§5.1自变量选择对估计和预测的影响 (一)全模型正确而误用选模型的情况 性质1.在X与X1,Xm的相关系数不全为0时，选模型回归系数的 最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计，即 EBm)=B。≠B,(1,2,…p)
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响 （一）全模型正确而误用选模型的情况 性质1. 在xj与xp+1, …,xm的相关系数不全为0 时，选模型回归系数的 最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计,即 jp jp j ) ˆ E( （j=1,2， …,p）
§5.1自变量选择对估计和预测的影响 (一)全模型正确而误用选模型的情况 性质2.选模型的的预测是有偏的。 给定新自变量值xp=(X1,X2,…,Xm,因变量新值为 yo=Bo+B iX01+B 2X02++B mxXom+o 用选模型的预测值为 yop Bop +Bipxor +Bzpxo2+Bpoxop 作为yo的预测值是有偏的，即E(矿op-yo)≠0
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响 （一）全模型正确而误用选模型的情况 性质2. 选模型的的预测是有偏的。 给定新自变量值 (x ,x , ,x ) 0p 01 02 0m x ，因变量新值为 y0 =β0 +β1 x01+β2 x02+…+βmx0m+ε0 用选模型的预测值为 0p 0p 1p 01 2p 02 pp x0p ˆ x ˆ x ˆ ˆ y ˆ 作为y0的预测值是有偏的，即 E(y ˆ y ) 0 0p 0
§5.1自变量选择对估计和预测的影响 (一)全模型正确而误用选模型的情况 性质3.选模型的参数估计有较小的方差 选模型的最小二乘参数估计为B。=(Bop,Bp,…,Bp)》 全模型的最小二乘参数估计为Bm=(Bom,B1m,…,m)' 这条性质说明D(Bm)≤DBm),j=0,l…,p
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响 （一）全模型正确而误用选模型的情况 性质3. 选模型的参数估计有较小的方差 选模型的最小二乘参数估计为 ) ˆ , , ˆ , ˆ ( ˆ p 0p 1p pp β 全模型的最小二乘参数估计为 ) ˆ , , ˆ , ˆ ( ˆ m 0m 1m mm β 这条性质说明 ), j 0,1, ,p ˆ ) D( ˆ D(jp jm
§5.1自变量选择对估计和预测的影响 (一)全模型正确而误用选模型的情况 性质4.选模型的预测残差有较小的方差。 选模型的预测残差为eop=yop一yo 全模型的预测残差为eom=夕om一yo 其中y0=Bo+BXo1+B2Xo2++Bm0m+e 则有D(eop)≤D(eom)
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响 （一）全模型正确而误用选模型的情况 性质4. 选模型的预测残差有较小的方差。 选模型的预测残差为 0p y0p y0 e ˆ 全模型的预测残差为 0m y0m y0 e ˆ 其中y0 =β0 +β1 x01+β2 x02+…+βmx0m+ε 则有D(e0p)≤D(e0m)
§5.1自变量选择对估计和预测的影响 (一)全模型正确而误用选模型的情况 性质5.记Bm-p=(Bp+1,…,Bm)1 用全模型对Bnmn的最小二乘估计为Bm-p=(Bl,…,Bm)》 则在D(Bm-p)≥Bm-nBm-p的条件下 E (eop)=D(eop)+(E (eop)<D(eom) 即选模型预测的均方误差比全模型预测的方差更小
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响 （一）全模型正确而误用选模型的情况 性质5. 记 ( , , ) m p p 1 m β 用全模型对βmp 的最小二乘估计为 ) ˆ , , ˆ ( ˆ m p p 1 m β 则在 m p m p m p ) ˆ D( β β β 的条件下 E（e0p）2 = D(e0p)+(E（e0p）) 2 ≤D(e0m) 即选模型预测的均方误差比全模型预测的方差更小