第14卷第2期 智能系统学报 Vol.14 No.2 2019年3月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Mar.2019 D0:10.11992/tis.201709045 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20180418.0936.004.html 一类分数阶神经网络的自适应H同步 袁晓琳，莫立坡 (北京工商大学理学院，北京100048) 摘要：针对一类不确定分数阶神经网络系统，研究了其自适应H同步问题和参数辨识问题。提出了一个新 的可以使闭环系统实现H同步的自适应控制协议，利用鲁棒控制的方法和Gronwall-Bellma不等式证明了驱动 系统和响应系统在该协议下可以实现同步，同时满足H性能。通过仿真实验，验证了所设计控制协议的有效 性，并且说明了利用该控制协议可以对未知参数进行辨识。 关键词：分数阶；神经网络；自适应；H:同步；未知参数；辨识：控制器 中图分类号：TP18:0193 文献标志码：A文章编号：1673-4785(2019)02-0239-07 中文引用格式：袁晓琳，莫立坡.一类分数阶神经网络的自适应H同步.智能系统学报，2019,14(2)：239-245. 英文引用格式：YUAN Xiaolin,MO Lipo..Adaptive H synchronization of a class of fractional--order neural networks[J.CAAl transactions on intelligent systems,2019,14(2):239-245. Adaptive H synchronization of a class of fractional-order neural networks YUAN Xiaolin,MO Lipo (School of Science,Beijing Technology and Business University,Beijing 100048,China) Abstract:This study aims to address the adaptive A synchronization problem and parameter identification problem of a class of uncertain fractional order neural networks.First,an adaptive control law is proposed to make the closed-loop system achieve A synchronization.Second,by using the robust control method and Gronwall-Bellman inequality,it is shown that the drive system and the response system can achieve synchronization under the proposed control law while satisfying the H,performance.Finally,by numerical simulations,the effectiveness of the control law is verified,illus- trating that the unknown parameters can also be identified using the proposed control law. Keywords:fractional-order;neural networks:adaptive:H synchronization:unknown parameters;identification:controller 由于分数阶算子具有许多良好的性质，如记 假设系统的动态模型是整数阶的。然而，在很多 忆性和遗传性，近年来这一领域吸引了众多学者 实际应用中，分数阶微分方程能够更好的描述实 的研究。如：Zhang等W为分数阶系统提出了许多 际系统。目前，有许多关于分数阶神经网络同步 简化的LMI稳定性条件，Li等四研究了分数阶非 问题的研究结果，如自适应同步、全局同步90 线性动态系统的Mittag-Leffler稳定性等。 有限时间同步)、a同步等。此外，当系统中 人工神经网络的概念由MeCulloch等首次提 存在未知参数时，文献[14]研究了此类分数阶神 出。随后Hopfield提出了一个新的名为Hop- 经网络的自适应同步问题。事实上，除系统参数 field神经网络的循环神经网络，这为解决优化 外，系统的输人也可能是未知的，并且系统不可 问题和数值计算问题做了很大的贡献。目前，神 避免地受外部干扰。然而，据我们所知，目前很 经网络被广泛应用于许多的领域，例如，模型预 少有关于这方面的研究结果。 测、自动化控制以及优化。但大部分结果都 受文献[15-16]的启发，本文用H控制的方法 收稿日期：2017-10-09.网络出版日期：2018-04-18. 来研究了一类分数阶神经网络的H同步问题。 基金项目：国家自然科学基金项目(61772063)：北京市自然科 提出了一个使闭环系统实现自适应同步和自适应 学基金项目(Z180005):北京市教委一般项目 KM201910011007). H同步的自适应控制协议。并且通过利用鲁棒 通信作者：莫立坡.E-mail:beihangmlp@l26.com. 控制方法和Gronwall-Bellman不等式完成了闭环
