cos 2 15 − − = − + + [1 ( 1) ] 4 15 3 3 n n = − − ∴ 2 6 6 2 [1 ( 1) ] 240 ( ) n n n E = C = − − = = = 0 2, 4, 6, 1 3 5 960 6 6 n n n , , , , , = = − a x dx p E x H x dx x 0 2 ( ) 2 ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) = − − − a x x a dx dx d x x a a 0 2 2 2 5 ( )] 2 ( ) [ 30 ) 2 3 ( 30 ( ) 30 3 3 5 2 0 5 2 a a a x x a dx a a = − = − 2 2 5 a = 3.9.设氢原子处于状态 ( ) ( , ) 2 3 ( ) ( , ) 2 1 ( , , ) r = R21 r Y10 − R21 r Y1−1 求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z 分量的可能值,这些可能值出现的几率和 这些力学量的平均值。 解:在此能量中,氢原子能量有确定值 2 2 2 2 2 2 2 8 s s e n e E = − = − (n = 2) 角动量平方有确定值为 2 2 2 L = ( + 1) = 2 ( = 1) 角动量 Z 分量的可能值为 LZ1 = 0 LZ2 = − 其相应的几率分别为 4 1 , 4 3 其平均值为 4 3 4 3 0 4 1 LZ = − = −