交流采样误差分析 王伊晓 指导老师：刘东 (上海交通大学电气工程系，上海市200240：) 摘要：交流采样的误差产生原因涉及到采样和计算过程的各个环节，采样精度关系到电力 系统运行和控制水平以及系统安全。本文着重分析了采样过程中出现的量化误差、标度变换 误差、截断误差、非均匀同步采样误差以及非同时采样误差等5种误差的产生原因，对其中 几种误差建立了数学模型并推导了误差公式，最后分别给出了行之有效的削弱方法，并进行 了Matlab编程仿真，为减小交流采样的误差提供了理论依据。 关键词：交流采样：量化误差；标度变换：截断误差：非均匀同步采样；非同时采样 1.引言 文献[1]提出的同步误差补偿方法，对其中 理论推导的一些较模糊的过程和一些不合 利用交流采样测量工频电压、电流、 理的近似进行了修改，并得到了新的补偿 功率的方法在电力系统的测量中非常普遍。 系数。另外还创新了同步误差软件补偿的 实现交流采样有着多种方法，有同步采样 各参量分析和软件仿真方法，得到了较全 法和非同步采样法等。非同步采样法需要 面的结论。对于其余4种误差的分析和削弱 非常复杂的迭代计算，现在多用同步采样 方法也不同程度地提出了创新见解。 法进行交流采样。如果被测量信号的周期 是采样周期的整数倍即同步采样，则无离散 2.问题综述 误差。同步采样可用硬件或软件实现，软件 交流采样的误差产生原因涉及到采样 同步因能减少硬件设备，结构简单，故应 和计算过程的各个环节，采样精度关系到 用较多。交流采样与计算的各个环节均存 电力系统运行和控制水平以及系统安全， 在误差，需要用不同的方法分别进行分析。 有些误差是不能克服的，有些误差是可以 查阅的相关文献中文献 消除或削弱的。整个采样和计算过程的大 [1][2][3][4][5][6]均对同步误差产生的 致流程图如下，图中略去了信号调理与滤 原因进行了数学上的推导。其中文献[1][2] 波环节，只给出了其中的关键步骤： 在数学推导的基础上提出了利用得到的误 差公式进行误差补偿以消除同步误差，文 电力线路 PT或CT 变送器 献[3][4]分析了进行同步采样时采样的初 相角对同步误差的影响，文献[6]讨论了利 用滤波器消除同步误差的可行性。文献 CP(数据处 [7][8]主要研究了非整周期采样下电功率 实际工程值 理，包括标度 AD 变换) 测量的误差及补偿问题。文献[9][10]对如 何实现同步采样进行了讨论。文献[11][12] 图1：采样过程主要步骤 是从截断误差等方面对交流采样误差进行 在以上步骤的每一个环节，都可能存在误 了研究并提出解决方法。 差，最终影响到测量结果的精度。各个环 最后本文在以上基础上综合分析了交流 节的误差列举如下： 误差的产生原因，整合和改进了多篇文献 1.PT和CT由于励磁支路的影响存在不平 的结论，着重论述了采样过程中的5种误差， 衡电压和不平衡电流： 分别提出了削弱误差的方法。其中改进了 2.变送器在以设定变比进行模拟量变化
交流采样误差分析 王伊晓 指导老师：刘东 （上海交通大学 电气工程系，上海市 200240；） 摘 要：交流采样的误差产生原因涉及到采样和计算过程的各个环节，采样精度关系到电力 系统运行和控制水平以及系统安全。本文着重分析了采样过程中出现的量化误差、标度变换 误差、截断误差、非均匀同步采样误差以及非同时采样误差等5种误差的产生原因，对其中 几种误差建立了数学模型并推导了误差公式，最后分别给出了行之有效的削弱方法,并进行 了Matlab编程仿真，为减小交流采样的误差提供了理论依据。 关键词： 交流采样；量化误差；标度变换；截断误差；非均匀同步采样；非同时采样 1．引言 利用交流采样测量工频电压、电流、 功率的方法在电力系统的测量中非常普遍。 实现交流采样有着多种方法，有同步采样 法和非同步采样法等。