强度理论 典型习题解析 1已知铸铁的拉伸许用应力G1]=30MPa,压缩许用应力a]=90MPa,u=0.30,试对铸 铁零件进行强度校核,危险点的主应力为 (1)G1=30MPa,a2=20MPa,a3=15MPa; (2)a1=-20MPa,a2=-30MPa,a3=-40MPa (3)G1=10MPa,a2=-20MPa,a3=-30MPa。 解题分析:选用强度理论时,不但要考虑材料是脆性或是塑性,还要考虑危险点处的应力状 解:(1)a1=30MPa,a2=20MPa,a3=5MPa,危险点处于三向拉应力状态,不论材 料本身是塑性材料或是脆性材料,均采用第一强度理论,即 an=a1=30MPa={o],安全 (2)o1=-20MPa,a2=-30MPa,a3=-40MPa,危险点处于三向压应力状态,即使是 脆性材料,也应采用第三或第四强度理论,即 a=a1-a3=-20MPa-(-40)MPa=20MPa<[o;l],安全 o4=V2(20M+0M)+=30+4)+(4:0)1 173MPa<a1],安全。 (3)a1=10MPa,a2=-20MPa,a3=-30MPa,脆性材料的危险点处于以压应力为主 的应力状态,且许用拉应力与许用压应力不等,宜采用莫尔强度理论,即: OMM=O1 3=10MPa、30MPa (-30MPa)=20MPa<[ol],安全 2图示实心圆轴受轴向外力F和外力偶M作用。已知圆轴直径d=10mm,M=Fd∥10。(1) 材料为钢时,许用应力G]=160MPa;材料为铸铁时,许用应力]=30MPa。试分别计算 圆轴的许可载荷[F];(2)材料为铸铁,且F=2kN、E=100GPa、μ=025,计算圆轴表面 上与轴线成30°方位上的正应变
强度理论 典型习题解析 1 已知铸铁的拉伸许用应力[ ] 30MPa σ t = ，压缩许用应力[ ] 90 MPa σ c = ， µ = 0.30 ，试对铸 铁零件进行强度校核，危险点的主应力为： （1） 30MPa σ 1 = ， 20MPa σ 2 = ， 15MPa σ 3 = ； （2） 20MPa σ 1 = − ， 30MPa σ 2 = − ， 40MPa σ 3 = − ； （3） 10MPa σ 1 = ， 20MPa σ 2 = − ， 30MPa σ 3 = − 。 解题分析：选用强度理论时，不但要考虑材料是脆性或是塑性，还要考虑危险点处的应力状 态。 解：（1） 30MPa σ 1 = ， 20MPa σ 2 = ， 15MPa σ 3 = ，危险点处于三向拉应力状态，不论材 料本身是塑性材料或是脆性材料，均采用第一强度理论，即： 30MPa [ ] σ r1 = σ 1 = = σ t ，安全 （2） 20MPa σ 1 = − ， 30MPa σ 2 = − ， 40MPa σ 3 = − ，危险点处于三向压应力状态，即使是 脆性材料，也应采用第三或第四强度理论，即： 20MPa ( 40)MPa 20MPa [ ] σ r3 = σ 1 −σ 3 = − − − = < σ t ，安全 [( 20 MPa 30 MPa) ( 30MPa 40 MPa) ( 40 MPa 20 MPa) ] 2 1 2 2 2 σ r4 = − + + − + + − + ， 17.3 MPa [ ] = < σ t ，安全。 （3） 10MPa σ 1 = ， 20MPa σ 2 = − ， 30MPa σ 3 = − ，脆性材料的危险点处于以压应力为主 的应力状态，且许用拉应力与许用压应力不等，宜采用莫尔强度理论，即： ( 30MPa) 20MPa [ ] 90MPa 30MPa 10MPa [ ] [ ] 3 t c t rM 1 σ σ σ σ σ = σ − ⋅ = − − = < ，安全 2 图示实心圆轴受轴向外力 F 和外力偶 M 作用。已知圆轴直径 d=10 mm，M=Fd/10。（1） 材料为钢时，许用应力[σ ] =160 MPa ；材料为铸铁时，许用应力[ ] 30 MPa σ t = 。试分别计算 圆轴的许可载荷[F]；（2）材料为铸铁，且 F=2 kN、E=100 GPa、 µ = 0.25 ，计算圆轴表面 上与轴线成 30°方位上的正应变。 1