DOI: 10.11992/tis.201709045 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20180418.0936.004.html 一类分数阶神经网络的自适应 H∞同步 袁晓琳，莫立坡 （北京工商大学 理学院，北京 100048） 摘 要：针对一类不确定分数阶神经网络系统，研究了其自适应 H∞同步问题和参数辨识问题。提出了一个新 的可以使闭环系统实现 H∞同步的自适应控制协议，利用鲁棒控制的方法和 Gronwall-Bellma 不等式证明了驱动 系统和响应系统在该协议下可以实现同步，同时满足 H∞性能。通过仿真实验，验证了所设计控制协议的有效 性，并且说明了利用该控制协议可以对未知参数进行辨识。 关键词：分数阶；神经网络；自适应；H∞；同步；未知参数；辨识；控制器 中图分类号：TP18；O193 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2019)02−0239−07 中文引用格式：袁晓琳, 莫立坡. 一类分数阶神经网络的自适应 H∞同步[J]. 智能系统学报, 2019, 14(2): 239–245. 英文引用格式：YUAN Xiaolin, MO Lipo. Adaptive H∞ synchronization of a class of fractional-order neural networks[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2019, 14(2): 239–245. Adaptive H∞ synchronization of a class of fractional-order neural networks YUAN Xiaolin，MO Lipo (School of Science, Beijing Technology and Business University, Beijing 100048, China) Abstract: This study aims to address the adaptive H∞ synchronization problem and parameter identification problem of a class of uncertain fractional order neural networks. First, an adaptive control law is proposed to make the closed-loop system achieve H∞ synchronization. Second, by using the robust control method and Gronwall-Bellman inequality, it is shown that the drive system and the response system can achieve synchronization under the proposed control law while satisfying the H∞ performance. Finally, by numerical simulations, the effectiveness of the control law is verified, illustrating that the unknown parameters can also be identified using the proposed control law. Keywords: fractional-order; neural networks; adaptive; H∞; synchronization; unknown parameters; identification; controller 由于分数阶算子具有许多良好的性质，如记 忆性和遗传性，近年来这一领域吸引了众多学者 的研究。如：Zhang 等 [1]为分数阶系统提出了许多 简化的 LMI 稳定性条件，Li 等 [2]研究了分数阶非 线性动态系统的 Mittag-Leffler 稳定性等。 人工神经网络的概念由 McCulloch 等首次提 出 [3]。随后 Hopfield 提出了一个新的名为 Hopfield 神经网络的循环神经网络[4] ，这为解决优化 问题和数值计算问题做了很大的贡献。目前，神 经网络被广泛应用于许多的领域，例如，模型预 测 [5] 、自动化控制[6]以及优化[7]。但大部分结果都 α 假设系统的动态模型是整数阶的。然而，在很多 实际应用中，分数阶微分方程能够更好的描述实 际系统。目前，有许多关于分数阶神经网络同步 问题的研究结果，如自适应同步[8] 、全局同步[9-10] 、 有限时间同步[11-12] 、 同步[13]等。此外，当系统中 存在未知参数时，文献[14]研究了此类分数阶神 经网络的自适应同步问题。事实上，除系统参数 外，系统的输入也可能是未知的，并且系统不可 避免地受外部干扰。然而，据我们所知，目前很 少有关于这方面的研究结果。 H∞ H∞ H∞ 受文献[15-16]的启发，本文用 控制的方法 来研究了一类分数阶神经网络的 同步问题。 提出了一个使闭环系统实现自适应同步和自适应 同步的自适应控制协议。并且通过利用鲁棒 控制方法和 Gronwall-Bellman 不等式完成了闭环 收稿日期：2017−10−09. 网络出版日期：2018−04−18. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61772063)；北京市自然科 学基金项 目 (Z180005) ；北京市教委一般项 目 (KM201910011007). 通信作者：莫立坡. E-mail：beihangmlp@126.com. 第 14 卷第 2 期 智 能 系 统 学 报 Vol.14 No.2 2019 年 3 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Mar. 2019