非同步采样法需要 非常复杂的迭代计算，现在多用同步采样 法进行交流采样。如果被测量信号的周期 是采样周期的整数倍即同步采样,则无离散 误差。同步采样可用硬件或软件实现, 软件 同步因能减少硬件设备, 结构简单, 故应 用较多。交流采样与计算的各个环节均存 在误差，需要用不同的方法分别进行分析。 查阅的相关文献中 文 献 [1][2][3][4][5][6]均对同步误差产生的 原因进行了数学上的推导。其中文献[1][2] 在数学推导的基础上提出了利用得到的误 差公式进行误差补偿以消除同步误差，文 献[3][4]分析了进行同步采样时采样的初 相角对同步误差的影响，文献[6]讨论了利 用滤波器消除同步误差的可行性。文献 [7][8]主要研究了非整周期采样下电功率 测量的误差及补偿问题。文献[9][10]对如 何实现同步采样进行了讨论。文献[11][12] 是从截断误差等方面对交流采样误差进行 了研究并提出解决方法。 最后本文在以上基础上综合分析了交流 误差的产生原因，整合和改进了多篇文献 的结论，着重论述了采样过程中的5种误差， 分别提出了削弱误差的方法。其中改进了 文献[1]提出的同步误差补偿方法，对其中 理论推导的一些较模糊的过程和一些不合 理的近似进行了修改，并得到了新的补偿 系数。另外还创新了同步误差软件补偿的 各参量分析和软件仿真方法，得到了较全 面的结论。对于其余4种误差的分析和削弱 方法也不同程度地提出了创新见解。 2．问题综述 交流采样的误差产生原因涉及到采样 和计算过程的各个环节，采样精度关系到 电力系统运行和控制水平以及系统安全， 有些误差是不能克服的，有些误差是可以 消除或削弱的。整个采样和计算过程的大 致流程图如下，图中略去了信号调理与滤 波环节，只给出了其中的关键步骤： 图1：采样过程主要步骤 在以上步骤的每一个环节，都可能存在误 差，最终影响到测量结果的精度。各个环 节的误差列举如下： 1． PT和CT由于励磁支路的影响存在不平 衡电压和不平衡电流； 2． 变送器在以设定变比进行模拟量变化
时也存在误差： 层的间隔相等，且等于量化单位q。当信号 3.AD存在量化误差： 幅值小于量化单位q/2时，舍去：反之进 4.标度变换时涉及标度变换系数的有效 位。这种量化方法的量化误差为±。也 位数问题，也会起误差： 5.在计算过程中，用复化积分方法计算电 就是说，AD的分辨力为q/2,比q/2更小 压电流的有效值会带来截断误差： 的信号将会被舍去或进位。这就造成了一 6.在采样过程中，由于实际情况是非理想 定的量化误差。当然解决这个问题的办法 的均匀同步采样，还会带来同步误差： 也很简单，那就是增加AD的位数，目前较 7.由于电压电流量的不同时采样还会使 常用的AD为1012位的AD。当N较大时， 得功率的测量产生误差。 量化误差会比较小，此时AD的精度不会低 于之前的模拟量采集环节，因此不会对测 交流采样的误差分析难点在于产生误 量精度产生太大影响。 差的原因很多，每个误差的形成机理又不 另外，由于在被测系统中可能有多个 尽相同，不同误差之间的相互影响也未必 量测量，它们的数值不同，量纲相异，但 是线性叠加关系，因此对于整体误差的理 经过相应的变送器后，变成统一的05V送 论分析会显得较为困难。但是，对于其中 入AD。因此，需要将采样所得值乘以相应 的每一种误差，却可以从理论上进行单独 的标度变换系数，才可以将AD的采样值变 分析，这样的研究也必然可以为从整体上 回实际的工程值。标度变换系数在遥测系 消除误差提供可靠的手段与依据。由于 数区中一般以4个标志位以及812个数据 PTCT以及变送器属于AD转换的前置采集 位存放，如下图所示： 元件，更多地涉及硬件方面而非软件方面 F1 F2 N1 N2 KI1 KI0 K9 KB K7 K6 K5 K4 K3 K2 K1 KD 的误差分析，且其误差的消除国内已有较 图2：标度变换遥测系数区 多文献有过深入研究，因此本文的主要研 K0K11是标度变换系数，每一位会有 究对象定位为后5种误差。