免费下载网址htt: JIaoxue5u.ys68com 第8章一元一次不等式 【知识内容】 §13.3一元一次不等式组和它的解法 【知识重点】 掌握一元一次不等式组解集的含义,难点是求不等式组中各不等式解集的公共部分。 【知识点精析】 几个一元一次不等式合在一起,组成一个一元一次不等式组,几个一元一次不等式解 集的公共部分,叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。 2.组成一元一次不等式组的各一元一次不等式必须含同一个未知数,如 y>2 就不是 z<4 一元一次不等式组,一元一次不等式组的解集在数轴上是各一元一次不等式解集的重合部 分,如果在数轴上表示的各一元一次不等式解集没有重合部分,就说明一元一次不等式组无 解 3.由一元一次不等式组成的一元一次不等式组经过化简,最终可归纳为四种基本类型 x>a <a x> a a 设a<b,则① ③ 利用数轴可以确定它们的解集, x>b x< b 4<b④/r 也可以用口诀帮助分析:“同大(于)取大(数),同小(于)取小(数),小(于)大(数) 大(于)小(数)取中间,大(于)大(数)小(于)小(数)是空集”。 【解题方法指导】 X< 例1、不等式组 的解集是( x>② D.x<-3或x< 分析:求不等式组的解集,即要求不等式①②解集的公共部分,借助数轴找出①②解集的 重合部分即可。 解:由②得x<-3,综合①,∴x<-3 说明:本例也可按“同小取小”的法则判断。 例2、解不等式组: 解压密码联系q119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 第 8 章 一元一次不等式 【知识内容】 §13.3 一元一次不等式组和它的解法 【知识重点】 掌握一元一次不等式组解集的含义，难点是求不等式组中各不等式解集的公共部分。 【知识点精析】 1．几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组，几个一元一次不等式解 集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。 2．组成一元一次不等式组的各一元一次不等式必须含同一个未知数，如 4 2 z y ，就不是 一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集在数轴上是各一元一次不等式解集的重合部 分，如果在数轴上表示的各一元一次不等式解集没有重合部分，就说明一元一次不等式组无 解。 3．由一元一次不等式组成的一元一次不等式组经过化简，最终可归纳为四种基本类型： 设 a＜b，则① x b x a ；② x b x a ；③ x b x a ；④ x b x a 。利用数轴可以确定它们的解集， 也可以用口诀帮助分析：“同大（于）取大（数），同小（于）取小（数），小（于）大（数） 大（于）小（数）取中间，大（于）大（数）小（于）小（数）是空集”。 【解题方法指导】 例 1、 不等式组 − − 3 2 x x 的解集是（ ） A．x＜－3 B．x＜－2 C．－3＜x＜－2 D．x＜－3 或 x＜－2 分析：求不等式组的解集，即要求不等式①②解集的公共部分，借助数轴找出①②解集的 重合部分即可。 解：由②得 x＜－3，综合①，∴x＜－3 说明：本例也可按“同小取小”的法则判断。 例 2、解不等式组： ① ② －3 －2 0
免费下载网址ht:jiaoxue5u.ysl168.com/ xx+1 (x+4)<1 (1)/2 (2) 2x+1x+1 x+2x+3 解:(1)由①得x< 由②得x≥-3 (2)由①得x<-2 由②得x>0 ∴不等式组无解 例3、求同时满足6x+3>4x+7和8x-3≤5x+12的整数解 分析:“同时满足”说明要求两个不等式组成的不等式组的解集,再确定它的整数解。 6x+3>4x+7① 11 解:由题意,得 245 8x-35x+12② 由①得x>2,由②得x≤5 2<x≤5 整数x为3,4,5。 例4、当a>1时,(1-a)x>2的解为() 分析:因a>1,故1-a<0,即要在不等式两边同时除以一个负数,不等号方向改变。 