一种新的断裂表面分形测量方法

D0I:10.13374/j.isn1001-053x.1999.01.002 第21卷第1期 北京科技大学学报 VoL21 No.1 1999年2月 Journal of University of Science and Technlogy Beijing Feb.1999 一种新的断裂表面分形测量方法 王金安) 谢和平2)田晓燕2)Kwasniewsk M A) 1)北京科技大学资源工程学院，北京1000832)中国矿业大学，北京1000833)Silesian Technical University,Poland 摘要为了克服粗糙表面分形测量的困难，提出一种新的测量方法一投影覆盖法(Projective Covering Method),结合激光表面测量技术，直接测定断裂表面的分形维数D,E[2,3).用分形理论 证明，应用该方法进行分形测量的精确性， 关键词投影覆盖法；断裂表面；分形维数 分类号TU45 多年来，粗糙断裂表面主要用磨擦学和接触 法、网格覆盖法、小岛法(SD、频谱法和差变量分 力学中的统计参数进行描述，根据测量对象的类 析方法等依据剖面测量结果对粗糙表面进行分 型特征，这些参数可以分成3类：(1)表面粗糙体 形描述.这些方法测定的分形维数DE[1,2),实 的高度参数；(2)表面粗糙体距离参数；(3)表面粗 测研究表明，由于表面结构的各向异性和奇异 糙体相关高度与距离的复合参数.这些参数不仅 性，在断裂表面上取不同位置和不同方向剖面的 十分繁杂，而且受尺度影响，即，所测量的粗糙性 分形维数有较大的差别.可见，剖面的间接分形 参数取决于试样的长度、测点间距和测量仪器的 测量至少存在两方面问题：(1)断裂表面粗糙性是 分辨率.自从Mandelbrot B B创建分形几何理 否可以用剖面测量结果近似描述；(2)究竞在断裂 论以来，许多研究者尝试运用分形几何方法描述 表面上哪个位置和沿哪个方向取剖面可以作为 和刻划断裂表面粗糙度2~).分形几何可以对不 参照尚无定论， 规则形状的物体，或具有不规则分布的物理量和 为寻求合适的解决办法，本文提出一种 自然现象加以定量描述.分形几何在数学上表示 新的分形测量方法一投影覆盖法(Projective 成自相似和自仿射特性，亦即当分形体被放大 Covering Method)直接测量断裂表面的分形维数 时，可观察到更多和更精细的结构.分形维数则 D,∈[2,3)，并且通过理论证明，这种分形测量方 定量地描述几何结构的不规则程度， 法对断裂表面粗糙度的定量描述是合理和正确 事实上，自然断裂表面一般不具备自相似分 的 形性质6，即便对同一断裂面，若采用不同的分维 定义，分形测量技术和尺度参数都可能产生不同 1投影覆盖法 的分形测量结果.正因为如此，在近年来的一些 覆盖法是分形测量中最常见的方法.它不但 文献中经常可以看到相互矛盾的结果和报道.一 适合简单分形，同样也适合复杂分形.然而，它似 般认为，表面越粗糙，分形维数越大.但应当指 乎难以对粗糙表面进行覆盖.所以，许多研究将 出，分形维数与断裂表面粗糙度之间的直接关系 是有条件的，其中包括测量参数（试件尺寸，测点 粗糙表面的真实维数D∈[2,3)用剖面测量的分 形维数(1<D<2)近似地替代.本文提出的投影覆 间距)，仪器分辨率和测量方法，任何关于粗糙表 盖法（图1）可以直接测量断裂表面的真实分形维 面是否存在分形性的结论以及无条件地将断裂 表面视为分形结构进行分形描述的做法应慎重. 数D∈[2,3). 图I(a)中的符号A和B分别表示真实断裂 然而，关键的问题是，真实断裂表面是在极 不规则的面上扩展，通常很难对粗糙表面进行直 表面和覆盖该表面的投影网格，当选择第k次细 接测量.因此，许多研究采用间接方法，如尺码 划尺寸为6×d的矩形方格abcd(a,b,c和d是该 1998-01-15收稿王金安男，39岁，副教授，博士 方格的四个角点)时，对应a,b,c和d点的粗糙表 *国家教委回国人员科研资助项目，中波国际合作(No.26304) 面高度是h,h,h,和h(图1(b).投影网格

第 2 1卷 1 9 9 9年 第 l期 2月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u r n a l o f Un i v e r s ity o f S e i e n e e a n d T e e h n l o gy B e ji ni g V 0 L 2 1 F e b - N.o 1 1 9 9 9 一种 新的断裂表面分形测量方法 王金安 ` ) 谢和 平 2 ) 田 晓 燕 2 ) 犬神a s n i e ws 无 材 注3 ) l )北京科技大学 资源 工程学 院 , 北京 10 00 8 3 2 ) 中 国矿业大学 , 北京 l 0 0() 8 3 3 ) S i l e s ian 介 c bn i c ia U ivn esr iyt , P o lan d 摘 要 为 了克服粗糙 表面 分形测 量的困 难 , 提 出一种新 的测 量方法— 投影授盖法 (P orj ce it ve C vo er ins M het od ) , 结合激 光表 面测量技术 , 直接测定断裂表面的分 形维数 D s 任2[ , 3) · 用分形理论 证 明 , 应用该方法进行分形测量的精确性 . 