本文将对后5 特定的权值。标度变换的系数整定一般以 种误差进行单独的讨论，并为每一种误差 最大值法整定： 的消除或削弱提供有效的解决方案。 K=吕 (3-2) 3.误差分析与削弱方案 式中S表示满量程，D即为AD转换的阶 以下将逐一对产生交流采样误差的各 数21。这样计算出来的K,转换成2进 种原因和误差削弱方法进行讨论，其中消 制后，即放入遥测系数区进行传送。如果$ 除的方法主要为提高硬件的精度和对交流 较小，D较大，那么K值可能会很小，此 采样所造成的误差进行软件补偿。 时转换为2进制后，很可能前面很多位都 3.1AD量化误差与标度变换系数的误差分 为O,有效位数减少很多，这样将会使AD 析及降低方法 采样值在转换为实际值时由于有效位数问 在电力系统的RTU电参数遥测测量当 题而使精度大大下降。因此需要合理设置 中，常采用逐次逼近电压反馈式AD转换器 标志位F1F2及N1N2的值，以使得标度变 进行模数转换。AD转换器有不同的位数N, 换系数的有效位数最多。F1F2表示的是标 其量化单位q等于满量程测量值Us与2-1 度变换系数按十进制放大的倍数，即小数 的比值： 点位置，从0011分别表示放大了1倍、 UFSR 10倍、100倍、1000倍，而N1N2表示的 q=2N-1 3 是标度变换系数按2进制放大的倍数，从 -1) 0011分别表示放大了1倍、2倍、4倍、8 量化的方法可以采用“有舍有入”的 倍。合理设置标志位后，K的最高有效位 量化方法，即将信号幅值分为若干层，各 为1，有效位数最多，这样K精度达到最
时也存在误差； 3． AD存在量化误差； 4． 标度变换时涉及标度变换系数的有效 位数问题，也会引起误差； 5． 在计算过程中，用复化积分方法计算电 压电流的有效值会带来截断误差； 6. 在采样过程中，由于实际情况是非理想 的均匀同步采样，还会带来同步误差； 7. 由于电压电流量的不同时采样还会使 得功率的测量产生误差。 交流采样的误差分析难点在于产生误 差的原因很多，每个误差的形成机理又不 尽相同，不同误差之间的相互影响也未必 是线性叠加关系，因此对于整体误差的理 论分析会显得较为困难。但是，对于其中 的每一种误差，却可以从理论上进行单独 分析，这样的研究也必然可以为从整体上 消除误差提供可靠的手段与依据。由于 PTCT 以及变送器属于 AD 转换的前置采集 元件，更多地涉及硬件方面而非软件方面 的误差分析，且其误差的消除国内已有较 多文献有过深入研究，因此本文的主要研 究对象定位为后 5 种误差。本文将对后 5 种误差进行单独的讨论，并为每一种误差 的消除或削弱提供有效的解决方案。 3．误差分析与削弱方案 以下将逐一对产生交流采样误差的各 种原因和误差削弱方法进行讨论，其中消 除的方法主要为提高硬件的精度和对交流 采样所造成的误差进行软件补偿。 3.1 AD 量化误差与标度变换系数的误差分 析及降低方法 在电力系统的 RTU 电参数遥测测量当 中，常采用逐次逼近电压反馈式 AD 转换器 进行模数转换。AD 转换器有不同的位数N， 其量化单位q 等于满量程测量值UFSR与2 N -1 的比值： q = UFSR 2N − 1 (3 − 1) 量化的方法可以采用“有舍有入”的 量化方法，即将信号幅值分为若干层，各 层的间隔相等，且等于量化单位 q。当信号 幅值小于量化单位 q/2 时，舍去；反之进 位。这种量化方法的量化误差为± q 2 。也 就是说，AD 的分辨力为 q/2，比 q/2 更小 的信号将会被舍去或进位。这就造成了一 定的量化误差。当然解决这个问题的办法 也很简单，那就是增加 AD 的位数，目前较 常用的 AD 为 10~12 位的 AD。