考研1号网:专注考研有你有我共同进步 2001年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 填空题 (1)设生产函数为Q=AK,其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量而 A,a,B均为大于零的参数,则当Q=1时K关于L的弹性为 【答】 【详解】当Q=1时有K=A7L7 于是K关于L的弹性为 s≤tK(L) I A (2)某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2百万.若以W表示第t 年的工资总额(单位:百万元),则W满足的差分方程是 【答】1.2W1+2 【详解】W=(1+0.2)H=1+2=1.2W1+2 k (3)设矩阵1k11 且秩(A)=3,则k= 11k1 111k 【答】-3 【详解】由题设r(A)=3,知必有 k11 1k11 11k1/≈(k+3k-1)3=0 解得k=1或k=-3显然k=1时r(A)=1, 不符合题意因此一定有k=-3 考研1号网网址:ww,kv007,com
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1）设生产函数为Q AL K , α β = 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而 A, , α β 均为大于零的参数,则当Q =1时 K 关于 L 的弹性为 . 【答】 α β − 【详解】 当Q =1时,有 , l K AL α β β − − = 于是 K 关于 L 的弹性为 1 1 1 '( ) . ( ) A L K L L L K L A L α β β α β β α β α ξ β − −− − − − = = =− i （2）某公司每年的工资总额比上一年增加 20％的基础上再追加 2 百万.若以Wt 表示第t 年的工资总额（单位：百万元），则Wt 满足的差分方程是___ 【答】 1 1.2. 2 Wt− + 【详解】 W 1 0.2 2 1.2. 2 t 11 = + += + ( )W W t t − − （3）设矩阵 111 1 11 , 11 1 111 k k k k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A 且秩( ) 3, A = 则 k = . 【答】 -3 【详解】 由题设 r( ) 3, A = 知必有 3 111 1 11 ( 3)( 1) 0, 11 1 111 k k k k k k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =+ − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 解得 k =1或 k = −3.显然 k =1时 r A( ) 1, = 不符合题意,因此一定有k = −3. 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com
考研1号网:专注考研有你有我共同进步 (4)设随机变量X,Y的数学期望都是2方差分别为1和4而相关系数为05则根据切比 雪夫不等式P{x-y≥6 【答】 【详解】另Z=X-Y,则 E(Z)=E(X)-E(Y)=0, D(Z=D(X-Y=D(X)+D(r)-2Cov(X, y 1+4-20.5√D(X√D(Y)=3 于是有 P{X-26}=P{z-E(z)≥6} D(Z) (5)设总体X服从正态分布N(002),而x,X2…X13是来自总体X的简单随机样本 则随机变量Y=+…+X服从分布,参数为 【答】 【详解】因为x~N(02)1=12…15于是~N(O.从而有 X 而且由样本的独立性可知 2)+…+(20)-x2(0)与 +…+1~x2(5)相互独立 /10 F(10,5 +…+X3)(X1 故Y服从第一个自由度为10,第二个自由度为5的F分布 选择题 考研1号网网址;ww,ky007.com
（4）设随机变量 X,Y 的数学期望都是 2,方差分别为 1 和 4,而相关系数为 0.5.则根据切比 雪夫不等式 PX Y { −≥ ≤ 6} . 【答】 1 12 【详解】 另 Z = X Y− , 则 EZ E X EY ( ) ( ) ( ) 0, = −= D Z D X Y D X D Y Cov X Y () ( ) ( ) () 2 ( ,) = −= + − =+ − 1 4 2 0.5 ( ) ( ) 3, i i D X DY = 于是有 { } { } 2 () 1 6 () 6 . 6 12 D Z P X Y P Z EZ −≥ = − ≥ ≤ = （5）设总体X服从正态分布 ( ) 2 N 0,0.2 ,而 1 2 15 X , , X X " 是来自总体X的简单随机样本， 则随机变量 ( ) 2 2 1 10 2 2 11 15 2 X X Y X X + + = + + " " 服从___分布，参数为_______。 【答】 1 12 【详解】 因为 ( ) 2 ~ 0, 2 1, 2, ,15. XN i i = " 于是 ~ 0,1 , ( ) 2 Xi N 从而有 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 11 10 15 2 2 ~ 10 , ~ 5, 22 2 2 X X X X χ χ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " " 而且由样本的独立性可知， ( ) 2 2 1 10 2 ~ 10 2 2 X X χ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " 与 ( ) 2 2 11 15 2 ~ 5 2 2 X X χ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " 相互独立. 故 ( ) ( ) 2 2 1 10 2 2 1 10 2 2 2 2 11 15 11 15 /10 2 2 ~ 10,5 . 2 /10 2 2 X X X X Y F X X X X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = + + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ " " " " 故 Y 服从第一个自由度为 10，第二个自由度为 5 的 F 分布. 二、选择题 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com