关键词 投影覆 盖法 ; 断裂表面 ; 分形维数 分类号 T U 4 5 多 年来 , 粗糙 断 裂 表 面主 要 用磨 擦 学和 接 触 力 学 中的 统计参数进 行 描 述 . 根 据测 量 对象 的类 型 特 征 , 这 些 参数可 以 分 成 3 类 : (l )表 面 粗 糙 体 的高度 参致 ; (2) 表 面 粗糙 体 距 离 参数 ; (3) 表 面 棒 糙 体相 关 高 度 与距离的复 合参数 . 这些 参数不 仅 十分 繁杂 , 而 且 受 尺度 影 响 , 即 , 所测 量 的 粗糙 性 参数取决 于 试 样 的 长度 、 测 点 间距 和测 量 仪器 的 分 辨 率 . 自从 M an d e lb r o t B B I ’ ]创建 分形几 何理 论 以 来 , 许多研 究 者 尝试 运 用分 形 几何 方 法 描述 和 刻 划 断 裂 表 面粗 糙 度卜 5] . 分 形 几 何 可 以 对不 规则 形状 的物 体 , 或具 有 不 规则分 布 的物 理 量和 自然 现 象 加 以 定 量 描述 . 分 形 几何 在 数学 上 表示 成 自相 似 和 自仿 射特 性 , 亦 即 当分 形 体被 放 大 时 , 可 观察 到 更 多 和更 精 细 的 结 构 . 分 形 维 数则 定量 地描 述几何结 构的不规则程 度 . 事 实上 , 自然 断裂 表 面 一般 不具 备 自相 似 分 形性 质6[] , 即便 对 同一 断裂面 , 若 采用 不 同的分 维 - 定义 , 分 形测 量 技术 和 尺度 参数 都 可能 产生 不 同 的 分 形 测 量 结果 . 正 因 为 如 此 , 在 近 年 来 的 一 些 文献 中经 常 可 以 看 到 相互 矛 盾 的结 果 和报 道 一 般 认 为 , 表 面 越 粗 糙 , 分 形 维 数 越 大 . 但 应 当指 出 , 分形 维 数 与断 裂表 面 粗糙 度 之 间的 直接 关系 是 有 条件 的 , 其 中包括 测 量 参数 (试 件 尺寸 , 测 点 间距 ) , 仪器分辨 率和 测量 方法 . 任 何关 于粗糙 表 面 是 否 存 在 分形 性 的结 论 以 及 无 条 件 地 将断 裂 表 面视 为分 形结 构进 行分形描 述 的做法应 慎 重 . 然 而 , 关 键的 问题 是 , 真 实 断裂 表 面 是 在 极 不规则 的 面上 扩 展 , 通 常很 难 对粗糙 表 面进 行 直 接 测 量 . 因 此 , 许 多 研 究 采 用 间 接 方 法 , 如 尺 码 法 、 网 格覆 盖 法 、 小 岛法 (s D 、 频 谱法 和 差 变量 分 析 方 法 等 依据 剖 面 测量 结果 对粗糙 表 面 进行分 形 描 述 . 这 些 方法 测 定 的分形 维 数 D e 【1 , 2) . 实 测 研 究 表 明v1[ , 由于 表 面结 构的各 向异 性 和 奇 异 性 , 在 断裂 表 面上取 不同位置和 不 同方向 剖面 的 分 形 维数 有 较 大 的差 别 . 可 见 , 剖 面 的 间 接 分 形 测 量 至少存在两 方面 问题 : l( ) 断裂表 面粗糙性是 否 可 以 用 剖面测量 结果近似描述 ; (2 )究竟在 断裂 表 面 上 哪个 位 置和 沿 哪个 方 向取 剖 面可 以 作 为 参照尚无定论 . 为 寻 求合 适 的 解 决 办 法 , 本 文 提 出 一 种 新 的 分 形 测 量 方 法 — 投 影 覆 盖 法 (P ojr e it ve oC ve inr g M e ht do )直接测量 断裂 表面 的分形 维 数 D , 以 2 , 3), 并 且 通过 理 论证 明 , 这 种 分形 测 量 方 法 对断 裂 表 面粗糙 度 的定 量描述 是 合理和 正 确 的 . 19 98 一 l 一 巧 收稿 王 金 安 男 , 39 岁 , 副教授 , 博 士 * 国家教 委回 国 人员科研资助 项 目 , 中波 国际 合作 (N 众2 63 一 4) 1 投影覆盖法 覆 盖 法 是 分 形测 量 中最 常 见 的方 法 . 它 不 但 适 合简单分形 , 同样也 适合复杂分形 . 然而 , 它 似 乎 难 以对粗 糙 表 面进 行 覆 盖 . 所 以 , 许多 研 究 将 粗 糙 表 面 的真实 维 数 D s 以2 , 3) 用 剖 面 测 量 的 分 形 维 数 (l D< 2< )近 似 地替代 . 