在 (4)等距性 如果E[]<∞，(i=0,1,·,n-1), 1951 则 [XR- E[X2(t)]dt 证明：性质(1)，(2)和(3)是简单的，读者可自行证之， 这里 只证明性质(4).利用Cauchy-Schwarz不等式，得到 E[(B(t+1)-B(t)川≤VE()E[B(t+1)-B(t)]2<o∞ 12/50 GoBack FullScreen Close Quit
12/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit (4) Â5 XJE[ξ 2 i ] < ∞, (i = 0, 1, · · · , n − 1)ß K E Z T 0 X(t)dB(t) 2 = Z T 0 E[X2 (t)]dt y²µ5ü(1),(2)⁄(3)¥{¸ß÷ˆåg1yÉߢp êy²5ü(4). |^ Cauchy-Schwarzÿ ™ß E[|ξi(B(ti+1)−B(ti))|] ≤ q E(ξ 2 i )E[B(ti+1) − B(ti)]2 < ∞
传有草方 于是 2 1951 n-】 auW-Bo 2=0 n- n-1 -E ∑& (Bu+)-B(》-∑(Bt+)-B》 i=0 1=0 - 13/50 ∑ E[(B(t+1）-B(t)]+ i=0 2> E[ξ(B(t+1）-B(t)(B(tj+1）-B(t)](8.2.5) K<j 由Brown运动的独立增量性以及关于的假定，利用定 理1.5.7(1)，有 E[i(B(t+1)-B(t)(B(tj+1)-B(t)】=0 GoBack FullScreen Close Quit
13/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit u¥ V ar[ Z T 0 XdB] = E "X n−1 i=0 ξi(B(ti+1) − B(ti))#2 = E X n−1 i=0 ξi(B(ti+1) − B(ti)) · X n−1 j=0 ξj(B(tj+1) − B(tj)) = X n−1 i=0 E[ξ 2 i (B(ti+1) − B(ti))2 ] + 2 X i<j E[ξiξj(B(ti+1) − B(ti))(B(tj+1) − B(tj))](8.2.5) dBrown$ƒ’·O˛5±9'uξib½ß|^½ n1.5.7(1)ßk E[ξiξj(B(ti+1) − B(ti))(B(tj+1) − B(tj))] = 0
传有草 所以，式(8.2.5)中的最后一项为零.由Brown运动的鞅 1951 性质，得 ar时xaa=是 E[(B(t+1)-B(t)] i=0 n-1 E[E((B(t+1)-B(t)2F)] i=0 n- 14/50 = E[E(B(t+）-B()2F)】 =】 ∑ E[别](t+1-t) i=0 E[x2(t)】dt GoBack FullScreen Close Quit
14/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §±ß™(8.2.5)•Åòëè".dBrown$ƒ 5üß V ar[ Z T 0 XdB] = X n−1 i=0 E[ξ 2 i (B(ti+1) − B(ti))2 ] = X n−1 i=0 E E ξ 2 i (B(ti+1) − B(ti))2 |Fti = X n−1 i=0 E ξ 2 i E (B(ti+1) − B(ti))2 |Fti = X n−1 i=0 E[ξ 2 i ](ti+1 − ti) = Z T 0 E[X2 (t)]dt.
有了前面的准备，我们现在可以将上述随机积分的定义 1951 扩展到更一般的可测适应随机过程类 定义8.2.2设{X(t),t≥0}是随机过程，{F,t≥ 0是o代数流，如果对t,X(t)是F可测的，则称{X(t)}是{F} 适应的 记 15/50 V(0,T):={h,h是(F)适应过程，满足E[02(s)ds<oo} Key Point: 随机积分)XtdW:由于布朗运动W的轨道 太粗糙，不能像黎曼积分来定义，为了克服这种困难，我 们在定义积分的时候把被积函数X看成是二元函数，而不 是按照轨道去定义积分。 GoBack FullScreen Close Quit
15/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit k c°Oß·Çy3å±Ú˛„ëÅ»©½¬ *–çòÑåˇ·AëÅLßa. ½¬ 8.2.2 {X(t), t ≥ 0}¥ëÅLßß{Ft, t ≥ 0}¥σìÍ6ßXJÈ ∀t, X(t)¥FtåˇßK°{X(t)}¥{Ft} ·A P V(0, T) := n h, h¥(Ft)·ALßߘvE[ R T 0 h 2 (s)ds] < ∞ o Key Point: ëÅ»©R T 0 XtdWtduŸK$ƒW; o˜ßÿUîi˘»©5½¬ßè é—˘´(Jß· Ç3½¬»©ûˇr»ºÍXw§¥ºÍß ÿ ¥UÏ;½¬»©"
数传在 我们将随机积分的定义按下述步骤扩展到(0，T): 1951 Key Point:对于v(O,T)任意的函数f,我们希望找到一 个简单随机过程{中}使得二者在平方意义下距离趋于0， 即： E(-n2→0. Step1:首先，令h∈V有界，并且对每个w∈2，h(,w)连 16/50 续.则存在简单过程{p},其中 n=∑∑h(t,w)·16,t+(t)∈y 使得当n→∞时，对每个w∈2， '(h-n)k→0 因此由有界收敛定理得EL∫(h-pn)dt]→0. GoBack FullScreen Close Quit
16/50 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ·ÇÚëÅ»©½¬Ue„⁄½*–V(0, T): Key Point: ÈuV(0, T)?øºÍfß·ÇF"Èò á{¸ëÅLß{φn}¶ˆ3²êø¬eÂl™u0ß =µ E[ Z T 0 (f − φn) 2 dt] → 0. Step 1: ƒkß-h ∈ Vk.ßøÖÈzáω ∈ Ω, h(·, ω)Î Y.K3{¸Lß{φn}ߟ• φn = X j h(tj, ω) · 1[tj,tj+1)(t) ∈ V ¶n → ∞ûßÈzáω ∈ Ωß Z T 0 (h − φn) 2 dt → 0 œddk.¬Ò½nE[ R T 0 (h − φn) 2dt] → 0