考研1号网:专注考研有你有我共同进步 (1)设函数f(x)的导数在x=a处连续,又lm ∫(x)=-1,则 x→ax-a (A)x=a是∫(x)的极小值点 (B)x=a是∫(x)的极大值点 (C)(a,f(a)是曲线y=f(x)的拐点 D)x=a不是∫(x)的极值点,(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点 【答】[B 【详解】由lim1=-1,知limf(x)=0,即f(a)=0,于是有 f(a=lim f(x)-f'(a) f'(x) 即f(a)=0,f"(a)=-1,故x=a是f(x)的极大值点 因此正确选项为(B) (x2+1),0≤x≤1 (2)设函数g(x)=f(n)dhn其中f(x) 则g(x)在区间 (x-1),1≤x≤2 (0,2)内 (A)无界 (B)递减 (C)不连续 (D)连续 【】 【答】[D 【详解】当0≤x<1时,有 g(x)=(x2+1)d=2x+x 2 62 当1≤x≤2时,有 21 g(x)=(x2+1)dx+(x-1)dx 即g(x) (x-1)2,1≤x≤ 36 显然g(x)在区间(0,2)内连续,所以,应选OD 考研1号网网址;ww,kvQ07com
（1）设函数 f ( ) x 的导数在 x = a 处连续,又 '( ) lim 1, x a f x → x a = − − 则 (A) x = a 是 f ( ) x 的极小值点. (B) x = a 是 f ( ) x 的极大值点. (C) ( , ( )) afa 是曲线 y fx = ( ) 的拐点. (D) x = a 不是 f ( ) x 的极值点, ( , ( )) afa 也不是曲线 y fx = ( ) 的拐点. 【 】 【答】 [ B] 【详解】 由 '( ) lim 1, x a f x → x a = − − 知lim '( ) 0, x a f x → = 即 f a'( ) 0 = ,于是有 '( ) '( ) '( ) "( ) lim lim 1, x a x a fx fa fx f a → → xa xa − = == − − − 即 f a'( ) 0 = , f a "( ) 1 = − ,故 x = a 是 f ( ) x 的极大值点, 因此,正确选项为(B). （2）设函数 0 () () , x g x f u du = ∫ 其中 1 2 ( 1),0 1 2 ( ) , 1 ( 1),1 2 3 x x f x x x ⎧ + ≤ ≤ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ − ≤≤ ⎪⎩ 则 g x( ) 在区间 (0,2) 内 (A)无界 （B）递减 (C) 不连续 (D) 连续 【 】 【答】 [D] 【详解】 当0 1 ≤ x < 时,有 2 3 0 1 11 ( ) ( 1) , 2 62 x g x x dx x x = +=+ ∫ 当1 2 ≤ x ≤ 时,有 1 2 2 0 1 1 1 21 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) , 2 3 36 x g x x dx x dx x = + + − =+ − ∫ ∫ 即 3 2 1 1 ,0 1 6 2 ( ) 2 1 ( 1) , 1 2 3 6 x x x g x x x ⎧ + ≤< ⎪⎪ = ⎨ ⎪ + − ≤≤ ⎪⎩ 显然 g x( ) 在区间(0, 2) 内连续, 所以,应选(D). 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com
考研1号网:专注考研有你有我共同进步 a1 0001 21a22a23a24 0100 (3)设A= B P a3 0010 1000 0010 0100 ,其中A可逆,则B等于 (A) A PP (B) PA P (C)PPA (D) PA P 【答】[C] 【详解】因为P是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵,而P是交换第二、三列 所得的初等矩阵,于是有B=APP从而 B-=(APP)=P-P-A=PPA 故正确选项为(C) (4)设A是n阶矩阵,a是n维列向量若秩 秩(A),则线性方程组 A)AX=a必有无穷多解 (B)AX=a必有惟一解 a ax aa x (C)\a0人y 0仅有零解(O)a =0必有非零解 0八y 【】 【答】[D aa 【详解】由题设,显然有秩 =秩(A)≤n<n+1,即系数矩阵 非列满秩, 因此齐次线性方程组/Aa)X 0必有非零解 故正确选项为(D)。 (5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数则X和y 的相关系数等于 【答】[A] 【详解】设X和y分别表示正面向上和反面向上的次数,则有Y=n-X,因此X和Y的相 考研1号网网址;ww,kvQ07com