题2图 解题分析:本题中,轴为拉伸和扭转组合变形。轴的各个横截面上的扭矩、轴力均相同,所 以可以任取一截面作为危险截面。在危险截面上,轴力引起的拉伸正应力处处相等,扭矩引 起的切应力在靠近轴外表面的各点处最大,所以危险点为靠近轴表面的各点。危险点处的应 力状态如图示 解:1、计算危险点的主应力 轴力引起的正应力o==4F 1.27×10m-2F 扭矩引起的切应力r TM 16Fd 0.509×104m-2F p 10d 危险点处的极值应力为 127×104m2F,1.27×10m2F +(0.509×10mF) 于是主应力为a1=145×104m2F,a2=0,a3=-0.179×104m2F 2、材料为钢材时,确定轴的许用载荷 根据第三强度理论,有 σB=o1-3=145×104m-2F+0.179×104m-2F=1.63×104m-2Fslo]=160MPa 得[F]=,1602=9820N=982kN 该轴用钢材制造时,许可载荷[F]=9.82kN 3、材料为铸铁时,确定轴的许可载荷 按第一强度理论,有 σ1=a1=145×10m2F≤[a]=30MPa 得许可载荷[F]=2kN 4、计算铸铁轴表面与轴线成30°方位上的正应变
F 30o M 题 2 图 解题分析：本题中，轴为拉伸和扭转组合变形。轴的各个横截面上的扭矩、轴力均相同，所 以可以任取一截面作为危险截面。在危险截面上，轴力引起的拉伸正应力处处相等，扭矩引 起的切应力在靠近轴外表面的各点处最大，所以危险点为靠近轴表面的各点。危险点处的应 力状态如图示。 解：1、计算危险点的主应力 轴力引起的正应力 F d F A F 4 2 2 N 1.27 10 m π 4 − σ = = = × 扭矩引起的切应力 F d Fd W M W T 4 2 3 p p 0.509 10 m 10π 16 − τ = = = = × 危险点处的极值应力为 2 4 2 2 4 2 4 2 min max ) (0.509 10 m ) 2 1.27 10 m ( 2 1.27 10 m F F F − − − + × × ± × σ = 于是主应力为 σ1 = 1.45×104m−2 F ，σ 2 = 0， F 4 2 3 0.179 10 m− σ = − × 2、材料为钢材时，确定轴的许用载荷 根据第三强度理论，有 1.45 10 m 0.179 10 m 1.63 10 m [ ] 160 MPa 4 2 4 2 4 2 r3 = 1 − 3 = × + × = × ≤ = − − − σ σ σ F F F σ 得 9820 N 9.82 kN 1.63 10 m 160 MPa [ ] 4 2 = = × = − F 该轴用钢材制造时，许可载荷[F] = 9.82 kN 3、材料为铸铁时，确定轴的许可载荷 按第一强度理论，有 1.45 10 m [ ] 30 MPa t 4 2 r1 = 1 = × ≤ = − σ σ F σ 得许可载荷 [F] = 2 kN 4、计算铸铁轴表面与轴线成 30°方位上的正应变 2
根据广义胡克定律公式,要计算与轴线成30°方位上的正应变,必须知道该方向的 正应力和与该方向垂直的方向上的正应力。设要计算的方位为-30°,则与其垂直的方 位为60°,首先计算-30°、60°两方位上的正应力。 与轴线平行方向上的正应力、切应力分别为 a=127×104m-2F=1.27×104m-2×2×103N=254MPa r=0.509×104m2F=0.0509×104m-2×2×103N=10.18MPa 于是 +cos[2×(-30°)-rsn[2×(-30° 25.4 MPa 25.4 MPa cos[2×(-30°)-10.18sin[2×(-30°)=2787MPa +=cos(2×60°)-rsin(2×60°) 25.4 MPa 25.4 MPa 202×60)-10.18 MPa sin(2×60°)=-247MPa 由广义胡克定律,轴表面与轴线成30°方位上的正应变为 6-y=E(O-y-or)=10010kP (27.87MPa-0.25×(-247MPa)=285×10 E+E 讨论:该题中正应变的计算也可以用公式En= 2 COs 2a/ sin2a,但和上 面方法相比,要麻烦得多。 3图示钢轴有两个皮带轮A和B,两轮的直径D=1m,轮的自重Q=skN,轴的许用应力 a]=80MPa。试确定轴的直径d 解题分析:本题轮轴为弯扭组合变形。首先要将所有外力向轴线上简化,并绘制内力图,以 便寻找危险截面。找到危险截面和危险点后,即可按强度条件设计轴直径。 解:1、计算轴上的载荷 取如图示坐标系,则外力偶矩 MeB=(5-2)kN D xy平面支反力FC=125kN, FD=4.5 kN x平面支反力FC=9kN 2.1kN 2、画内力图,确定危险截面