当 N 较大时， 量化误差会比较小，此时 AD 的精度不会低 于之前的模拟量采集环节，因此不会对测 量精度产生太大影响。 另外，由于在被测系统中可能有多个 量测量，它们的数值不同，量纲相异，但 经过相应的变送器后，变成统一的 0~5V 送 入 AD。因此，需要将采样所得值乘以相应 的标度变换系数，才可以将 AD 的采样值变 回实际的工程值。标度变换系数在遥测系 数区中一般以 4 个标志位以及 8~12 个数据 位存放，如下图所示： 图 2：标度变换遥测系数区 K0~K11 是标度变换系数，每一位会有 特定的权值。标度变换的系数整定一般以 最大值法整定： K = S D (3 − 2) 式中 S 表示满量程，D 即为 AD 转换的阶 数 2N-1。这样计算出来的 K，转换成 2 进 制后，即放入遥测系数区进行传送。如果 S 较小，D 较大，那么 K 值可能会很小，此 时转换为 2 进制后，很可能前面很多位都 为 0，有效位数减少很多，这样将会使 AD 采样值在转换为实际值时由于有效位数问 题而使精度大大下降。因此需要合理设置 标志位 F1F2 及 N1N2 的值，以使得标度变 换系数的有效位数最多。F1F2 表示的是标 度变换系数按十进制放大的倍数，即小数 点位置，从 00~11 分别表示放大了 1 倍、 10 倍、100 倍、1000 倍，而 N1N2 表示的 是标度变换系数按 2 进制放大的倍数，从 00~11 分别表示放大了 1 倍、2 倍、4 倍、8 倍。合理设置标志位后，K 的最高有效位 为 1，有效位数最多，这样 K 精度达到最
高。用AD采样值乘以标度系数后，只需 π2 再除以之前放大的倍数，即可得到测量的 e=- 3N% 〉2cos2ti (3-5) 工程值。通过这种最大有效位数原则的应 i-1 用可以有效减少在标度变换过程中产生的 对上式中的求和项进行估算，取一个 误差。 合理值。对于理想情况，即波形是完全标准 3.2截断误差分析与降低方法 的正弦波，采样的时间间隔在整周期内相 截断误差的大小与算法及采样点数N 等，这时和式值应该为0。但对于实际情况 有很大的关系。下面以用梯形求积公式求 而言这两种情况都是不可能的。由于cos2t 电压有效值的过程为例分析截断误差的大 在(0~2π)区间内的取值在(-1，+1)之 小与降低方法。 间，且有正有负，那么正负项将有一部分 会被抵消。可将和式进行合理放大，将 u2(t)dt cos2t在整个周期内都取为某正值或负值， Jo 对误差限的估计不会有影响。若全取-0.5， 则∑1-0.5i=-0.5N,代入(3-5)，得 u2(kh)+ 咯+吃+E 2N es4 3NU层2N×0.5 3NU品 (3-6) (3-3) 式中U为电压有效值，N为被测信号一 由此可以得出电压有效值的总截断误差为 周期均匀采样点数：u(kh)为电压信号采 du dvV eUaπ21 样值：为每次采样前T时刻值：un为每 dye= dVe=2元=3Nz2元 周期最后一次采样值：E为积分离散产生 2U ≈ (3 的截断误差。 对于连续函数f(x),第ⅰ个小区间上 -7) 梯形近似的截断误差 相对误差为 W=-r"e)41<<X E I Ey≈T≈N (3-8) (3-4) 若取全周期cos2t都为0.5，e可得到负误 其中h=TN(T为被测信号周期，N为采样 差，进一步推导可得到与式(3-8)相同 点数)为采样间隔，在讨论截断误差时假 的误差限。 定T与N均不变，且间隔均匀。f`(e)为采 在推导出误差限后，我们可以着手探 样时间间隔内某点的二阶导数。 究减少截断误差的方法。由式(3-8)可知， 对于周期变量u(t)=Umsint,计算电 截断误差的相对值与采样点数N的平方成 压有效值离散积分截断误差为： 反比，N越大则准确度越高。N>26时有近 首先求积分式V=u2()dt(T= 0.5级的准确度：N>40时，有0.2级的准确 度：N>57时，则有0.1级的准确度。N与 2π)的截断误差，用e表示。 相对误差大小的曲线关系如下图： f(t)=u2(t)=U2 sin2(t) f"(t)=2U cos2t f"()=2U cos2E n2 e=-32U品cos2专-1《《 2π区间内累积误差