（3）设 11 12 13 14 14 13 12 11 21 22 23 24 24 23 22 21 1 31 32 33 34 34 33 32 31 41 42 43 44 44 43 42 41 0001 0100 , ,, 0010 1000 aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ == = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ABP 2 1000 0010 , 0100 0001 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P 其中 A 可逆,则 −1 B 等于 (A) 1 1 2 − A P P （B） 1 1 2 − PA P (C) 1 1 2 − PP A (D) 1 2 1. − PA P 【 】 【答】 [C ] 【详解】 因为 P1是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而 P2 是交换第二、三列 所得的初等矩阵，于是有 B AP P = 2 1 从而 ( ) 1 1 1 1 1 1 21 1 2 1 2 − − −− − − B AP P P P A P P A == = 故正确选项为（C）. （4）设 A 是n 阶矩阵，α 是 n 维列向量.若秩 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ Τ 秩（ ） Α α Α α ，则线性方程组 ( ) A AX =α 必有无穷多解 (B) AX =α 必有惟一解. ( ) 0 0 C y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ X Τ Α α α 仅有零解 ( ) 0 0 D y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ X Τ Α α α 必有非零解. 【 】 【答】 [D] 【详解】由题设，显然有秩 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ Τ 秩（ ） Α α Α α ≤ n n < +1,即系数矩阵 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Τ Α α α 非列满秩， 因此齐次线性方程组 0 0 y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ X Τ Α α α 必有非零解. 故正确选项为（D）。 （5）将一枚硬币重复掷 n 次,以 X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X和Y 的相关系数等于 (A) -1 (B) 0 (C) 1 2 (D) 1 【答】 [A ] 【详解】设 X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则有Y nX = − ,因此 X和Y 的相 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com
考研1号网:专注考研有你有我共同进步 关系数为r=-1 三、(本题满分8分) 设u=∫(x,y,)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及=(x)分别由下列两式 确定:e”-x=2和e'=["Smnr du dt 【详解】根据复合函数求导公式有 dz dx ax ay dx az dx 由e-xy=2两边对x求导得 e"(y+x,)-(y+x,)=0, dy -= sIn 由ex dt,两边对x求导得 e= sin(r-s) dz Sn(x-二 将其代入(*)式得 r@(、e(x du af y af 四、(本题满分8分) 已知∫(x)在(-∞,+∞)内可导且 lim/(x)=e, lim(tc)=lim[(x)-f(x-1)I 求c的值 【详解】因为lm(x+C)=lim+杂 又由拉格朗日中值定理,有 f(x)-f(x-1)=f(5y1, 于是ξ介于x-1与x之间于是 lim[f(x)-f(x-1)]=limf(s)=e 考研1号网网址;ww,kvQ07com
关系数为 r = −1. 三 、（本题满分 8 分） 设 u f xyz = (, ,) 有连续的一阶偏导数,又函数 y yx = ( ) 及 z zx = ( ) 分别由下列两式 确定: 2 xy e xy − = 和 0 sin , x z x t e dt t − = ∫ 求 du dx 【详解】 根据复合函数求导公式,有 . du f f dy f dz dx x y dx z dx ∂∂ ∂ =+ + ∂∂ ∂ i i (*) 由 2 xy e xy − = 两边对 x 求导,得 ( ) ( ) 0, xy dy dy e yx yx dx dx + −+ = 即 . dy y dx x = − 由 0 sin , x z x t e dt t − = ∫ 两边对 x 求导,得 sin( ) (1 ), x x z dz e x z dx − = − − i 即 ( ) 1 . sin( ) x dz e x z dx x z − = − − 将其代入(*)式,得 ( ) (1 ) . sin( ) x du f y f e x z f dx x x y x z z ∂ ∂ −∂ = − +− ∂ ∂ −∂ 四 、（本题满分 8 分） 已知 f ( ) x 在(,) −∞ +∞ 内可导,且 lim '( ) ,lim( ) lim[ ( ) ( 1)], x xxx x c fx e fx fx →∞ →∞ x c →∞ + = = −− − 求c 的值. 【详解】 因为 2 2 2 2 . lim( ) lim[(1 )] x c cx c x c x c x x x c c e xc xc − − →∞ →∞ + =+ = − − 又由拉格朗日中值定理,有 fx fx f ( ) ( 1) '( ) 1, − −= ξ i 于是ξ 介于 x −1与 x 之间,于是 lim[ ( ) ( 1)] lim '( ) x x f x fx f e ξ →∞ →∞ − −= = 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com