·240· 智能系统学报 第14卷 系统的收敛性分析及H性能分析。与文献[17刀相 如果b(0是一个常数，从而 比，它所考虑的是无外界干扰的整数阶神经网络 a(r)dr 模型，而我们在这篇论文中考虑了分数阶的动态 x(t)≤b(O)exp 模型，同时考虑了未知外部干扰的影响。与文献[14纠 引理522-2 Riemann-Liouville型分数阶非线 相比较，它模型中的外部输入是已知的，而在此 性微分方程Dx,0=f(x(),i=1,2,…,N,可以被 篇论文中考虑了未知的外部输入。众所周知， 表示成 H性能主要是用于刻画系统的输人输出间关系 0z(w.t) =-wz;(w,t)+f(x;(t)) 的一种性能指标，文献[14]并没有研究系统的 ot H性能，在本文中我们做了相应的研究。 x:(t)= μ(w)z(w,t)dw 1分数阶算子的基础理论知识 式中：x()=x0x)…x()是系统状态；z(w,), 本部分主要介绍分数阶算子的定义和相关引 i=1,2,…,N是拟状态变量；uw=sincw是脉冲 理，这对于我们以后的分析是非常重要的。 响应的拟拉普拉斯变换。 定义1us!函数f的Riemann-Liouville型a阶 分数阶积分定义为 2研究问题的系统模型描述 f0=raJ (t-t)"-f(r)dr 考虑如下分数阶神经网络作为驱动系统 式中：t≥to:0<a<1;T()表示Gamma函数。 Drx0=-Gx0+2af0+.i=1,2,n(四 1 定义2函数f∈C(o,+oo,R)的Caputo型 式中：0<a<1;i=1,2,…,n,n表示神经元的个数； a阶分数阶微分定义为 x:()∈R是第个神经元在t时刻的状态；c是一个正 ()Td 的常数，表示第个神经元在无任何连接情况下恢 式中：t≥to:n是一个正整数使得n-1<a<n 复到静息状态的速率；a,表示第j个神经元与第 特别地，当0<<1时， i个神经元之间的连接权重，并且满足a≤4，其中 1 ()dr 是一个正常数；1表示是外部输入，它是不可以 D:f()=r-a)J.(-T 被获得的；是第个神经元的激励函数，它满 足全局的李普希兹条件，即存在L,>0使得 引理1，设函数g()在te[o,b上是连续可微 f()-f(w)l≤Llu-W (2) 的，则对任意的常数及t∈[a,b]有 式中：u,veR;j=1,2,…,no 6D(g(0-h)2≤2(g(0-h),Dg() 考虑如下响应系统： 其中0<a<1。 引理2201令n=[a+l,当aEN时，或令n=a Dry0=-c0+∑a0f0,0)+u0+n0(6) 当aeN时。如果y()∈C[t,b,则 式中：y,()∈R是响应状态；a,(0)表示a)的参数估 Dy0=y0-2阳-6 计值；4，()是控制输人，w:()是未知的外部干扰， 它们属于： 特别地，当0<a<1及y(①∈C[a,b]时，有 Dy()=y(t)-y(io)。 D=w(0=w0w50…w时 wF(①)w,(0d≤B 引理3假设x(0,y)∈C[o,b],如果对t∈ 其中B>0是一个正常数。 [o,b]有x(0≤y(),则.gx(0≤y()。 引理42(Gronwal-Bellman不等式)若存在 定义31称驱动系统（式(1）)与响应系统 (式(3)是全局渐近同步的，如果存在控制器4①， x()满足x()≤a(r)x(r)dr+b(),其中a(d)和b()是 i=1,2,…,n使得 两个已知的实函数，则 lim0-x(0训=0，i=1,2,…n x0≤ab()exp a(s)ds dr+b(t) 3一致性收敛分析 如果b()是可微的，从而 xosboerlaoetry.aoenlasdt 3.1自适应同步 考虑闭环系统的零输入响应，即研究当外部
H∞ H∞ H∞ 系统的收敛性分析及 性能分析。与文献[17]相 比，它所考虑的是无外界干扰的整数阶神经网络 模型，而我们在这篇论文中考虑了分数阶的动态 模型，同时考虑了未知外部干扰的影响。与文献[14] 相比较，它模型中的外部输入是已知的，而在此 篇论文中考虑了未知的外部输入。众所周知， 性能主要是用于刻画系统的输入输出间关系 的一种性能指标，文献[14]并没有研究系统的 性能，在本文中我们做了相应的研究。 1 分数阶算子的基础理论知识 本部分主要介绍分数阶算子的定义和相关引 理，这对于我们以后的分析是非常重要的。 定义 1 f α [18] 函数 的 Riemann-Liouville 型 阶 分数阶积分定义为 tI α t0 f (t) = 1 Γ(α) ∫ t t0 (t−τ) α−1 f (τ)dτ 式中： t ⩾ t0; 0 < α < 1;Γ(·) 表示 Gamma 函数。 f ∈ C n ([t0,+∞),R) α 定义 2 [18] 函数 的 Caputo 型 阶分数阶微分定义为 t0D α t f (t) = 1 Γ(n−α) ∫ t t0 f (n) (t−τ) α−n+1 dτ 式中： t ⩾ t0;n是一个正整数使得n−1 < α < n. 特别地，当 0 < α < 1 时， t0D α t f (t) = 1 Γ(1−α) ∫ t t0 f ′ (τ) (t−τ) α dτ g(t) t ∈ [t0,b] t ∈ [t0,b] 引理 1 [19] 设函数 在 上是连续可微 的，则对任意的常数及 有 t0D α t (g(t)−h) 2 ⩽ 2(g(t)−h)t0D α t g(t) 其中 0 < α < 1。 n = [α]+1 α < N n = α α ∈ N y (t) ∈ C n [t0,b] 引理 2 [20] 令 ，当 时，或令 当 时。