根据广义胡克定律公式，要计算与轴线成 30°方位上的正应变，必须知道该方向的 正应力和与该方向垂直的方向上的正应力。设要计算的方位为－30°，则与其垂直的方 位为 60°，首先计算－30°、60°两方位上的正应力。 与轴线平行方向上的正应力、切应力分别为 1.27 10 m 1.27 10 m 2 10 N 25.4 MPa 4 2 4 2 3 = × = × × × = − − σ F 0.509 10 m 0.0509 10 m 2 10 N 10.18 MPa 4 2 4 2 3 = × = × × × = − − τ F 于是 cos[2 ( 30 )] 10.18sin[2 ( 30 )] 27.87 MPa 2 25.4 MPa 2 25.4 MPa cos[2 ( 30 )] sin[2 ( 30 )] 2 2 30 = + × − − × − = = + × − − × − − D D D D D τ σ σ σ cos(2 60 ) 10.18 MPa sin(2 60 ) 2.47 MPa 2 25.4 MPa 2 25.4 MPa cos(2 60 ) sin(2 60 ) 2 2 60 = + × − × = − = + × − × D D D D D τ σ σ σ 由广义胡克定律，轴表面与轴线成 30°方位上的正应变为 6 30 30 60 3 (27.87 MPa 0.25 ( 2.47 MPa)) 285 10 100 10 MPa 1 ( ) 1 − − − − × − = × × ε D = σ D − µσ D = E 讨论：该题中正应变的计算也可以用公式 α γ α ε ε ε ε ε α sin 2 2 cos 2 2 2 x y x y xy − − + + = ，但和上 面方法相比，要麻烦得多。 3 图示钢轴有两个皮带轮 A 和 B，两轮的直径 D=1m，轮的自重 Q=5kN，轴的许用应力 [σ ] = 80MPa 。试确定轴的直径 d。 解题分析：本题轮轴为弯扭组合变形。首先要将所有外力向轴线上简化，并绘制内力图，以 便寻找危险截面。找到危险截面和危险点后，即可按强度条件设计轴直径。 解： 1、计算轴上的载荷 取如图示坐标系，则外力偶矩 1.5 kN m 2 1m (5 - 2) kN 2 e e (5 - 2) kN = × = ⋅ = = D M A M B xy平面支反力 FCy=12.5 kN， FDy=4.5 kN xz平面支反力 FCz=9.1 kN，FDz=2.1 kN 2、画内力图，确定危险截面 3
轴AB段的扭矩为T=1.5kNm(图c),弯矩M,和M如图d、e所示。从内力图 看出,危险截面是C或B截面。分别计算C、B两截面的总弯矩: =258×103N.m=258kN.m M2=√105×10Nm)2+(225×10Nm2 =249×10Nm=249kNm 比较两者大小,可知危险截面为C截面 N 3、确定轴的直径 按第三强度理论设计轴的直径。直接采用 圆轴弯扭组合情况下的强度条件,得 1.5kN M 2.1kN 05 KN.m Io 258×103Nm)2+(1.5×103Nm)2 v4×M 如果按第四强度理论设计轴的直径,则 题3图 M2+0.75T ≤[a] 叫a] 32V(258×103N.m)2+075×(15×10Nm)2 71.6 80×10°P 比较可得按第三强度理论设计的轴径比按第四强度理论设计的轴径略大。 4一端固定的轴线为半圆形的正方形截面杆,受力情况如图,F=1000N,试求B和C截面 上危险点处的相当应力a3 解题分析:本题为非圆截面弯扭组合变形问题。首先应找出B和C截面的危险点,并确定 危险点处的应力状态,然后计算相当应力 解:1、计算截面有关的几何性质 杆的横截面面积A=b=30mm×30mm=900m2=900×10-6m
轴 AB 段的扭矩为 （图 c），弯矩 和 如图 d、e 所示。从内力图 看出，危险截面是 C 或 B 截面。分别计算 C、B 两截面的总弯矩： T = 1.5 kN ⋅m M y M z 2.58 10 N m 2.58 kN m (2.1 10 N m) (1.5 10 N m) 3 3 2 3 2 = × ⋅ = ⋅ = × ⋅ + × ⋅ M C 2.49 10 N m 2.49 kN m (1.05 10 N m) (2.25 10 N m) 3 3 2 3 2 = × ⋅ = ⋅ = × ⋅ + × ⋅ M B 比较两者大小，可知危险截面为 C 截面。 5kN 3、确定轴的直径 按第三强度理论设计轴的直径。直接采用 圆轴弯扭组合情况下的强度条件，得 [ ] 2 2 σ r3 ≤ σ + = W M T 72.4 10 m 72.4 mm π 80 10 Pa 32 (2.58 10 N m) (1.5 10 N m) π[ ] 32 3 6 3 2 3 2 3 2 2 3 = × = × × × ⋅ + × ⋅ = + ≥ − σ M T d 如果按第四强度理论设计轴的直径，则 [ ] 0.75 2 2 σ r4 ≤ σ + = W M T 71.6 10 m 71.6 mm π 80 10 Pa 32 (2.58 10 N m) 0.75 (1.5 10 N m) π[ ] 32 0.75 3 6 3 2 3 2 3 2 2 3 = × = × × × ⋅ + × × ⋅ = + ≥ − σ M T d 比较可得按第三强度理论设计的轴径比按第四强度理论设计的轴径略大。 