高。用 AD 采样值乘以标度系数后，只需 再除以之前放大的倍数，即可得到测量的 工程值。通过这种最大有效位数原则的应 用可以有效减少在标度变换过程中产生的 误差。 3.2 截断误差分析与降低方法 截断误差的大小与算法及采样点数 N 有很大的关系。下面以用梯形求积公式求 电压有效值的过程为例分析截断误差的大 小与降低方法。 U = �1 T � u2(t) T 0 dt = � 1 N � u2(kh) N−1 k=1 + u0 2 + un 2 2N + E (3 − 3) 式中 U 为电压有效值，N 为被测信号一 周期均匀采样点数；u（kh）为电压信号采 样值；u0 为每次采样前 T 时刻值；un 为每 周期最后一次采样值；E 为积分离散产生 的截断误差。 对于连续函数 f（x），第 i 个小区间上 梯形近似的截断误差 Wi = − h3 12 f′′(εi) xi−1 < εi < xi (3 − 4) 其中 h=T/N（T 为被测信号周期，N 为采样 点数）为采样间隔，在讨论截断误差时假 定 T 与 N 均不变，且间隔均匀。f ‘’(εi)为采 样时间间隔内某点的二阶导数。 对于周期变量 u（t）=Umsint，计算电 压有效值离散积分截断误差为： 首先求积分式 V = 1 T ∫ u2(t) T 0 dt(T = 2π)的截断误差，用 e 表示。 f(t) = u2(t) = Um 2 sin2(t) f′′(t) = 2Um 2 cos2t f′′(εi) = 2Um 2 cos2εi ei = − π2 3N3 2Um 2 cos2εi ti−1 ≪ εi ≪ ti 2π区间内累积误差 e = − π2 3N3 Um 2 �2cos2ti n i=1 (3 − 5) 对上式中的求和项进行估算，取一个 合理值。对于理想情况,即波形是完全标准 的正弦波，采样的时间间隔在整周期内相 等，这时和式值应该为 0。但对于实际情况 而言这两种情况都是不可能的。由于 cos2ti 在（0~2π）区间内的取值在（-1，+1）之 间，且有正有负，那么正负项将有一部分 会被抵消。可将和式进行合理放大，将 cos2ti 在整个周期内都取为某正值或负值， 对误差限的估计不会有影响。若全取-0.5， 则∑ −0.5i n i=1 = −0.5N，代入（3-5），得 e ≤ 4π2 3N3 Um 2 2N × 0.5 = π2 3N2 Um 2 （3 − 6） 由此可以得出电压有效值的总截断误差为 E = dU dV e = d√V dV e = e 2U = Um 2 π2 3N2 1 2U ≈ π N2 U （3 − 7） 相对误差为 Eγ ≈ E U ≈ π N2 （3 − 8） 若取全周期 cos2ti 都为 0.5，e 可得到负误 差，进一步推导可得到与式（3 − 8）相同 的误差限。 在推导出误差限后，我们可以着手探 究减少截断误差的方法。由式（3-8）可知， 截断误差的相对值与采样点数 N 的平方成 反比，N 越大则准确度越高。N>26 时有近 0.5 级的准确度；N>40 时，有 0.2 级的准确 度；N>57 时，则有 0.1 级的准确度。N 与 相对误差大小的曲线关系如下图：