如果 ，则 t0 I α t t0D α t y (t) = y (t)− ∑n−1 k=0 y (k) (t0) k! (t−t0) k 0 < α < 1 y (t) ∈ C 1 [t0,b] t0 I α t t0D α t y(t) = y (t)−y (t0) 特别地，当 及 时，有 。 x (t), y (t) ∈ C 1 [t0,b] ∀t ∈ [t0,b] x (t) ⩽ y (t) t0 I α t x (t) ⩽ t0 I α t y (t) 引理 3 [14] 假设 ，如果对 有 ，则 。 x (t) x (t) ⩽ ∫ t 0 a(τ) x (τ)dτ+b(t) a(t) b(t) 引理 4 [21] (Gronwall-Bellman 不等式) 若存在 满足 ，其中 和 是 两个已知的实函数，则 x (t) ⩽ ∫ t 0 a(t)b(τ) exp(∫ t τ a(s)ds ) dτ+b(t) 如果 b(t) 是可微的，从而 x (t)⩽b(0) exp(∫ t 0 a(τ)dτ ) + ∫ t 0 b˙(τ) exp(∫ t τ a(s)ds ) dτ 如果 b(t) 是一个常数，从而 x (t) ⩽ b(0) exp(∫ t 0 a(τ)dτ ) D α xi(t) = fi(x (t)),i = 1,2,··· ,N 引理 5 [22-23] Riemann-Liouville 型分数阶非线 性微分方程 ，可以被 表示成 ∂zi(w,t) ∂t = −wzi(w,t)+ fi(xi(t)) xi(t) = ∫ ∞ 0 µ(w)zi(w,t)dw x(t) = [ x T 1 (t) x T 2 (t)··· x T N (t) ]T zi(w,t), i = 1,2,··· ,N µ(w) = sinαπ π w −α 式中： 是系统状态； 是拟状态变量； 是脉冲 响应的拟拉普拉斯变换。 2 研究问题的系统模型描述 考虑如下分数阶神经网络作为驱动系统 D α xi(t)=−cixi(t)+ ∑n j=1 ai j fj ( xj(t) ) +Ii , i=1,2,··· ,n (1) 0 < α < 1;i = 1,2,··· ,n,n xi(t) ∈ R i t ci i ai j j i ai j ⩽ µ, µ Ii fj(·) j Lj > 0 式中： 表示神经元的个数； 是第 个神经元在 时刻的状态； 是一个正 的常数，表示第 个神经元在无任何连接情况下恢 复到静息状态的速率； 表示第 个神经元与第 个神经元之间的连接权重，并且满足 其中 是一个正常数； 表示是外部输入，它是不可以 被获得的； 是第 个神经元的激励函数，它满 足全局的李普希兹条件，即存在 使得 fj(u)− fj(v) ⩽ Lj |u−v| (2) 式中：u, v ∈ R; j = 1,2,··· ,n。 考虑如下响应系统： D α yi(t) = −ciyi(t)+ ∑n j=1 aˆi j(t)fj ( yj(t) ) +ui(t)+wi(t) (3) yi(t) ∈ R aˆi j(t) ai j(t) ui(t) wi(t) 式中： 是响应状态； 表示 的参数估 计值； 是控制输入， 是未知的外部干扰， 它们属于： D= w(t)= [ w T 1 (t) w T 2 (t)··· w T N (t) ]T ∫ ∞ 0 ∑N i=1 w T i (t)wi(t)dt ⩽ β 2 其中 β > 0 是一个正常数。 ui(t), i = 1,2,··· ,n 定义 3 [18] 称驱动系统 (式 (1)) 与响应系统 (式 (3)) 是全局渐近同步的，如果存在控制器 使得 lim t→∞ |yi(t)− xi(t)| = 0, i = 1,2,··· ,n 3 一致性收敛分析 3.1 自适应同步 考虑闭环系统的零输入响应，即研究当外部 ·240· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第2期 袁晓琳，等：一类分数阶神经网络的自适应H同步 ·241· 干扰不存在时系统式(1)和式(3)的同步问题。 为此，设计如下自适应控制律： DV(t)= De+D(d)-dy 2k 4,()=-d:()e,()+1,() (4) 20+∑ 1 Ddi(t)=ke(t) (5) 2,0r0s Di,(t0=-re,() 之发4-dDu0+ 2,0re0+ (6) Da,(①=-lfy,()e,(0 (7) 20D1o0+24,0D6,0= 式中：e(0=(0-x(0,i=1,2,…,n定义为状态误 差；1，()∈R定义为未知外部输入的估计值； ∑eo-ce0+2a0f,o) d()eR是时变的控制强度；k、r,和l是正常数，它 1 们的取值待定。 利用自适应控制律式(4)(7)，动态误差闭环 系统可以写成如下形式： 240-e0+210re0r r0tc0+2ad6m -..6.mc.01 (8) ac,0+0-d0e0 从而 式中：1(0=1，(0-l,i=1,2,…,n. DV()-)) 注1我们通常所说的控制律（控制协议）是 指一系列信息传输规则，当驱动系统采取该控制 2rc+a0r+0- 律时，可以与响应系统实现同步。与传统的控制 d(t)e(t0+(d4(t0-d)e(t)2- 律形成对比，本文设计了新的自适应控制律 0e0- (4)(7),且控制律中d(0、1,(①、a)的动态方程是 分数阶的，因而更具有一般性。除此之外，利用 该控制律还可以对未知参数a()进行估计。 定理1对任给的正常数k,n,l,i,j=1,2…,n。 式中：9：=d+c- 如果外部干扰不存在，即w,(①=0，i=1,2…,n,那么 2-6>q=mai>0, 利用自适应控制律(4)和参数估计器（⑤）(7)，驱动 事实上，我们可以通过取足够大的d,来保证q:>0, 系统(1)和响应系统(3)可以实现全局渐进同步。 