目录2021219 光学信息处理 节6.3.2小波变换在频域中的表达式 第2节在频域中,小波可表示为 第3节 Ha, b(x)=exp(-12 wX)ha, b(x)dx=va exp(-i2Tvb)H(av) 第4节 0 5节式中H()是小波母函数h(x)的傅里叶变换.在空域 蕈6节的扩大x/a等价于频域的压缩aν.空域的位移b等 蕈7节价于频域的位相移动exp(2mvb) 由 Parseval定理,小波变换的傅里叶变换为 g(x)=√a∫H(ay) exp(i2 vbG(v)dy 其中H和G分别是h和g的傅里叶变换.上式表 明信号g(x)的小波变换可以用4f系统实现 第6章
第1节 第2节 第3节 第4节 第5节 第6节 目 录 第7节 第6章 2021/2/19 光学信息处理 21 6.3.2 小波变换在频域中的表达式 在频域中，小波可表示为 式中H(v)是小波母函数h(x)的傅里叶变换．在空域 的扩大 x/a 等价于频域的压缩 av．空域的位移b 等 价于频域的位相移动exp(-i2vb)． 由Parseval定理，小波变换的傅里叶变换为 (4) 其中 H 和 G 分别是 h 和g 的傅里叶变换．上式表 明信号g(x)的小波变换可以用4f 系统实现． H (x) exp( i2 x)h (x)dx a exp( i2 b)H(a ) a,b = − a,b = − − W {g(x)} a H (a )exp(i2 b)G( )d * a,b − =
6.33逆变换和相容性条件 小波变换(2)式的逆变换定义为 ha,b cr g a, 6(g(c 2d adb (5) 九d-c 其中C满足条件 fH(p)|dy<∞o. (6) h (6)式称“相容性条件”,是逆变换存在的条 件 ab(x)=√a h Cavexp i2π(x-b)]dv, (7)
6.3.3 逆变换和相容性条件 小波变换(2)式的逆变换定义为 其中Ch满足条件 (6)式称“相容性条件” ，是逆变换存在的条 件． 下面我们来证明它．ha,b(x) 可表为
以(4)、(7)式代入(5)式,得到 g(x H·(ay)G()H(av) hja a Xexp (ivr)d expli2π(y-y)b]db 上式中最内部的积分为8(v3-v),因此 H(av)F g(t daG(y)exp(i2以x)d以 (8) hJo 上式成立的条件是 °|(ay)2 d aCx) 0 即(6)式.当v=0时,相容性条件要求:H(0)=0,(10) 即小波函数没有零频分量.由于H0)=h(x)dx=0(11) 意味着h(x)必须是振荡函数,平均值为零,其傅里叶谱 直流分量为零
以(4)、(7)式代入(5)式，得到 上式中最内部的积分为 (v’ - v)，因此 上式成立的条件是 即(6)式．当v = 0时，相容性条件要求: H(0) = 0 ， (10) 即小波函数没有零频分量．由于 H(0)= - h(x)dx = 0 (11) 意味着h(x)必须是振荡函数，平均值为零，其傅里叶谱 直流分量为零
634正则性 从理论上讲,任何满足相容性条件的函数都可当作 小波变换的母函数,然而在实用中,为了使变换具备局 部化的功能,h(x)和H(在空域和额域中都是迅速衰减的 它们不显著为零的分量分别分布于空域和领域中的原点 附近 此外,要求Wab作为a的函数,应当是充分光滑的, 当a->0时,Wa,b->0,即要求Wa在=0附近是正则的设 b=0,则有 Wa,{8(x)} h g() r h"(s)g(as)ds (12) 将g(x)在x=0的邻域内展开成泰勒级数: g(r) g(")(0)n 9 (13)
6.3.4 正则性 从理论上讲，任何满足相容性条件的函数都可当作 小波变换的母函数，然而在实用中，为了使变换具备局 部化的功能，h(x)和H(v)在空域和额域中都是迅速衰减的， 它们不显著为零的分量分别分布于空域和领域中的原点 附近． 此外，要求Wa,b作为a的函数，应当是充分光滑的， 当a→0 时，Wa,b→0，即要求Wa,b在a=0附近是正则的. 设 b = 0，则有 将g(x)在x =0的邻域内展开成泰勒级数：
目录2021219 光学信息处理 节代入(12)式得到 第2节 g}=∑ (0) n+1/2 第3节 h *(EEds 第4节 g"(0) n+1/2 第5节 r/ a n◆ (14) 6节式中此是小波函数h的n阶矩 第7节 Mn=J。h(2)2(n=0,1,…)(15) 由(11)式M=H(0)=0 16) 设Mn=0 (p=0,1 n !在0的邻域内 (n+1) W4,o1g}∞ (0) (n+D)12+3/2M (18) 第6章
第1节 第2节 第3节 第4节 第5节 第6节 目 录 第7节 第6章 2021/2/19 光学信息处理 25 代入(12)式得到 式中此是小波函数 h 的n 阶矩： Mn = - h() nd (n = 0，1，…) (15) 由(11)式 Mo = H(0) = 0 (16) 设 Mp = 0 ( p = 0，1，… , n) (17) 则在 0 的邻域内