说明:化系数为1时,如系数是含字母的代数式,一定要注意对系数进行讨论分析,特别 是系数小于0时,要改变不等号的方向 例5、幼儿园有玩具若干件,分给小朋友,如果每人分3件,那么还余59件;如果每人 分5件,那么最后一个人还少几件,求这个幼儿园有多少玩具?有多少个小朋友? 分析:此例中有两个未知数(幼儿园玩具数和小朋友数),且没有两个等量关系使我们能 够列二元一次方程组求解。但题目中“每人分5件,那么最后一个人还少几件”却蕴含有两 个不等关系:“玩具数小于小朋友人数的5倍”、“玩具数大于小朋友人数与1的差的5倍”。 于是可考虑列一元一次不等式组求解。 解:设小朋友有x人,则有 +59>5(x-1)① 解压密码联系q119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com （1） + + + 2 1 5 2 1 5 1 2 x x x x （2） + + + 3 3 2 2 ( 4) 1 2 1 x x x 解：（1）由①得 x＜ 3 2 由②得 x≥－3 ∴－3≤x＜ 3 2 （2）由①得 x＜－2 由②得 x＞0 ∴不等式组无解 例 3、 求同时满足 6x+3＞4x+7 和 8x－3≤5x+12 的整数解。 分析：“同时满足”说明要求两个不等式组成的不等式组的解集，再确定它的整数解。 解：由题意，得 − + + + 8 3 5 12 6 3 4 7 x x x x 由①得 x＞2，由②得 x≤5 ∴2＜x≤5 ∴整数 x 为 3，4，5。 例 4、当 a＞1 时，(1－a)x＞2 的解为（ ） A．x＞ 1− a 2 B．x＜ 1− a 2 C．x＞ 1− a 2 D．x＜ 1 2 a − 分析：因 a＞1，故 1－a＜0，即要在不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变。 解：B。 说明：化系数为 1 时，如系数是含字母的代数式，一定要注意对系数进行讨论分析，特别 是系数小于 0 时，要改变不等号的方向。 例 5、幼儿园有玩具若干件，分给小朋友，如果每人分 3 件，那么还余 59 件；如果每人 分 5 件，那么最后一个人还少几件，求这个幼儿园有多少玩具？有多少个小朋友？ 分析：此例中有两个未知数（幼儿园玩具数和小朋友数），且没有两个等量关系使我们能 够列二元一次方程组求解。但题目中“每人分 5 件，那么最后一个人还少几件”却蕴含有两 个不等关系：“玩具数小于小朋友人数的 5 倍”、“玩具数大于小朋友人数与 1 的差的 5 倍”。 于是可考虑列一元一次不等式组求解。 解：设小朋友有 x 人，则有 + + − x x x x 3 59 5 3 59 5( 1) ① ② ① ② ① ② ① ② －3 －2 －1 0 1 －2 －1 0 0 2 4 5
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys168c0m/ 解不等式①,得x<32 解不等式②,得x>29.5 ∴29.5<x<32 ∴x是整数 ∴x=30,31。 此时,3x+59=149,152 答:该幼儿园有小朋友30人,玩具149件。或者有小朋友31人,玩具152件。 说明:利用列一元一次不等式组解应用题的步骤与列一次方程组解应用题大体相同。不同 的是后者寻求的是等量关系,列出的是等式。前者寻求的是不等关系,列出的是不等式,并 且解不等式组所得结果通常为一解集,需从解集中找出符合题意的答案。本例还可用下列方 法求解。 设幼儿园有ⅹ位小朋友,有y件玩具,最后一位小朋友分给z件玩具,显然0<z<5,且 z为整数 y=3x+59 64-2x>0 根据题意有 由①-②消去y代入③,得 0<2<5 解出这个不等式即得。 例6、解下列不等式(组),并在数轴上表示出解集。 (1)2(3x-1)-3(4x+5)>x-4(x-7) (2) 7x-32(x-2) 3(x-1)-2x≥1① 2x-4<x+1① (3){2x-1 (4){7x-6>8 3 解:(1)6x-2-12x-15>x-4x+28 6x-12x-x+4x>28+2+15 3x>45 ∴x<-15 用数轴表示解集为 (2)5(3x+1)-15<3(7x-3)+2(x-2) 15x+5-15<21x-9+2x-4, 15x-21x-21x<-9-4-5+15 (3)由①得x≥4:由②得x< 解压密码联系qq11939686加微信-2--101234网 址: JIaoxue5 l taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 解不等式①，得 x＜32。 