土体中任意点的应力(莫尔应力圆) ●土体内部的滑动可沿任何一个面发生,只要该面上的剪应力等于它的抗剪强 度。所以,必须研究土体内任一微小单元的应力状态 在平面问题或轴对称问题中。取某一土体单元,若其大主应力σ1和小主应力 G3的大小和方向已知,则与大主应力而成α角的任一平面上的法向应力a和剪应 力τ可由力的平衡条件求得。 σ方向的静力平衡条件可得 o=+o3+9-0 cos 2a τ方向的静力平衡条件可得 sin 2a 2 消去上式中α,则可得到: (a-5+σ3 2-)+x2=(- ★可见在a~τ坐标平面上,土单 元的应力状态的轨迹将是一个圆, 该圆就称为莫尔应力圆。莫尔圆03 就表示土体中一点的应力状态, 莫尔圆圆周上各点的坐标就表示 discos a 该点在相应平面上的正应力和剪上中一点应力(微元体、隔离体、应力圆) 应力
土体中任意点的应力（莫尔应力圆） ●土体内部的滑动可沿任何一个面发生，只要该面上的剪应力等于它的抗剪强 度。所以，必须研究土体内任一微小单元的应力状态。 ●在平面问题或轴对称问题中。取某一土体单元，若其大主应力 1和小主应力 3的大小和方向已知，则与大主应力而成角的任一平面上的法向应力 和剪应 力τ可由力的平衡条件求得。 方向的静力平衡条件可得： τ方向的静力平衡条件可得： 消去上式中 ，则可得到： ★可见在 ~τ 坐标平面上，土单 元的应力状态的轨迹将是一个圆， 该圆就称为莫尔应力圆。莫尔圆 就表示土体中一点的应力状态， 莫尔圆圆周上各点的坐标就表示 该点在相应平面上的正应力和剪 应力。 cos 2 2 2 1 3 1 − 3 + + = sin 2 2 1 − 3 = 1 3 2 2 1 3 2 ) 2 ) ( 2 ( − + = + − 土中一点应力（微元体、隔离体、应力圆）
根据极限应力圆与抗剪强度包线相切的几何关系,可建立以下极限平衡条件 在土体中取一单元微体。m为破裂面,它与大主应力的作用面成c角。破裂面位于极 限平衡状态莫尔圆的A点。将抗剪强度线延长与σ轴相交于R点、由三角形ARD可知: AD= RD: 因 AD=(G1-03) 最大剪应力处 不发生破坏? RD=ccot (+-(o,+o3) 故 (G1-3)=cot+;(o1+o)sm 化简后得 1+sin 1+sin o 粘性土的极限平衡条件为: ot po o1=atn2(45°+9)+2ctn(45°+9 (01+a3) 3=aan2(45-)-2ctan4°-9 (b) 无粘性土(c=0)的极限平衡条件为:破裂角 a=45°+9 o1=a;tn2(45°+9) 说明破坏面与最大主应力a1的作用面的 夹角为(450+q2)。如前所述,土的抗剪强 σ3=a1tan2(45 度τ实际上取决于有效应力,所以,取有 0-0 sin gp 效摩擦角φ时才代表实际的破裂角
无粘性土（c=0）的极限平衡条件为： 根据极限应力圆与抗剪强度包线相切的几何关系，可建立以下极限平衡条件。 在土体中取一单元微体。mn为破裂面，它与大主应力的作用面成f角。破裂面位于极 限平衡状态莫尔圆的A点。将抗剪强度线延长与 轴相交于R点、由三角形ARD可知： 因 故 化简后得 粘性土的极限平衡条件为： ( ) 2 1 cot ( ) 2 1 sin 1 3 1 3 = + + = − = RD c AD AD RD ( )]sin 2 1 ( ) [ cot 2 1 1 − 3 = + 1 + 3 c 1 sin 1 sin 2 1 sin 1 sin 1 3 − + + − + = c ) 2 tan (45 ) 2 tan (45 2 3 1 2 1 3 = − = + o o ) 2 ) 2 tan(45 2 tan (45 ) 2 ) 2 tan(45 2 tan (45 2 3 1 2 1 3 = − − − = + + + o o o o c c 破裂角 说明破坏面与最大主应力 1的作用面的 夹角为（450＋ /2)。如前所述，土的抗剪强 度τf 实际上取决于有效应力，所以， 取有 效摩擦角´时才代表实际的破裂角。 2 45 = + o f 最大剪应力处 不发生破坏？ 1 3 1 3 sin + − =