本文提 出 的投 影 覆 盖 法 ( 图 l) 可 以 直接 测量 断裂表 面 的真实 分形 维 数 D s 〔 [ 2 , 3 ) · 图 1 ( a) 中 的符 号 A 和 B 分 别 表示 真 实 断裂 表 面 和 覆盖 该 表 面 的投 影 网格 . 当选 择第 k 次细 划 尺 寸 为d 火 d 的矩形 方 格 a cb d( “ , b , c 和 J 是 该 方 格 的 四个 角点 ) 时 , 对应 a , b , c 和 d点 的粗糙表 面 高度 是 h ak , 气 * , h *’c 和 h dk ( 图 1(b ) ) · 投 影 网 格 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1999. 01. 002

Vol.21 No.1 上金安等：一种新的晰裂表面分形测量方法 ·7· abcd所包围的粗糙表面面积可以近似地通过下 A(6)c62-b (6) 式计算： 式中，D。是粗糙表面的真实分形维数.与尺码法 A,(⊙)(1/2)82+(h-h]262+(h-h)门12+ 不同的是，投影覆盖法用尺寸为6×δ的投影网 [62+(h4-h)]12[62+(hk-h)T2}() 格覆盖断裂表面，这样，可直接测定粗糙表面的 真实分形维数D、E[2,3). (a) 2断裂表面的直接分形测量 直接测定断裂表面分形维数，首先要考虑采 用何种测量技术.目前，对粗糙表面的测量技术 大致可分为机械式和光学式2种，为避免机械探 针沿粗糙表面作滑行测量时划伤表面并引起测 量误差，本研究应用无接触式激光表面测量仪对 断裂表面进行扫描测量4刀.按照三角反射原理， 由激光源发射的光束射在断裂表面上形成！个微 (b) 小的光点，部分光束按一定的角度从测量表面反 射到光敏传感器(PSD),当光源与测量表面的距 离发生变化时，反射光将照在PSD的不同位置， 光电数字转换器将同时产生与测距成比例的电 以哭 子信号，这样，可以测量出粗糙表面的起伏.本研 究所用的激光扫描仪量程30cm,测量精度±7μ m,分辨率7.5μm 图2是应用激光表面测量仪测出的砂岩剪切 图1投影覆盖法 断裂表面形态.在20mm×20mm的测量区域内， 有81条扫描线，6561个测点，测点间距0.25 第k次测量尺度下测得的整个粗糙表面面积 mm.根据投影覆盖法，断裂表面的分形维数Ds 为： 可以通过A,(ò)-6双对数曲线斜率直接确定，即： N(O) A,(⊙)=∑A,(⊙) (2) D=2-B(图3). k= 式中，W(6)是需要尺寸为6×6的格子去覆盖粗 糙表面的总数目，显然，粗糙表面的总面积A(ò) 取决于测量尺寸δ，6越小，测量到的A(⊙)越大： 当60，A,(6)则是通近该粗糙表面的真实面积. 由分形理论可知，一个分形体在E维欧氏空 间的测度一般可以表示成： G(6)=G85-D (3) 式中，E表示欧氏维数.该式可以用于测量分形曲 线、面积和体积.例如，如果E=1,G和δ则对应 图2激光扫描测量的岩石断裂表面 于分形曲线，此时，公式(3)写成： 如图3所示，岩石断裂表面不具有严格自相 L(⑥)=L.δ'-D (4) 似分形性质，不同尺度6下的对数分段线性表明 同理，如果E=2,式(3)中的G和6对应于分 断裂面粗糙性呈多尺度分形特征.断裂表面的分 形面积，公式(3)则可写成： 形维数取决于投影覆盖测量网格尺度δ，即δ越 A()=A62-D (5) 小，测得的分维越大；反之，6越大，分维越小.断 式中，A是粗糙表面的直观面积.由式(2)和(5)， 裂表面的分形尺度效应显示，断裂表面可能具有 有如下关系： 多重分形性质，有关这方面的研究将另文讨论

V o l . ZI N O . l I 金 安等 : 一种新 的 断裂 表面分形 测 量 方法 ab c d 所 包 围的 粗 糙 表 面 面 积 可 以 近 似 地 通 过 下 式 计算 : A * (d ) 一 ( l / 2) 王[d , + ( h 。 * 一 h* ) 2 ] “ 2 [占, + (h * 一 h 。 * ) , ] ’ ` ’ + [d , + ( h 。 *一 h 。* ) , ] ’ ` ’ [d , + (h 。* 一 h * ) , ] ’ ` ’ } ( l ) A T ( d ) OC d , 一 D S ( 6 ) 式 中 , D , 是 粗 糙 表 面 的真实 分 形 维 数 . 与 尺 码 法 不 同 的是 , 投 影 覆 盖 法 用 尺 寸 为 d x d 的投 影 网 格 覆 盖 断 裂 表 面 , 这样 , 可 直 接 测定 粗糙 表 面 的 真实 分形 维数 D s ` 2[ , 3) . 2 断裂表面的直接分形测量 图l 投影覆盖 法 第 k 次测 量尺 度下 测得 的整 个粗糙 表面 面 积 A · (d ) 一 *菩 土 A * (。) (2 ) 直 接测 定 断裂 表 面分 形 维数 , 首 先要 考 虑 采 用何种 测 量 技 术 . 