解不等式②，得 x＞29.5 ∴29.5＜x＜32 ∵x 是整数 ∴x=30，31。 此时，3x+59=149，152 答：该幼儿园有小朋友 30 人，玩具 149 件。或者有小朋友 31 人，玩具 152 件。 说明：利用列一元一次不等式组解应用题的步骤与列一次方程组解应用题大体相同。不同 的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式。前者寻求的是不等关系，列出的是不等式，并 且解不等式组所得结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案。本例还可用下列方 法求解。 设幼儿园有 x 位小朋友，有 y 件玩具，最后一位小朋友分给 z 件玩具，显然 0＜z＜5，且 z 为整数。 根据题意有： = − + = + 0 5 5( 1) 3 59 z y x z y x 由①－②消去 y 代入③，得 − − 64 2 5 64 2 0 x x 解出这个不等式即得。 例 6、 解下列不等式（组），并在数轴上表示出解集。 （1）2(3x－1)－3(4x+5)＞x－4(x－7) （2） 15 2( 2) 5 7 3 1 3 3 1 − + − − x + x x （3） − − − − x x x x 4 1 3 2 1 3( 1) 2 1 （4） − − − + 3 0 7 6 8 2 4 1 x x x x 解：（1）6x－2－12x－15＞x－4x+28 6x－12x－x+4x＞28+2+15 －3x＞45 ∴x＜－15 用数轴表示解集为： （2）5(3x+1)－15＜3(7x－3)+2(x－2), 15x+5－15＜21x－9+2x－4, 15x－21x－21x＜－9－4－5+15 －8x＜－3 ∴x＞ 8 3 （3）由①得 x≥4；由②得 x＜－ 4 7 。 ① ② ③ ① ② ① ② ③
免费下载网址htt: JIaoxue5u.ys68com 用数轴表示①②的解集为 ∴不等式组无解 (4)由①得x<5;由②得x>2:由③得x<3 用数轴表示①②③的解集为 瑷 不等式组的解为2<x<3 说明:由三个不等式组成的不等式组,其解集是三个不等式解集的公共部分,即数轴上 表示出的解集的重合部分 例7、当k取何值时,方程=x-3k=5(x-k)+1的解是:(1)正数;(2)负数;(3)零。 解:二x-3k=5(x-k)+1 9k=15(x-k)+3 2x-9k=15x-15k+3 13x=-6k+3 6k-3 0时,k>(2)当 130时,k< (3)当 13 13 说明:本题是方程与不等式的综合运用,先把k看成常数,x看成未知数解方程,对它 的解进行讨论。 2x-3a<7b① 例8、如果不等式组 6-3x<52 的解集为5<x<22,求a,b的值 解:由①得x3a+7b 5a+6b 由②得x> 3 3a+7b =3 5a+6b b=5 例9、一种灭虫药粉30千克,含药率是15%,现在要用含药率较高的同种灭虫药粉50千 克和它混合,使混合后的含药率大于20%而小于35%,则所用药粉的含药率x的范围是。 解压密码联系q119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 用数轴表示①②的解集为： ∴不等式组无解 （4）由①得 x < 5 ；由②得 x > 2 ；由③得 x < 3 用数轴表示①②③的解集为： ∴不等式组的解为 2＜x＜3 说明：由三个不等式组成的不等式组，其解集是三个不等式解集的公共部分，即数轴上 表示出的解集的重合部分。 例 7、 当 k 取何值时，方程 3 2 x－3k=5(x－k)+1 的解是：（1）正数；（2）负数；（3）零。 解： 3 2 x－3k=5(x－k)+1 2x－9k=15(x－k)+3 2x－9k=15x－15k+3 －13x=－6k+3 ∴x= 13 6k − 3 ∴（1）当 13 6k − 3 ＞0 时，k＞ 2 1 （2）当 13 6k − 3 ＜0 时，k＜ 2 1 （3）当 13 6k − 3 =0 时，k= 2 1 说明：本题是方程与不等式的综合运用，先把 k 看成常数，x 看成未知数解方程，对它 的解进行讨论。 例 8、如果不等式组 − − b x a x a b 6 3 5 2 3 7 的解集为 5＜x＜22，求 a，b 的值。 解：由①得 2 3a 7b x + ；由②得 3 5a 6b x − + ∴ = − + = + 5 3 5 6 22 2 3 7 a b a b ∴ = = 5 3 b a 例 9、一种灭虫药粉 30 千克，含药率是 15%，现在要用含药率较高的同种灭虫药粉 50 千 克和它混合，使混合后的含药率大于 20%而小于 35%，则所用药粉的含药率 x 的范围是 。 ① ②