所以rv0≤-g∑e。 证明定义如下类似李雅普诺夫函数： 由引理2和3可得 ()2+之二2(()-)2￥ v-vo≤-Tra (t-7)"-U()dr 1+22 2 a() 其中U0=)∑e,。从V0的定义中很容易看 2 (9) 出U()≤V().从而 2q 式中a,()=a(0-ajo U0≤V0≤vo)-ra。 (t-r)"-'U(T)dr 注意到 利用引理4.可以得到 2a0f6,o-2i0 U(t)≤V(O)exp Ca-rdr)= 2a0io+∑ov.t-卫aufi≤ 2q V(O)exp-T(a+1) o.n.-in 所以im402=m2U0=0. -1 综上，利角控制律(4)(7)，响应系统与驱动系 其中μ=sup(a),&>0是一个正常数。 统可以实现自适应同步。 利用引理l,计算系统(9)的V的a阶Cap 注2在定理1中，我们只能保证驱动系统 uto型导数，有 和响应系统可以实现同步。为了对所有的未知参
干扰不存在时系统式 (1) 和式 (3) 的同步问题。 为此，设计如下自适应控制律： ui(t) = −di(t) ei(t)+ ˆIi(t) (4) D α di(t) = kiei(t) 2 (5) D α ˆIi(t) = −riei(t) (6) D α aˆi j(t) = −li j fj ( yj(t) ) ei(t) (7) ei(t) = yi(t)− xi(t),i = 1,2,··· ,n ˆIi(t) ∈ R di(t) ∈ R ki、ri li j 式中： 定义为状态误 差 ； 定义为未知外部输入的估计值； 是时变的控制强度； 和 是正常数，它 们的取值待定。 利用自适应控制律式 (4)~(7)，动态误差闭环 系统可以写成如下形式: D α ei(t) = −ciei(t)+ ∑n j=1 aˆi j(t)fj ( yj(t) ) − ∑n j=1 ai j fj ( xj(t) ) + ˜Ii(t)−di(t) ei(t) (8) ˜Ii(t) = ˆIi(t)− Ii 式中： ,i = 1,2,··· ,n. di(t) ˆIi(t) aˆi j(t) aˆi j(t) 注 1 我们通常所说的控制律 (控制协议) 是 指一系列信息传输规则，当驱动系统采取该控制 律时，可以与响应系统实现同步。与传统的控制 律形成对比，本文设计了新的自适应控制 律 (4)~(7)，且控制律中 、 、 的动态方程是 分数阶的，因而更具有一般性。除此之外，利用 该控制律还可以对未知参数 进行估计。 ki ,ri ,li j,i, j = 1,2··· ,n wi(t) = 0,i = 1,2,··· ,n, 定理 1 对任给的正常数 。 如果外部干扰不存在，即 那么 利用自适应控制律 (4) 和参数估计器 (5)~(7)，驱动 系统 (1) 和响应系统 (3) 可以实现全局渐进同步。 证明 定义如下类似李雅普诺夫函数： V (t) = ∑n i=1 1 2 ei(t) 2 + ∑n i=1 1 2ki (di(t)−di) 2+ ∑n i=1 1 2ri ˜Ii(t) 2 + ∑n i=1 ∑n j=1 1 2li j a˜i j(t) 2 (9) 式中a˜i j(t) = aˆi j(t)−ai j。 注意到 ∑n j=1 aˆi j(t)fj ( yj(t) ) − ∑n j=1 ai j fj ( xj(t) ) = ∑n j=1 a˜i j(t)fj ( yj(t) ) + ∑n j=1 ai j fj ( yj(t) ) − ∑n j=1 ai j fj ( xj(t) ) ⩽ ∑n j=1 a˜i j(t)fj ( yj(t) ) + ∑n j=1‘ ai jLjej(t), 其中 µ = sup(ai j),εi > 0 是一个正常数。 利用引理 1，计算系统 (9) 的 V (t) 的α阶 Caputo 型导数，有 D αV (t) = ∑n i=1 1 2 D α ei(t) 2 + ∑n i=1 1 2ki D α (di(t)−di) 2+ ∑n i=1 1 2ri D α ˜Ii(t) 2 + ∑n i=1 ∑n j=1 1 2li j D α a˜i j(t) 2 ⩽ ∑n i=1 ei(t)D α ei(t)+ ∑n i=1 1 ki (di(t)−di)D α di(t)+ ∑n i=1 1 ri ˜Ii(t)D α ˜Ii(t)+ ∑n i=1 ∑n j=1 1 li j a˜i j(t)D α a˜i j(t) = ∑n i=1 ei(t) −ciei(t)+ ∑n j=1 aˆi j(t)fj ( yj(t) ) − ∑n i=1 ei(t) ∑n j=1 ai j fj ( xj(t) ) + ˜Ii(t)−di(t) ei(t) + ∑n i=1 (di(t)−di)ei(t) 2 + ∑n i=1 ˜Ii(t)D α [−ei(t)]+ ∑n i=1 ∑n j=1 [ −a˜i j(t) fj ( yj(t) ) ei(t) ] 从而 D αV(t) ⩽ ∑n i=1 −cie 2 i (t)+ei(t) ∑n j=1 a˜i j fj(yj(t))+ 1 εi ∑n j=1‘ µ 2L 2 j j j ej(t) 2 +εiei(t) 2 + ˜Ii(t)ei(t)− di(t)ei(t) 2 +(di(t)−di)ei(t) 2− ˜Ii(t)ei(t)− ∑n j=1 a˜i j(t)fj(yj(t))ei(t) = − ∑n i=1 qiei(t) 2 ⩽ −q ∑n i=1 ei(t) 2 qi = di +ci − ∑n j=1 1 εi L 2 i µ 2 −εi > 0;q = min i 式中： {qi} > 0。 