华东师大版八年级数学下册全册教案 第17章分式 §17.1.1分式的概念 教学目标 1、经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定 凊况的条件,渗透数学中的类比,分类等数学思想。 教学重点 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件 教学难点: 能通过回忆分数的意义,探索分式的意义。 教学过程: 做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为米 (2)面积为S平方米的长方形一边长a米,则它的另一边长为 米 (3)一箱苹果售价p元,总重m千克,箱重n千克,则每千克苹果的售价是元; 二、概括 形如(A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子,叫做分式.其中A 叫做分式的分子,B叫做分式的分母 整式, 整式和分式统称有理式,即有理式分式 三、例题: 例1下列各有理式中,哪些是整式?哪些是分式? (2) (3) (4) y 解:属于整式的有:(2)、(4);属于分式的有:(1)、(3) 注意:在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没有意义 例如,在分式二中,a≠0;在分式一中,m≠n 例2当x取什么值时,下列分式有意义? 分析要使分式有意义,必须且只须分母不等于零 解(1)分母x-1≠0,即x≠1 所以,当x≠1时,分式1有意义
- 1 - 华东师大版八年级数学下册全册教案 第 17 章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标： 1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定 情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做 （1）面积为 2 平方米的长方形一边长 3 米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为 S 平方米的长方形一边长 a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如 B A (A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式， 分 式 . 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1 ； （2） 2 x ； （3） x y xy + 2 ； （4） 3 3x − y . 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义. 例如，在分式 a S 中，a≠0；在分式 m − n 9 中，m≠n. 例2 当 x 取什么值时，下列分式有意义？ （1） 1 1 x－ ； （2） 2 3 2 + − x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母 x－1 ≠0，即 x ≠1. 所以，当 x ≠1 时，分式 1 1 x－ 有意义
(2)分母2x+3≠0,即x≠-2 所以,当x≠-3 时,分式有意义 四、练习: P5习题17.1第3题(1)(3) 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 7 9 2.当x取何值时,下列分式有意义? (2)2+5 (3) x=5 (1) 3.当x为何值时,分式的值为0? x2-1 x+7 五、小结: 什么是分式?什么是有理式? §17.1.2分式的基本性质 教学目标 1、掌握分式的基本性质,掌握分式约分方法,熟练进行约分,并了解最简 分式的意义。 2、使学生理解分式通分的意义,掌握分式通分的方法及步骤 教学重点 让学生知道约分、通分的依据和作用,学会分式约分与通分的方法 教学难点: 1、分子、分母是多项式的分式约分; 2、几个分式最简公分母的确定 教学过程: 1、分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变 用式子表示是: A AxM A A÷M BBxM'BB÷M (其中M是不等于零的整式)。 与分数类似,根据分式的基本性质,可以对分式进行约分和通分 2、例3约分 (1) (2) 20xy2 x2-4x+4 分析分式的约分,即要求把分子与分母的公因式约去为此,首先要找出 分子与分母的公因式 解(1)-16xy2=-4xy34x=-4x.(2)-x2-4=(x+2Xx-2)
- 2 - （2）分母 2 x + 3 ≠0，即 x ≠- 2 3 . 所以，当 x ≠- 2 3 时，分式 2 3 2 + − x x 有意义. 四、练习： P5 习题 17.1 第 3 题（1）（3） 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 20 9 + y , 5 m − 4 , 2 8 3 y y − ， 9 1 x − 2. 当 x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当 x 为何值时，分式的值为 0？ （1） （2） (3) 五、小结： 什么是分式？什么是有理式？ §17.1.2 分式的基本性质 教学目标： 1、掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简 分式的意义。 2、使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤。 教学重点： 让学生知道约分、通分的依据和作用，学会分式约分与通分的方法。 教学难点： 1、分子、分母是多项式的分式约分； 2、几个分式最简公分母的确定。 教学过程：http://www.x kb1.com 1、分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是： B M A M B A B M A M B A = = , （ 其中 M 是不等于零的整式）。 与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分. 2、例 3 约分 （1） 4 2 3 20 16 xy − x y ； （2） 4 4 4 2 2 − + − x x x 分析 分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出 分子与分母的公因式. 解（1） 4 2 3 20 16 xy − x y ＝－ xy y xy x 4 5 4 4 3 3 ＝－ y x 5 4 . （2） 4 4 4 2 2 − + − x x x ＝ 2 ( 2) ( 2)( 2) − + − x x x ＝ 2 2 − + x x . 4 2 5 2 − − x x x x 3 2 5 − + 2 3 x + x x 5 + 7 x x 21 3 7 − x x x − − 2 2 1