相对误差大小与N的关系 同步，存在着同步误差，使得数据分析的准 确性和精度受到影响。同步误差产生的原 因主要有以下几点： 1.微处理器的晶振频率不是无限大的，因 此采样周期Ts只能在定时器中以一个近 似的整数表示，这就产生了一定的舍入 误差，使得周期误差不为0。 2.电网电压和电流的频率是一直在波动 的，并不是一直恒定不变，信号周期T 以及采样周期Ts的设定只能按照前一 采样点数N 次所确定的值，在后一次测量中，T可 图3：，截断误差与采样点数N关系 能已经变化，但是Ts没有改变，这就使 得周期误差不为0。 当然上面提到的准确度等级是在未考 虑其他误差，如非均匀同步采样的误差等 均匀同步采样的好处在于，在满足采 的情况下得出，只是作为最基本误差的一 样定理的条件下，凭采样点能完全不失真 个参考。由于采样对象一般为工频电压信 地恢复波形，理论上没有采样算法误差。 号，因此频率只有50Hz。如果要达到0.1 但是由于理想的均匀同步采样很难实现， 的准确度等级，只需使AD的采样频率达 因此就会产生误差，对测量精度造成影响。 到3k左右即可，这对于目前的芯片发展程 本文不讨论不均匀采样造成的误差，仅讨 度来说，没有太大的问题。当然综合考虑 论非同步误差。下面就电压、电流有效值 成本的话，有些地方还会用N=12的12点 及功率平均值测量中非同步误差的影响做 采样法，此时截断误差就会对测量结果产 理论推导，并给出软件补偿方法的实现， 生一定影响了。 并假设采样间隔是均匀的。 显而易见，在设备允许条件下，尽量 首先分析电压有效值的测量。设被测 增加AD的采样频率，使每周期采样数N 电压信号为U(t)=Umsin@t,有效值为 提高，可以有效减小由于数值积分公式产 Um/V2 生的积分余项截断误差。 ,国标GB/T15945-1995规定电网频率在 3.3非均匀同步采样误差分析与降低方 [49.8,50.2]Hz之间波动，实际电压频率 法 为fx,f为理想频率50Hz,以采样频率f等 以下就非均匀同步采样误差的产生 间隔采样，一周内采样N点。设第一个采 与软件补偿分别作详细讨论。 样点在α处，最后一个采样点在2π+B处。 3.3.1非均匀同步采样误差的产生 若Q=B,则不存在同步误差：若≠B, 目前利用采样值分析、测量周期电信 则存在同步误差（弧度）为： 号的理论和算法大多是建立在均匀同步 采样基础上的。已知理想均匀同步采样满 △w=B-&=2fx(作-）= 足的条件是： (3-9) 2π（倍-1 (3-11) △T=tw-T=0 △T=ti+1-t=Ts (3-10) 2m+B-c_2π+△ (3-12) 式中：i=0,1,2,,N-1,N △T---一--周期误差 各瞬时采样点的位置（弧度）为： Ts----一-采样周期 ①stn=ωsn+pu T一一一一一一信号周期 (n=1,2,N) (3-13) 然而实际工程中采样很难实现理想的 式中：pu=C一ωs
图 3：. 截断误差与采样点数 N 关系 当然上面提到的准确度等级是在未考 虑其他误差，如非均匀同步采样的误差等 的情况下得出，只是作为最基本误差的一 个参考。由于采样对象一般为工频电压信 号，因此频率只有 50Hz。如果要达到 0.1 的准确度等级，只需使 AD 的采样频率达 到 3k 左右即可，这对于目前的芯片发展程 度来说，没有太大的问题。当然综合考虑 成本的话，有些地方还会用 N=12 的 12 点 采样法，此时截断误差就会对测量结果产 生一定影响了。 显而易见，在设备允许条件下，尽量 增加 AD 的采样频率，使每周期采样数 N 提高，可以有效减小由于数值积分公式产 生的积分余项截断误差。 3.3 非均匀同步采样误差分析与降低方 法 以下就非均匀同步采样误差的产生 与软件补偿分别作详细讨论。 3.3.1 非均匀同步采样误差的产生 目前利用采样值分析、测量周期电信 号的理论和算法大多是建立在均匀同步 采样基础上的。