目 前 , 对粗 糙 表 面 的 测 量 技 术 大致 可分 为 机 械式 和 光学 式 2 种 . 为避 免 机械 探 针沿 粗 糙 表 面 作 滑 行 测 量 时 划 伤 表 面 并 引起 测 量误 差 , 本研 究 应 用无 接 触式 激 光 表 面测 量 仪 对 断 裂表 面 进行 扫 描 测 量 14, 7〕 . 按 照 三 角反 射 原 理 , 由激光 源 发射 的光束 射在 断裂 表 面上形 成 1 个 微 小 的光点 , 部 分 光束 按 一 定 的角 度 从 测量 表 面反 射到 光 敏 传感 器 ( P S D ) , 当光 源 与 测 量 表 面 的距 离 发生 变 化 时 , 反 射 光 将 照在 P S D 的不 同位 置 , 光 电数 字 转 换 器 将 同时 产 生 与测 距 成 比 例 的 电 子 信 号 , 这样 , 可以 测 量 出粗糙 表面 的起 伏 . 本研 究 所 用 的激 光 扫描 仪量 程 3 0 c m , 测量 精 度 士 7 卜 m , 分 辨 率 7 . 5 协m 图 2 是 应用激 光表 面测 量仪 测 出的砂 岩剪 切 断 裂表 面 形 态 . 在 2 0 m m x 2 0 m m 的测 量 区 域 内 , 有 81 条 扫 描 线 , 6 56 1 个 测 点 , 测 点 间 距 .0 25 m m . 根 据 投 影 覆 盖 法 , 断 裂 表 面 的 分 形 维 数 D s 可 以 通过 A T (d )才 双对 数 曲线斜率 直 接确定 , 即 : D 、 一 2 一 口( 图 3 ) · 式 中 , N( d ) 是 需 要 尺 寸 为d x d 的格 子 去 覆盖 粗 糙 表面 的总 数 目 . 显 然 , 粗糙 表 面 的总 面积 人 (d ) 取决 于 测量 尺寸占 , 6 越 小 , 测 量 到的 A T (d )越 大 ; 当 。。 0 , 杏(d )则是 逼 近该粗糙 表 面 的真实 面 积 . 由分 形理 论可 知 , 一个 分 形体 在 E 维 欧 氏空 间的测度一般 可 以表 示成 l8] : G (d ) 一 G o d E 一 ” (3 ) 式 中 , E 表示欧 氏维数 . 该式 可 以 用于 测 量分形 曲 线 、 面积 和 体积 . 例 如 , 如 果 E = 1 , G 和d 则 对 应 于分形 曲线 , 此时 , 公式 ( 3) 写成 : L (d ) = L o d , 一 ” ( 4 ) 同理 , 如果 E 二 2 , 式 ( 3) 中 的 G 和d 对应于 分 形 面积 , 公式 (3 )则可写成 : A T (d ) = A T d , 一 ” S ( 5 ) 式 中 , A : 是粗 糙 表面 的直观 面积 · 由式 (2) 和 (5) , 有如 下关 系 : 图2 激光扫描测最 的岩石断裂表面 如 图 3 所示 , 岩 石 断 裂表 面 不具 有 严 格 自相 似 分 形性 质 . 不 同尺 度 d 下 的对数 分段 线 性 表 明 断 裂 面粗糙 性 呈 多 尺度 分 形 特征 . 断 裂 表 面的 分 形 维 数 取 决 于 投影 覆 盖测 量 网格 尺 度 d , 即d 越 小 , 测 得 的分 维越 大 ; 反 之 , j 越 大 , 分 维 越 小 . 断 裂 表面 的分 形 尺度 效应 显 示 , 断裂 表 面 可能具有 多重 分形 性质 , 有关 这方 面 的研 究 将 另文讨 论

8· 北京科技大学学报 1999年第1期 0.05 于所有8≤6。，E可以被边长为6的N,(E)≤6'个 区段覆盖.同理，F可以被N(E)≤6个区段覆 0.04 盖.因此，E×F由这些边长为6区段之积 Dg=2.0366311 ⊙ 0.03 即N(E)N(F个方格覆盖.由于s<dimE和t> dimF,所以有： 0.02 N,(E×F)=6 -dim(EP=N,(回×N,(F8≤d'6'= 6-6+0 (10) 0.01 Dg=2.0130678 选择s等于dimE和t等于dimF,式(I0)中 0.00 山 的等式成立， -2.0 -1.5-1.0-0.5 0.0 例如，图5所示的Koch分形曲面是由Koch logo 曲线和与之垂直的直线段直积构造而成，直线的 图3面积与尺码的双对数曲线 ‘分形'维数是1，Koch曲线的分维D=1.2619 3与剖面分形测量的比较 根据式(10)，Koch分形曲面的分形维数是Ds =1+1.2619=2.2619. 