约分后,分子与分母不再有公因式分子与分母没有公因式称为最简分式 3、练习:P5练习第1题:约分(1)(3) 4、例4通分 (1) (2) (3) -b ab x-y x+y 解(1)与一2的最简公分母为a2b2,所以 1·b 2b b (2)_1与_1的最简公分母为(xy)(x+y,即x2-y2,所以 x x十 y(x-y(x+y x+y (x+y(x-y) x-y 请同学们根据这两小题的解法,完成第(3)小题。 5、练习P5练习第2题:通分新课标第 6、小结:(1)请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质 (2)分式的约分运算,用到了哪些知识? 让学生发表,互相补充,归结为:①因式分解;②分式基本性质:③分 式中符号变换规律;约分的结果是,一般要求分、分母不含“一” (3)把几个异分母的分式,分别化成与原来分式相等的同分母的分式, 叫做分式的通分。分式通分,是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的 整式,根据分式基本性质,通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定 几个分式的公分母,从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整 式”,才能化成同一分母。确定公分母的方法,通常是取各分母所有因式的 最高次幂的积做公分母,这样的公分母叫做最简公分母。 §17.2分式的运算 §17.2.1分式的乘除法 教学目标 Ⅰ、让学生通过实践总结分式的乘除法,并能较熟练地进行式的乘除法运算。 2、使学生理解分式乘方的原理,掌握乘方的规律,并能运用乘方规律进行 分式的乘方运算 3、引导学生通过分析、归纳,培养学生用类比的方法探索新知识的能力 教学重点 分式的乘除法、乘方运算 教学难点 分式的乘除法、混合运算,以及分式乘法,除法、乘方运算中符号的确定。 教学过程: 、复习与情境导入
- 3 - 约分后，分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式 ．．．．. 3、练习：P5 练习 第 1 题：约分（1）（3） 4、例 4 通分 （1） a b 2 1 ， 2 1 ab ； （2） x − y 1 ， x + y 1 ； （3） 2 2 1 x − y ， x + xy 2 1 解 （1） a b 2 1 与 2 1 ab 的最简公分母为 a 2b 2，所以 a b 2 1 ＝ a b b b 2 1 ＝ 2 2 a b b ， 2 1 ab ＝ ab a a 2 1 ＝ 2 2 a b a . （2） x − y 1 与 x + y 1 的最简公分母为（x-y）(x+y)，即 x 2－y 2，所以 x − y 1 ＝ ( )( ) 1 x y x y x y − + （ + ） ＝ 2 2 x y x y − + ， x + y 1 ＝ ( )( ) 1 ( ) x y x y x y + − − ＝ 2 2 x y x y − − . 请同学们根据这两小题的解法，完成第（3）小题。 5、练习 P5 练习 第 2 题：通分新 课 标第 一 网 6、小结：（1）请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质； （2）分式的约分运算，用到了哪些知识？ 让学生发表，互相补充，归结为：①因式分解；②分式基本性质；③分 式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分、分母不含“－”。 （3）把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式， 叫做分式的通分。分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的 整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定 几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整 式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的 最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 §17.2 分式的运算 §17.2.1 分式的乘除法 教学目标： 1、让学生通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行式的乘除法运算。 2、使学生理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行 分式的乘方运算 3、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力 教学重点： 分式的乘除法、乘方运算 教学难点： 分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定。 教学过程： 一、复习与情境导入
1、(1):什么叫做分式的约分?约分的根据是什么?新课 (2):下列各式是否正确?为什么? ①2“x y =0 十 . a+b b a-b a-b x+y 又+ 2、尝试探究:计算 回忆:如何计算5x9、5:3? (1) (2) 6 b2b从中可以得到什么启示 概括:分式乘分式,用分子的积作为积的分子 ac 分母的积作为积的分母如果得到的不是最简分式, 应该通过约分进行化简 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置aca.dad 后,与被除式相乘.(用式子表示如右图所示) 例题 d b c bc 例1计算 y by b b2+5 解(1) a y2 =ry b2x2 by bx bybx b b2-2b2x2b2 例2计算 +3 解原式=x-2.(x+3x-3)x-3 +3(x+2x-2) 三、练习:P7第1题 、思考 怎样进行分式的乘方呢?试计算 (1)() (2)()k(k是正整数) (2)() ●n·:·n m m m(m·m·…·n 仔细观察所得的结果,试总结出分式乘方的法则 五、小结 l、怎样进行分式的乘除法?