免费下载网址ht:jiaoxue5u.ysl168.com/ 0×15%+50x>(30+50)·20% 解:由题意得 解这个不等式组,得23%<x<47%。 例10、现有三种合金:第一种含铜60%和含锰40%;第二种含锰10%和含镍90%;第三种 含铜20%、含铜20%、锰50%和含镍30%。现各取适当重量的这三种合金,组成一块含镍45% 的新合金,重量为1千克。(1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量:(2) 求新合金中含第二种合金的重量的范围:(3)求新合金中含锰的重量的范围。 解:设第一种合金x千克,第二种合金y千克,则第三种合金为(1-x-y)千克 (1)90%y+30%(1-x-y)=45%·1 11 (2)由(1),得1-x-y=1-x-Gx+)=3 0≤x<1 10≤x+≤1 其解集为0≤x≤ 从而≤y≤ 0≤---x≤1 即第二种合金质量在一千克到一千克之间。 (3)新合金中含锰量:40%x+10%y+50%(1-x-y) 50%-10%x-40%y 50%-10%x-40%(-x+-) 40%-30%x 0≤x≤ 25%<40%-30%x<40% 即新合金中含锰的质量范围是250克到400克之间。 例11、某公司计划下一年度生产一种新型计算机,下面是各部门提供的数值信息: 人事部:明年生产工人不多于80人,每人每年工时按2400小时计算: 市场部:预测明年销售量至少是10000台: 技术部:生产一台计算机,平均要用12个工时,每台机器需要安装5个某种主要部 件 解压密码联系q119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 解：由题意得 + + + + 30 15% 50 (30 50) 35% 30 15% 50 (30 50) 20% x x 解这个不等式组，得 23%＜x＜47%。 例 10、现有三种合金：第一种含铜 60%和含锰 40%；第二种含锰 10%和含镍 90%；第三种 含铜 20%、含铜 20%、锰 50%和含镍 30%。现各取适当重量的这三种合金，组成一块含镍 45% 的新合金，重量为 1 千克。（1）试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；（2） 求新合金中含第二种合金的重量的范围；（3）求新合金中含锰的重量的范围。 解：设第一种合金 x 千克，第二种合金 y 千克，则第三种合金为（1－x－y）千克。 （1）90%y＋30%（1－x－y） = 45%·1 ∴y = 4 1 2 1 x + （2）由（1），得 x y x x x 2 3 4 3 ) 4 1 2 1 1− − = 1− − ( + = − ∴ − + 1 2 3 4 3 0 1 4 1 2 1 0 0 1 x x x 其解集为 2 1 0 x 从而 2 1 4 1 y 即第二种合金质量在 4 1 千克到 2 1 千克之间。 （3）新合金中含锰量：40%x＋10%y＋50%（1－x－y） = 50%－10% x－40% y = 50%－10% x－40%（ 4 1 2 1 x + ） = 40%－30% x ∵ 2 1 0 x ∴25% < 40%－30% x < 40% 即新合金中含锰的质量范围是 250 克到 400 克之间。 例 11、某公司计划下一年度生产一种新型计算机，下面是各部门提供的数值信息： 人事部：明年生产工人不多于 80 人，每人每年工时按 2400 小时计算； 市场部：预测明年销售量至少是 10000 台； 技术部：生产一台计算机，平均要用 12 个工时，每台机器需要安装 5 个某种主要部 件；