为验证投影覆盖法，对相同断裂表面应用尺 码法式(4)分别测量沿x和y方向剖面的分形维 数，这样测定的剖面分形维数DE[1,2),为便于比 较投影覆盖法分形测量与剖面分形测量结果，先 讨论分形巢在笛卡尔坐标系下的直积结果， 设E是R空间的子集，F是R”空间的子集， 在笛卡尔坐标系下直积E×F定义为第1坐标在 E上，第2坐标在F上的点集，即 图5Koch分形曲面 ExF={(x,y)ER"+m:xEE,yEF)(7) 对于断裂表面，不同位置的剖面、不同方向 因此，如果E是在R空间的单位长度，F是在 的剖面上的粗糙性各不相同).为明确起见，在 R空间的单位长度，则E×F是在R3空间的单位 断裂表面内用尺码法分别沿相互垂直的x和y方 面积如图4.此种情况下用经典维数定义，明显地 向测量断裂剖面的分形维数，即. 有： L)=L31-o,,⑤)=L,d1-(I1) dim (EX F)=dim E+dim F (8) 这里，L,(6)和L,(⑥)分别是在尺度6下沿x和y方 向测量的断裂剖面长度，D,和D,是相应方向剖 R F 面的分形维数. 为比较直接投影覆盖法和剖面尺码法分形 EXF 测量结果，依据剖面分维测量得出的粗糙表面分 形维数由下式计算： D,克0，+) (12) 其中D,和D,分别是81个在x和y方向剖面 R 的分维平均值；D,(=D+D,)是粗糙表面内所有被 图4R空间单位长度与R空间单位长度直积 测量剖面的分维平均值.图6中的D、是用直接投 这个结果通常在‘光滑'情况下成立，其中E 影覆盖法测量的断裂表面分形维数.事实上，通 和F可以是光滑的曲线、表面或高维数的多边 过平均各剖面分维得到的分形维数D,反映的是 体.然而，式(8)对‘分形'维数并不总是成立 断裂表面的一种分形统计规律.通过比较，可以 的.对于分形维数，更一般的结果是不等式： 看出D。≤D。·如图所示，对于较平坦的断裂表 dim(E×F凡s dim E+dimF (9) 面，D,略小于D,,然而，Ds和D,的差异随表面 为了简明起见，取ECR,FCR.选择数s> 粗糙性的增加而增大.2种分形测量结果的关系 dimE和t>dimF,则存在1个6。>0的数，使得对 可由下式表述：

北 京 科 技 大 学 学 报 1 9 9 9 年 第1 期 0 . 5 0 0. 04 0 . 3 0 0 . 0 2 于所 有占` d 。 , E 可 以被 边 长 为占的 凡 (E ) ` 夕个 区 段 覆 盖 · 同 理 , F 可 以 被 凡 (E ) ` 涅 个 区段覆 盖 . 因 此 , E x F 由 这 些 边 长 为 d 区 段 之 积 即 N (习 N (月 个方 格 覆 盖 . 由 于 , < d汕 E 和 t > id m F , 所以 有 : 戈 (E x 月 一 d 一 idm(E ` 月 一凡 间 x 凡 因。 ` 占 一’ d 一` - d 一 ’( 十 )t ( 10 ) 选 择 : 等于 d而 E 和 t 等 于 d汕 F , 式 ( 10) 中 的等式成立 . 例如 , 图 5 所 示 的 oK hc 分形 曲面是 由 K oc h 曲线 和 与之垂 直 的直线段 直积 构造 而 成 . 直线的 `分 形 ’ 维 数是 1 , oK hc 曲线的分维 D = 1 . 2 61 9 . 根 据 式 l( 0) , K oc h 分 形 曲 面 的 分 形 维 数 是 D s = l + 1 . 2 6 1 9 = 2 . 2 6 19 . ǎ侧。 \ , 冬工罗 0 . 0 1 0 . 0 0 -2 .0 图3 一 1 . 5 一 1 . 0 刁.5 0 . 0 fo g 占 面积与尺码的双对教 曲线 3 与剖 面分形测量的 比较 为验 证投 影覆盖 法 , 对相 同断裂表 面 应 用尺 码 法 式 (4 )分 别 测 量 沿 x 和 y 方 向剖 面 的分 形 维 数 . 这样 测定 的剖 面分形 维数 D 以 1 , 2) . 为便于 较 投 影覆 盖法 分形 测量 与剖面 分 形测 量结 果 , 讨论分形集在 笛卡尔 坐标系下 的直 积结 果 . 霎 设 E 是 r 空间 的子集 , F 是 R 用 空 间的子 集 , 在 笛 卡尔 坐标 系下 直 积 E x F 定 义 为第 l 坐 标在 E 上 , 第 2 坐标 在 F 上 的点集 , 即 E x F = {x( , 夕) ` r + 门 : x 6 百 , 夕6 尸} ( 7 ) 因此 , 如 果 E 是 在 R 空 间 的单位 长度 , F 是 在 R Z 空 间的单位 长度 , 则 E x F 是在 护 空 间的单位 面积 如 图 4 . 此种 情 况下 用经 典 维数定 义 , 明 显地 有 : d而 (E x 月 = d im E + d而 F (8 ) 图5 “ 汤c h分形 曲面 对于断裂 表 面 , 不 同位置 的剖 面 、 不 同方 向 的剖面 上 的粗糙性 各不 相 同.16 7 ] . 