di qi > 0, D αV (t) ⩽ −q ∑n i=1 ei(t) 2 事实上，我们可以通过取足够大的 来保证 所以 。 由引理 2 和 3 可得 V (t)−V (0) ⩽ − 2q Γ(α) ∫ t 0 (t−τ) α−1U (τ)dτ U (t) = 1 2 ∑n i=1 ei(t) 2 V (t) U (t) ⩽ V (t) 其中 。从 的定义中很容易看 出 ，从而 U (t) ⩽ V (t) ⩽ V (0)− 2q Γ(α) ∫ t 0 (t−τ) α−1U (τ)dτ 利用引理 4，可以得到 U (t) ⩽ V (0) exp − 2q Γ(α) ∫ t 0 (t−τ) α−1 dτ = V (0) exp − 2q Γ(α+1) t α lim t→∞ ∑n i=1 ei(t) 2 = lim t→∞ 所以 2U (t) = 0. 综上，利用控制律 (4)~(7)，响应系统与驱动系 统可以实现自适应同步。 注 2 在定理 1 中，我们只能保证驱动系统 和响应系统可以实现同步。为了对所有的未知参 第 2 期 袁晓琳，等：一类分数阶神经网络的自适应 H∞同步 ·241·
·242· 智能系统学报 第14卷 数进行辨识，需要对激励函数f⊙添加额外的条 从而V)的导函数为 件。基于误差系统(8)，当两个系统实现同步时， 误差系统可以被重写为如下形式： vo-25 u(w)z;(w,t) azi dw+ 0t De,0= ∑(a,0-afx,i0)=0,j=1,2…,n μ(w)A(w,t) aAi dw+ == 根据函数线性无关的条件，当fx,()线性无 1 μ(w)B,(w,t) aB:dw* 关时可以对未知参数进行辨识。 = 注3与其他相关文献中设计的控制协议相 (w)D,(w,t) aD:dw 比，如文献14们，我们所考虑的是带有未知参数和 Ot 未知外部输入的系统。因此，文献[14]中所考虑 的模型是本文的特例。 利用不等式ab≤-a2+b2,由方程(10)-(13)不 3.2自适应H.同步 难得到 利用H性能指标来研究外部干扰对系统同 步的影响。 2a*-②-小叶 定理2考虑驱动系统（式(1）)和响应系统 {e(0)w:()l≤ (式(3)。利用控制律式(4)和估计器即式(5)(7)， 则对于给定y>0,误差系统(8)可以满足H性能， 即在零初始条件下可以满足IT(s训。<y。 空a2-s叶 证明由于在零初始条件下，Caputo型导数 与Riemann-Liouville型导数等价，利用引理5，误 ∑fr.) 差系统(8)和估计（⑤）(7可以用以下分布表示： v0+∑e-yna (az(w,t) -r.-ce0+2a,00 Ot afxi.0-i.c.m. --o (10) =1 可以通过取足够大的d值使得 e,(t0= μ(w)z(w,f)dw di+c- 1-1>0 aD;(w,t) or =-wD(w,)+ke,(t) (11) 从而有 d(t)= μ(w)D,(w,t)dw <a,即在 满足H性能下，闭环系统可以实现同步。 BAi(w,t) 公 =-WAij(w,t)-lijfj(yj(t))e:(t) 注4目前，关于H控制问题的研究主要集 (12) 中在整数阶系统，比如文献[15-16]。本文通过利 au(t)= μ(w)Ai(w,t)dw 用分数阶微分方程的分布式表达形式将这些结果 0 0B;(w,t) 推广到了不确定分数阶神经网络系统，提出了一 dt =-wB,(w,)-re,() 个可以使闭环系统实现H同步的自适应协议。 (13) 1(0= μ(w)B:(w,f)dw Jo 4仿真实验 式中：ij=1,2,…,md,(0=d4(0-d;z,A,B,D,均是 无限维的分布式状态变量；μ(w)在引理5中被定 通过给出的仿真实例来验证我们所提出的控 义。定义如下类似李雅普诺夫函数： 制器在实现自适应同步和H同步方面是有效 的。此外，我们讨论了相关的参数辨识问题。 μ(w)z(w,t)2dw+ J0 例：对于驱动系统（式(1）)，响应系统（式(3）) 22元 以及控制协议即式(4)(7)，令 μ(w)A(w,t)2dw+ a=0.98,c1=1,c2=1,c3=1,11=1,2=1,3=1, ronbAc.fdcs x(0=(x1(0),x2(t0),x3()Ty(t)=01(0,2(0,(0), l f(xj())=tanh(xj(r)).f(y (t))=tanh(y;(t)), μ(w)D.(w,t)}2dw i,j=1,2,30 以及
f 数进行辨识，需要对激励函数 j(·) 添加额外的条 件。基于误差系统 (8)，当两个系统实现同步时， 误差系统可以被重写为如下形式： D α ei(t) = ∑n j=1 ( aˆi j(t)−ai j) fj ( xj(t) ) = 0, j = 1,2,··· ,n f 根据函数线性无关的条件，当 j(xj(t)) 线性无 关时可以对未知参数进行辨识。 注 3 与其他相关文献中设计的控制协议相 比，如文献[14]，我们所考虑的是带有未知参数和 未知外部输入的系统。因此，文献[14]中所考虑 的模型是本文的特例。 3.2 自适应 H∞同步 利用 H∞性能指标来研究外部干扰对系统同 步的影响。 γ > 0 H∞ ∥Tzw (s)∥∞ < γ 定理 2 考虑驱动系统 (式 (1)) 和响应系统 (式 (3))。利用控制律式 (4) 和估计器即式 (5)~(7)， 则对于给定 ，误差系统 (8) 可以满足 性能， 即在零初始条件下可以满足 。 