4 一端固定的轴线为半圆形的正方形截面杆，受力情况如图，F=1000N，试求 B 和 C 截面 上危险点处的相当应力σ r3。 解题分析：本题为非圆截面弯扭组合变形问题。首先应找出 B 和 C 截面的危险点，并确定 危险点处的应力状态，然后计算相当应力。 解： 1、计算截面有关的几何性质 杆的横截面面积 2 6 2 30mm 30mm 900mm 900 10 m− A = bh = × = = × 1.5 kN·m T 1.5 kN·m 题 3 图 Mz 2.25kN·m 1.05 kN·m (c) My 2.1 kN·m B 500 (b) MeA 7kN FCy 5kN z 12kN (a) 300 500 y MeB FCz A 2kN 5kN 2kN FDy FDz C D x (d) (e) 4
抗弯截面系数W bh2 30mmx(30mm)2 4500mm 500×1 h/b=30mm/30mm=1,查表B=0208 (b)B截面(x-x方向视图) (c)e点应力状态 B (d)C截面(y-y方向视图) 题4图 抗扭截面系数Wn=B3=0208×(30mm)3=5620mm3=5620×10-m3 2、计算B截面的内力 剪力Fs=F=1000N 弯矩M=FR=1000N×0.2m=200N·m 扭矩T=FR=1000N×0.2m=200Nm 3、确定B截面的危险点及危险点处的应力状态(图b) 截面上弯矩引起的最大正应力发生在截面顶边ab和底边cd各点,顶边受拉应力,底 边受压应力,大小为 M200Nm=444×10°Pa=444MPa W4500×10-m 最大弯曲切应力发生在截面中性轴h线上各点,方向向下,大小为 73Fs3 1000N 167×106Pa=167MP 2A2 扭转引起的最大切应力发生在截面四边中点e、f、g、h处,方向平行于所在边, 且e点处方向向右、∫点处向下、g点处向左、h点处向上。扭转切应力大小均为 200N·m 35.6×10Pa=35.6MP 5620×1 考虑弯曲切应力、弯曲正应力和扭转切应力共同作用,e点处为单向拉伸应力状 态如图c所示,σ=44MPa,r=2=356MPa。g点处应力状态与e点处类似,只 是正应力为压应力。∫点处为纯剪切应力状态,切应力大小为 r=r1+z2=1.67MPa+356MPa=37.3MPa
抗弯截面系数 3 9 3 2 2 4500mm 4500 10 m 6 30mm (30mm) 6 − = = × × = = bh W h / b = 30mm/30mm = 1，查表 β = 0.208 抗扭截面系数 p 8 (30mm 5620mm 5620 10 m− W = × = = × 2 内力 3 3 3 9 3 βb = 0.20 ) 、计算 B 截面的 剪力 FS = F = 1000N 弯矩 M = FR = 1000N × 0.2m = 200N ⋅ m 扭矩 T = FR = 1000N × 0.2m = 200N ⋅ m B 截面的危险点及危险点处的应力状态（图 b） cd 各点，顶边受拉应力，底 3、确定 截面上弯矩引起的最大正应力发生在截面顶边 ab 和底边 边受压应力，大小为 44.4 10 Pa 44.4 MPa 4500 10 m 200N m = = M σ 6 9 3 = × = × ⋅ W − 最大弯曲切应力发生在截面中性轴 h f 线上各点，方向向下，大小为 1.67 10 Pa 1.67MPa 3 3 1000N 6 6 2 S 1 = = × = × = − F τ 2 A 2 900×10 m 扭转引起的最大切应力发生在截面四边中点 e、f、g、h 处，方向平行于所在边， 且 e 点处方向向右、f 点处向下、g 点处向左、h 点处向上。扭转切应力大小均为 35.6 10 Pa 35.6MPa 200N m 6 9 3 2 = × = ⋅ = = − T τ Wp 5620×10 m 考虑弯曲切应力、弯曲正应力和扭转切应力共同作用，e 点处为单向拉伸应力状 态如图 c 所示，σ = 44.4 MPa ， 35.6 MPa τ = τ 2 = 。g 点处应力状态与 e 点处类似，只 是正应力为压应力 纯剪 应力大小为 1.67 MPa 35.6 MPa 37.3 MPa 1 2 。 f 点处为 切应力状态，切 τ = τ +τ = + = 30 30 B 200 B F C A e a 题 4 图 b h f σ c g d a e b h f d c g (b) B 截面(x－x 方向视图) (c) e 点应力状态 y y x ( x a) (d) C 截面(y－y 方向视图) 5