为 明确 起见 , 在 断裂表面 内用尺 码法分别沿相 互垂 直 的 x 和 y 方 向测量 断裂剖 面的分形 维数 , 即 . x(L 句 = L沪 , 一 气 吞 (6) 一 气洲 一 马 (l l) 这 里 , xL (6 )和 吞必)分别是 在 尺度占 下沿 x 和 y 方 向测 量 的 断裂 剖 面 长度 , xD 和 几 是 相 应 方 向剖 面的分形维数 . 为 比较 直 接 投 影覆 盖 法 和 剖面 尺 码法 分形 测 量结果 , 依 据剖 面分 维测 量得 出 的粗糙表 面 分 形 维数由下式计算: 、 一 六 ` 氢叭 + 刃 ( 12 ) 图4 R 空间单位长度与r 空间单位长度直积 这个结 果通 常 在 ` 光 滑 ’ 情 况 下成 立 , 其 中 E 和 F 可 以 是 光 滑 的 曲 线 、 表 面 或 高 维 数的 多 边 体 . 然 而 , 式 (8 ) 对 ` 分 形 ’ 维 数 并 不 总 是 成 立 的 . 对于分 形 维数 , 更 一般的结果 是不 等式 : d而 (E x 月 ` d ha E + d im F ( 9 ) 为 了 简明起见 , 取 E c R , F c R . 选择 数 s > d而 E 和 t > d而 F, 则 存在 l 个 d>0 0 的数 , 使 得 对 其中 xD 和 乌 分别是 81 个在 二 和 y 方 向剖 面 的分维 平均值 ; 几卜。 汁几 )是 粗糙表 面 内所 有 被 测量 剖 面的分维平均值 . 图 6 中的 D s 是 用直接投 影 筱 盖 法 测 量 的 断裂 表 面分 形 维 数 . 事 实 上 , 通 过平 均各剖 面分 维得 到 的分形 维数 D 。 反 映 的是 断裂 表 面 的 一 种 分形 统 计规律 . 通 过 比 较 , 可 以 看 出 D s ` 几 . 如 图所 示 , 对 于 较 平 坦 的 断 裂 表 面 , D s 略小 于 几 , 然 而 , D 、 和 几 的 差 异 随表 面 粗糙 性 的增 加 而 增 大 . 2 种分形 测 量 结果 的关 系 可 由下式 表述 :

Vol.21 No.I 王金安等：一种新的断裂表面分形测量方法 ·9· 1+D.≤Ds≤Dw,1+D,≤Ds≤Dg(13) 参考文献 0.12 1 Mandelbrot BB.The Fractal Geometry of Nature.In: Freeman W H ed.San Francisco,1983.468 0.10 △A 2 Lee Y H,Carr J R,Barr D J,et al.The Fractal Dimension as a Measure of the Roughness of Rock 0.08 Discontinuity Profile.Int J Rock Mech Min Sci Geomech,1990,127:453 0.06- 3 Brown S R,Scholz C H.Broad Bandwidth Study of the Topography of Natural Rock Surfaces.J Geophys Res,1985,90:12,575 0.04 4 Kwasniewski M A,Wang J A.Application of Laser Profilometry and Fractal Analysis to Measurement 0.02 0.020.04 0.060.08 0.100.12 and Characterization of Morphological Features of Ds-2 Rock Fracture Surfaces.In:Piguet Homand eds.Ge 图6表面分形Ds与剖面分维D,的比较 otechnique et Environnement,Vand Uvre-le s-Nancy: Sciences de la Terre,1993.163 这个关系与分形理论吻合（参见(10）式).研 5 Xie H,Pariseau W G.Fractal Estimation of Joint 究表明，对于较粗糙的断裂表面，依据剖面测量 Roughness Coefficient.Science in China (Series B), 可能得出过高地估计了粗糙表面的分形维数，而 1994,37(12:1269 投影覆盖法则可获得更加准确和满意的分形测 6 Wang J A,Xie H,Kwa Niewski M.A Fractal Proper- ties of Rock Fracture Surfaces.J China Coal Sci, 量结果. 1996(1):16 4结论 7 Wang J A.Morphology and Mechanical Behavior of Rock Joints:[Ph D Thesis].Gliwice(Poland):Silesian 提出了一种新的表面分形测量方法一投 Technical Univerisity,1994.1:238 影覆盖法，这种方法可以直接覆盖和测量二维断 8 Xie H.Fractals in Rock Mechanics.Balkema:Rotter- dam/Brookfield,1993.453 裂表面的真实分形维数D,∈[2,3).