证明 由于在零初始条件下，Caputo 型导数 与 Riemann-Liouville 型导数等价，利用引理 5，误 差系统 (8) 和估计 (5)~(7) 可以用以下分布表示： ∂zi(w,t) ∂t =−wzi(w,t)−ciei(t)+ ∑n j=1 aˆi j(t) fj ( yj(t) ) − ∑n j=1 ai j fj ( xj(t) ) +˜Ii(t)−di(t) ei(t)+wi(t) ei(t) = ∫ ∞ 0 µ(w)zi(w,t)dw (10) ∂Di(w,t) ∂t = −wDi(w,t)+kiei(t) 2 d˜ i(t) = ∫ ∞ 0 µ(w)Di(w,t)dw (11) ∂Ai j(w,t) ∂t = −wAi j(w,t)−li j fj ( yj(t) ) ei(t) a˜i j(t) = ∫ ∞ 0 µ(w)Ai j(w,t)dw (12) ∂Bi(w,t) ∂t = −wBi(w,t)−riei(t) ˜Ii(t) = ∫ ∞ 0 µ(w)Bi(w,t)dw (13) i, j = 1,2,··· ,n;d˜ i(t) = di(t)−di ;zi ,Ai j,Bi ,Di , µ(w) 式中： 均是 无限维的分布式状态变量； 在引理 5 中被定 义。定义如下类似李雅普诺夫函数： V (t) = 1 2 ∑n i=1 ∫ ∞ 0 µ(w)zi(w,t) 2 dw+ ∑n i=1 ∑n j=1 1 2li j ∫ ∞ 0 µ(w)Ai j(w,t) 2 dw+ ∑n i=1 1 2ri ∫ ∞ 0 µ(w)Bi(w,t) 2 dw+ ∑n i=1 1 2ki ∫ ∞ 0 µ(w)Di(w,t) 2 dw 从而 V (t) 的导函数为 V˙ (t) = ∑n i=1 ∫ ∞ 0 µ(w)zi(w,t) ∂zi ∂t dw+ ∑n i=1 ∑n j=1 1 li j ∫ ∞ 0 µ(w)Ai j(w,t) ∂Ai j ∂t dw+ ∑n i=1 1 ri ∫ ∞ 0 µ(w)Bi(w,t) ∂Bi ∂t dw+ ∑n i=1 1 ki ∫ ∞ 0 µ(w)Di(w,t) ∂Di ∂t dw ab ⩽ 1 ε a 2 +εb 2 利用不等式 ,由方程 (10)~(13) 不 难得到 V˙ (t) ⩽ ∑n i=1 − di +ci − ∑n j=1 1 εj L 2 i µ 2 −εi ei(t) 2 + ∑n i=1 {ei(t)wi(t)} ⩽ ∑n i=1 − di +ci − ∑n j=1 1 εj L 2 i µ 2 −εi − 1 γ ei(t) 2 + ∑n i=1 { γwi(t) 2 } V˙ (t)+ ∑n i=1 ei(t) 2 −γ ∑n i=1 wi(t) 2 ⩽ ∑n i=1 − di +ci − ∑n j=1 1 εj L 2 i µ 2 −εi − 1 γ −1 ei(t) 2 可以通过取足够大的 di值使得 di +ci − ∑n j=1 1 εj L 2 i µ 2 −εi − 1 γ −1 > 0 ∫ ∞ 0 ∑n i=1 ei(t) 2 dt < ∫ ∞ 0 γ ∑n i=1 wi(t) 2 dt H∞ 从而有 ，即在 满足 性能下，闭环系统可以实现同步。 H∞ H∞ 注 4 目前，关于 控制问题的研究主要集 中在整数阶系统，比如文献[15-16]。本文通过利 用分数阶微分方程的分布式表达形式将这些结果 推广到了不确定分数阶神经网络系统，提出了一 个可以使闭环系统实现 同步的自适应协议。 4 仿真实验 H∞ 通过给出的仿真实例来验证我们所提出的控 制器在实现自适应同步和 同步方面是有效 的。此外，我们讨论了相关的参数辨识问题。 例：对于驱动系统 (式 (1))，响应系统 (式 (3)) 以及控制协议即式 (4)~(7),令 α = 0.98,c1 = 1, c2 = 1, c3 = 1,I1 = 1,I2 = 1,I3 = 1 x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t))T ,y(t) = (y1(t), y2(t), y3(t))T fj ( xj(t) ) = tanh( xj(t) ) , fj ( yj(t) ) = tanh( yj(t) ) i, j = 1,2,3 , , , 。 以及 ·242· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷
第2期 袁晓琳，等：一类分数阶神经网络的自适应H同步 ·243· 2 -1.20 xF(0=[0.3 -0.40.9 A=(aij)3x3 1.81.711.15 -4.75 01.1 y0)=[0.3-0.40.9 选取初始条件为 x(0)=0.3-0.40.9y(0)=2.8-0.44.6,a10)=1, 7F a12(0)=1,a3(0)=1,a21(0)=1,a2(0)=l,ax(0)=1, 6 5 a1(0)=1,a2(0)=1,a3(0)=1,i(0)=1,2(0)=1,i(0)=1, d1(0)=1,d山2(0)=1，d2(0)=1,k=k32=k3=5,n=2=3= 5,l=5,ij=1,2,30 图1为驱动系统(1)和未加控制器的响应系 50 100150 200250300 统(3)的状态轨迹图，显然两个系统并没有实现 同步。 图3d、d、d随时间的变化图 Fig.3 dd2.davaries with time 驱动系统 2.5r 未加控制器 0 的响应系统 2.0 1.5 1.0 6 0.5 0 0 0) -I 2107之34 0.5 x10) -1.0 -1.5 图1驱动系统(1)与未加控制器的响应系统（③）状态图 -2.0 -2.5 Fig.1 States of drive system (1)and response system (3) 50100150 200250300 without controller 图2为驱动系统(1)和加了控制律(4)(7)的 图4a11、a12、a13的辨识 响应系统(3)的状态轨迹图，该图显示利用控制 Fig.4 Identification of au,a2,@13 3.0r 律(4)(7)这两个系统实现了同步。 