- 4 - 1、(1) ：什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？新 课 标 第 一 网 (2)：下列各式是否正确？为什么？ 2、尝试探究：计算： （1） a b b a 3 2 2 3 2 ； （2） b a b a 2 3 2 . 概括：分式乘分式，用分子的积作为积的分子， 分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式， 应该通过约分进行化简. 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置 后，与被除式相乘.（用式子表示如右图所示） 二、例题： 例 1 计算： （1） b x ay by a x 2 2 2 2 ； （2） 2 2 2 2 2 2 b x a yz b z a xy . 解 （1） b x ay by a x 2 2 2 2 = by b x a x ay 2 2 2 2 = 3 3 b a . （2） 2 2 2 2 2 2 b x a yz b z a xy = a yz b x b z a xy 2 2 2 2 2 2 = 3 3 z x . 例 2 计算： 4 9 3 2 2 2 − − + − x x x x . 解 原式＝ ( 2)( 2) ( 3)( 3) 3 2 + − + − + − x x x x x x ＝ 2 3 + − x x . 三、练习：P7 第 1 题 四、思考 怎样进行分式的乘方呢？试计算： （1）（ m n ）3 （2）（ m n ）k （k 是正整数） （1）（ m n ）3 = m n m n m n ＝ ( ) (m m m ) n n n • • • • ＝________； （2）（ m n ）k = k个 m n m n m n ＝ ( ) (m m m ) n n n • • • • • • ＝___________. 仔细观察所得的结果，试总结出分式乘方的法则. 五、小结： 1、怎样进行分式的乘除法？ 回忆：如何计算 10 9 6 5 、 4 3 6 5 ？ 从中可以得到什么启示
2、怎样进行分式的乘方? §17.2.2分式的加减法 教学目标 1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减,能熟练地进行同分母,异分母 分式的加减运算。 2、通过同分母、异分母分式的加减运算,复习整式的加减运算、多项式去 括号法则以及分式通分,培养学生分式运算的能力。 3、渗透类比、化归数学思想方法,培养学生的能力 教学重点 让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法 教学难点 分式的分子是多项式的分式减法的符号法则,去括号法则应用 教学过程 、实践与探索 1、回忆:同分母的分数的加减法法则 同分母的分数相加减,分母不变,把分子相加减 计算:(1)b,2.(2) 回忆:如何计算 从中可以得到什么启示? 3、总结一下怎样进行分式的加减法? 概括 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减 异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减 、例题 1、例3计算 (x+y)2(x- 2、例4计算: 分析这里两个加项的分母不同,要先通分为此,先找出它们的最简公分母 注意到x2-16=(x+4(x-4),所以最简公分母是(x+4)x-4 16 3(x+4) 3(x+4)-24 x-4(x+4)(x-4)(x+4)(x-4)(x+4)(x 3x-12 -4)(x+4)x-4)x+4 三、练习:P9第1题(1)(3)、第2题(1)(3) 四、小结
- 5 - 回忆：如何计算 5 2 5 1 + 、 6 1 4 1 + ， 从中可以得到什么启示？ 2、怎样进行分式的乘方？ §17.2.2 分式的加减法 教学目标： 1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母 分式的加减运算。 2、通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去 括号法则以及分式通分，培养学生分式运算的能力。 3、渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力。 教学重点： 让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。 教学难点： 分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。 教学过程： 一、实践与探索 1、回忆：同分母的分数的加减法法则： 同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减。 2、试一试： 计算：（1） a a b 2 + ；（2） a ab 2 3 2 − 3、总结一下怎样进行分式的加减法？ 概括 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 二、例题 1、例 3 计算： xy x y xy x y 2 2 ( ) ( − ) − + 2、例 4 计算： 16 24 4 3 2 − − x − x . 分析．． 这里两个加项的分母不同，要先通分.为此，先找出它们的最简公分母. 注意到 16 2 x − = (x + 4)(x − 4),所以最简公分母是 (x + 4)(x − 4) 解 16 24 4 3 2 − − x − x ＝ ( 4)( 4) 24 4 3 + − − x − x x ＝ ( 4)( 4) 24 ( 4)( 4) 3( 4) + − − + − + x x x x x ＝ ( 4)( 4) 3( 4) 24 + − + − x x x ＝ ( 4)( 4) 3 12 + − − x x x ＝ ( 4)( 4) 3( 4) + − − x x x ＝ 4 3 x + 三、练习：P9 第 1 题（1）（3）、第 2 题（1）（3） 四、小结：