测量结果与分 形理论相吻合. Direct Fractal Measurement of Fracture Surfaces Wang Jinan,Xie Heping?,Tian Xiaoyan?)Kwasniewski M A 1)Resources Engineering School,UST Beijing 100083,China 2)China University of Mining and Technology,Beijing 3)Silesian Technical University,Poland ABSTRACT To overcome the difficulties in estimation of fractal dimension for fracture surfaces,a new method of fractal measurement called the projective covering method(PCM)is proposed.Based on the measurements by means of a laser scanner,the fractal dimension Ds[2,3)of fracture surface is directly estimated by using this method.The research results agree well with the theory of fractal geometry and measurement data. KEY WORDS the projective covering method;fracture surface;fractal dimension

V o l . Z I N O . l 王 金安等 : 一种新的断裂表面分 形测量方法 ,p 今 考 文 献 J ,`, 、ù … éL l 一/n 一 1 + D 二 ` D , ` D 。 , l + 几 S D , ` 凡 0 . 1 2 0 . 1 0 △ △ 乞△ / ,一八O / ì0 飞/一 0 0 . 08 n 6 ù .0 人入l 省 .0 04 0 . 0 2 0 . 0 2 0 . 04 0 . 0 6 D s 一 2 0 . 10 图` 表面分形刀s与剖面分维从 淤比较 这个关 系 与分 形理 论吻合 (参见 ( 10 ) 式 ) . 研 究 表 明 , 对于 较 粗糙 的 断裂 表 面 , 依据剖面 测 量 可 能得 出过 高地估 计了粗糙表面 的分 形 维数 , 而 投影 筱 盖 法 则可 获 得 更 加 准 确 和满意 的分形 测 量结果 . 4 结论 提 出 了 一种 新 的表 面 分 形 测 量 方 法— 投 影 覆盖法 , 这种 方 法 可 以 直 接覆 盖 和测 量 二 维断 裂表 面的真实 分形 维 数 D s ` 2[ , 3) . 测 量结 果 与分 形理 论相 吻合 . 1 M an d e lb ort B B . T h e F acr at l G co me ytr o f N a ut r e · I n : Fer e m an W H e d . S an F r a n c i s e o , 1 9 8 3 . 4 6 8 2 L e Y H , C a r J R , B a 口 D J , e t a l . T h e F r a C at l D 油e ns i o n as a M e as reU o f ht e oR u g ho e s s o f oR e k D i cos n t in u ity P or if l e . ntI J R o e k M e e h M in S e i & G 的m e C h , 19 90 , 127 : 4 5 3 3 B r o w n S R , S c ho lz C H . B or ad B a n dw id th StU 勿 o f ht e T o po g ar P hy o f N a tU ar l OR e k S山af c e s · J G e oP hy s R e S , 1 9 85 , 90 : 12 , 57 5 4 K w a s n l e w isk M A , W a n g J A . AP Pl i e at i o n o f L a s e r Por if fo m e 杠y an d F ar c alt A n a ly is ot M e as erU m en t 的d C h别旧c et 沈班 ti o n o f M o pr ho fo g i e a l F e a tU r e s o f ROC k F acr ot er S也fa c e s . nI : P i gu et H o n o a n d e d s . G 心 。 