已知理想均匀同步采样满 足的条件是： ∆T = tN − T = 0 (3 − 9) ∆Ti = ti+1 − ti = Ts (3 − 10) 式中：i=0,1,2,….,N-1,N ∆T − − − − − −周期误差 Ts − − − − − −采样周期 T − − − − − −信号周期 然而实际工程中采样很难实现理想的 同步，存在着同步误差, 使得数据分析的准 确性和精度受到影响。同步误差产生的原 因主要有以下几点： 1. 微处理器的晶振频率不是无限大的，因 此采样周期Ts只能在定时器中以一个近 似的整数表示，这就产生了一定的舍入 误差，使得周期误差不为0。 2. 电网电压和电流的频率是一直在波动 的，并不是一直恒定不变，信号周期T 以及采 样周期Ts的设定只能按照前一 次所确定的值，在后一次测量中，T可 能已经变化，但是Ts没有改变，这就使 得周期误差不为0。 均匀同步采样的好处在于, 在满足采 样定理的条件下, 凭采样点能完全不失真 地恢复波形, 理论上没有采样算法误差。 但是由于理想的均匀同步采样很难实现， 因此就会产生误差，对测量精度造成影响。 本文不讨论不均匀采样造成的误差，仅讨 论非同步误差。下面就电压、电流有效值 及功率平均值测量中非同步误差的影响做 理论推导，并给出软件补偿方法的实现， 并假设采样间隔是均匀的。 首先分析电压有效值的测量。设被测 电压信号为U(t) = Umsinωt，有效值为 Um/√2 ,国标GB/T15945-1995规定电网频率在 [49.8,50.2]Hz之间波动，实际电压频率 为fx，f为理想频率50Hz，以采样频率fs等 间隔采样，一周内采样N点。设第一个采 样点在α处，最后一个采样点在2π + β处。 若α = β，则不存在同步误差；若α ≠ β， 则存在同步误差（弧度）为： ∆ω = β − α = 2πfx � 1 f − 1 fx � = 2π � fx f − 1� (3 − 11) ωs = 2π + β − α N = 2π + ∆ω N (3 − 12) 各瞬时采样点的位置（弧度）为： ωstn = ωsn + φu (n = 1,2 … . . ,N) (3 − 13) 式中：φu = α − ωs
电压在各点采样的瞬时值为： 代入式(3-16)得 u(n)=Um sin(@sn+u) (3-14) △0 在一个周期内求电压有效值： U'=U 2+cos(@s +Aw+2pu) u2(n) =1 △0 4π+2△ -cos(2a+Aw-ws) (3-18) 电压测量的绝对误差为： N △U=U'-U N sin2(@sn+u) △0 n=1 =-U 4π+2△ -Cos(2a+△w-ws) (3-19) N 1 相对误差为： 1- N cos(20sn +2pu) △U △0 n=1 ==-420 cos(2a+4 -0) (3-20) N △ω一般较小，N则较大，故ωs也较小，因此 Q《在45°附近时，有效值测量的同步误差最小。 由上述误差公式可知，工频电压的非 (3-15) 同步测量误差与被测信号的频率x、采样起 式中：Re为求实部，ei(2wsn+2pu)为一等比 始点相位角α和采样点数N有关。与电压类 级数，应用等比级数求和公式可得： 似，电流的有效值测量也存在同样的同步 误差问题，不再赘述。 U' 对于平均功率的测量，需要重新讨论 同步误差问题。 Um 1 sin(@sN) 、 N sin(@s) os(os+ωsN+2pu) 设被测信号为 u(t)=Um sin(@t+au) i(t)=Im sin(ot +au-p) 1sin(2m+△o U 1- N sin 2T+△oN c0s(@+wsN+20.式中p一为所测电压电流的功率因数角。 一周对电压电流等间隔采样N+1个点 N (N》1),设电压信号的起始点和终点分 别为au和2π+Bu,电流采样信号的起始 (3-16) 点和终点分别为cu一p和2T+B:,设周期误 由于电网电压频率波动范围并不大，一般 差为△ω=B。