2.5 6 一驱动系统 加了控制器 2.0 的响应系统 0 1.5 -2 1.0 -4 05 3 0 50.100150200250300 图2驱动系统(1)与加控制律响应系统（③）状态图 图5a21、a2、2的辨识 Fig.2 States of drive system (1)and response system (3) Fig.5 Identification of az,az,az with controller 2 图3为控制强度，当时间趋于无穷时它们都 收敛到一个确定的常数。从图46可以看出响应 系统中(3)中所有的未知参数可以很好地辨识出 来，辨识值为 a11=1.99,a12=-12,a3=0,a21=1.8,a22=1.7, ai23=1.15,a1=-4.75,a2=0,a3=1.1 与权重矩阵A中的初始值相一致。这表明所 50100150200250300 提出的控制器是有效的并且可以精确地辨识所有 的未知参数。 图6a1、a2、a3的辨识 若将初始值改变为 Fig.6 Identification of as,as,a33
A = ( ai j) 3×3 = 2 −1.2 0 1.8 1.71 1.15 −4.75 0 1.1 选取初始条件为 x T (0) = [ 0.3 −0.4 0.9 ]T , y T (0) = [ 2.8 −0.4 4.6 ]T ,aˆ 11 (0) = 1, aˆ 12 (0) = 1, aˆ 13 (0) =1, aˆ 21 (0) =1, aˆ 22 (0) =1, aˆ 23 (0) = 1, aˆ 31 (0) = 1,aˆ 32 (0) = 1,aˆ 33 (0) = 1, ˆI1 (0) = 1, ˆI2 (0) = 1, ˆI3 (0) = 1, d1 (0) = 1,d2 (0) = 1,d2 (0) = 1, k1 = k2 = k3 = 5,r1 = r2 = r3 = 5,li j = 5,i, j = 1,2,3。 图 1 为驱动系统 (1) 和未加控制器的响应系 统 (3) 的状态轨迹图，显然两个系统并没有实现 同步。 图 2 为驱动系统 (1) 和加了控制律 (4)~(7) 的 响应系统 (3) 的状态轨迹图，该图显示利用控制 律 (4)~(7) 这两个系统实现了同步。 图 3 为控制强度，当时间趋于无穷时它们都 收敛到一个确定的常数。从图 4~6 可以看出响应 系统中 (3) 中所有的未知参数可以很好地辨识出 来，辨识值为 aˆ 11 = 1.99,aˆ 12 = −1.2,aˆ 13 = 0,aˆ 21 = 1.8,aˆ 22 = 1.7, aˆ 23 = 1.15,aˆ 31 = −4.75,aˆ 32 = 0,aˆ 33 = 1.1 与权重矩阵 A 中的初始值相一致。这表明所 提出的控制器是有效的并且可以精确地辨识所有 的未知参数。 若将初始值改变为 x T (0) = [ 0.3 −0.4 0.9 ]T , y T (0) = [ 0.3 −0.4 0.9 ]T 0 1 2 3 4 0 1 2 0 2 4 6 驱动系统 未加控制器 的响应系统 x2 (y2 ) x3 (y3 ) x1 (y1 ) −2−1 −1 −8 −6 −4 −2 图 1 驱动系统 (1) 与未加控制器的响应系统 (3) 状态图 Fig. 1 States of drive system (1) and response system (3) without controller −1 0 1 2 3 −2 −1 0 1 2 −6 −4 −2 0 2 4 6 驱动系统 加了控制器 的响应系统 x3 (y3 ) x2 (y2 ) x1 (y1 ) 图 2 驱动系统 (1) 与加控制律响应系统 (3) 状态图 Fig. 2 States of drive system (1) and response system (3) with controller 0 50 100 150 200 250 300 1 2 3 4 5 6 7 8 9 d 、1 d 、2 d3 d3 d1 d2 t/s 图 3 d1、d2、d3随时间 t 的变化图 Fig. 3 d1,d2,d3varies with time 0 50 100 150 200 250 300 −2.5 −2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 ^a11、^a12、^a13 t/s a ^ 12 a ^ 13 a ^ 11 图 aˆ 11、aˆ 12、aˆ 13 4 的辨识 Fig. 4 Identification of aˆ 11,aˆ 12,aˆ 13 0 50 100 150 200 250 300 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 a ^ 21 a ^ 22 a ^ 23 ^a ，21 ^a ，22 ^a23 t/s 图 aˆ 21、aˆ 22、aˆ 23 5 的辨识 Fig. 5 Identification of aˆ 21,aˆ 22,aˆ 23 0 50 100 150 200 250 300 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 a ^ 32 a ^ 33 a ^ 31 t/s ^a ，31 ^a ，32 ^a33 图 6 aˆ 31、aˆ 32、aˆ 33的辨识 Fig. 6 Identification of aˆ 31,aˆ 32,aˆ 33 第 2 期 袁晓琳，等：一类分数阶神经网络的自适应 H∞同步 ·243·