t ec 知山qu e et E n v ior ne m ent , V an d U v er 一 l仑 s 一 N anc :y S e i e nc e s de 恤 T e r e , 19 9 3 . 1 63 5 Xi e H , P iar s e a u W G . F r a c at l E s t ir n a ti o n o f J o l n t OR u gl 功 e s s C o e if c i e in · S e i e cn e in C h in a ( S ier e s B ) , 19 94 , 3 7 ( 12 ) : 12 69 6 W an g J A , Xi e H , K w a N i e w isk M . A F ar c at l P or P e r . it e s o f R o e k F r a C ot er Sur 伪e e s . J C h 访a C o a l S C i , 19 9 6 ( l ) : 1 6 7 Wan g J A . M o pr ho fo gy an d M e c h叻i ca l B e h a v fo r o f R o c k oJ in st : [ P h D hT e s i s ] . G ilw i c e ( P o lan d ) : Si le s ian T e c hn i c a l U n i v ier s iyt , 1 9 9 4 . 1 : 2 3 8 8 X i e H . Far e at l s in R o e k M ec h a n i e s . B a lk e m a : R o t e -r d a爪旧 r o o k五e ld , 1 9 9 3 . 4 5 3 D i r e e t F r a e at l M e a s u r e m e nt o f F r a e ut r e S u r fa e e s 肠ng inJ an ` , , 」“ 已 万印in 砂 , iaT 。 不 口口夕。 nz) wK as n ie ws 七 M 矛, l )耽 s o cur e s 2 ) C h i n a U in v e sr iyt o f M i n i n g E n g i n e r i n g S e h o l , U S T B e ij in g l 00() 8 3 , C h i n a an d T ce hn o l o gy , B e ij in g 3 ) S i l e s ian T ce hn i e ia U n i v e rs ity , P o lan d A B S T RA C T T o o v e er o m e ht e d i if e u lt i e s in e s t im a t i o n o f fr a e at l d im e n s i o n fo r fr a e ut r e s u ir 滋e e s , a n e w m e ht o d o f afr e at l m e a s ur e m e n t e a ll e d ht e Pojr e e t i v e e o v e ir n g m e ht o d ( P C M ) 1 5 Por P o s e d . B as e d o n ht e m e a s ur e m e n t s b y m e an s o r a l a s e r s e an e r , 由e far e at l d加 e n s i o n 0 5 任 [ 2 , 3 ) o f fr a c ot er s u d滋e e 1 5 d ier c t ly e s t汕at e d b y u s in g ht i s m e ht o d . T h e r e s e acr h er s u it s ag r e e w e ll w i ht ht e ht e o yr o f fr a c at l g e o m e ytr an d m e as uer m e n t d at · K E Y WO RD S ht e P r oj e e t i v e e o v e irn g m e ht o d : far e ut er s u ir 兔e e : 丘a c at l d im e n s i o n