一Cu,各点电压电流采样的瞬 介于±02Hz,另外我们假定N足够大，故 时值可写为： △ωw一般比较小，利用极限公式 u(n)=Umsin(@s'n+pu) 1imx-0sinx=x和imx-0V1+x=1+芝， i(n)=Imsin(@s'n+ou-p) (n=l,2,…,N)(p=u-ωs) 易得： (3-21) 1sin(2π+△w)1 △0 平均功率的大小： 典n中 N2T+△@ N P=UmIm cos(p) (3-22) △o 实际测量功率的平均值： =2I+A (3-17) P=u(n)i(n)=
电压在各点采样的瞬时值为： u(n) = Um sin(ωsn + φu) (3 − 14) 在一个周期内求电压有效值： U′ = �1 N�u2(n) N n=1 = �Um 2 N �sin2(ωsn + φu) N n=1 = Um √2 �1 − 1 N�cos(2ωsn + 2φu) N n=1 = Um √2 �1 − 1 NRe ��ej(2ωsn+2φu) N n=1 � (3 − 15) 式中：Re为求实部，ej(2ωsn+2φu) 为一等比 级数，应用等比级数求和公式可得： U′ = Um √2 �1 − 1 N sin(ωsN) sin(ωs) cos(ωs + ωsN + 2φu) = U�1 − 1 N sin(2π + ∆ω) sin � 2π + ∆ω N � cos(ωs + ωsN + 2φu) (3 − 16) 由于电网电压频率波动范围并不大，一般 介于±0.2Hz, 另外我们假定N足够大，故 ∆ω一般比较小，利用极限公式 limx→0 sinx = x和limx→0 √1 + x = 1 + x 2 , 易得： lim ∆ω→0 1 N sin(2π + ∆ω) sin � 2π + ∆ω N � = 1 N ∆ω 2π + ∆ω N = ∆ω 2π + ∆ω (3 − 17) 代入式（3-16）得 U′ = U�1 − ∆ω 2π + ∆ω cos(ωs + ∆ω + 2φu) = U �1 − ∆ω 4π + 2∆ω cos(2α + ∆ω − ωs)� (3 − 18) 电压测量的绝对误差为： ∆U = U′ − U = −U ∆ω 4π + 2∆ω cos(2α + ∆ω − ωs) (3 − 19) 相对误差为： r = ∆U U = − ∆ω 4π + 2∆ω cos(2α + ∆ω − ωs) (3 − 20) ∆ω 一般较小，N 则较大，故ωs也较小，因此 α 在45° 附近时，有效值测量的同步误差最小。 由上述误差公式可知，工频电压的非 同步测量误差与被测信号的频率fx、采样起 始点相位角α 和采样点数 N有关。与电压类 似，电流的有效值测量也存在同样的同步 误差问题，不再赘述。 对于平均功率的测量，需要重新讨论 同步误差问题。 设被测信号为 u(t) = Um sin(ωt + αu) i(t) = Im sin(ωt + αu − φ) 式中φ—为所测电压电流的功率因数角。 一周对电压电流等间隔采样 N+1 个点 （N ≫ 1），设电压信号的起始点和终点分 别为αu 和 2π+βu ， 电流采样信号的起始 点和终点分别为αu − φ和 2π+βi，设周期误 差为∆ω=βu − αu，各点电压电流采样的瞬 时值可写为: u(n) = Umsin(ωs ∙ n + φu) i(n) = Imsin(ωs ∙ n + φu − φ) (n=1，2， ∙∙∙，N) (φ = αu − ωs) (3 − 21) 平均功率的大小： P = 1 2 UmIm cos(φ) (3 − 22) 实际测量功率的平均值： P‘ = 1 N ∑ u(n)i(n) = N n=1