浙江大学：《自动控制专业考研题集锦》（附题解）考研题分章集锦（六）状态空间方法

浙江大学控制系自动控制原理近年考研题分章集锦(六) 第七章状态空间方法) 2005年 9、(15分)简单计算题,直接计算出结果即可。(每小题5分) (2).已知系统状态空间表达式为=[-20+y=[01x,求使闭环极点为-1、 -1-1 -2的状态反馈阵K。 (3).已知受控系统的系数矩阵为:A= 1=c=]。要求:采用期望极 L100」 点均为10的2维状态重构实现状态反馈。 解: (3) L=[2=[525,则观测器的方程为: -15110115 -25 -51002 1-2] (2)因为系统的能控性判断矩阵:1-2,显见。系统不完全能控,故没有一个 状态反馈阵K能满足要求使闭环极点为-1、-2。 11、(10分)请写出如图所示电路当开关合上后的系统状态方程与输出方程。其中状态如 图示,设系统的输出变量是i。若电路图中所有元件的参数均为1,请判断系统的可控性 与可观性。 R L1 ve= L2 06 i2=x2 e= = R 题11电路图 解:(1)状态方程: x1=-x1-x3+u R 0 1 L1 L R2 L x2=0-2 +0 311 L2L2 0 CC 0 y=[010

浙江大学控制系自动控制原理近年考研题分章集锦（六） （第七章:状态空间方法） 2005 年 9、（15 分）简单计算题，直接计算出结果即可。（每小题 5 分) (2)．已知系统状态空间表达式为 x x u      +       − − − = 1 1 1 1 2 0  ； y = 0 1cx ，求使闭环极点为-1、 -2 的状态反馈阵 K。 (3)．已知受控系统的系数矩阵为：       − = 0 5 0 1 A ，       = 100 0 b , c = 1 0 。要求：采用期望极 点均为－10 的 2 维状态重构实现状态反馈。 解： （3）     T T L = l 1 l 2 = 15 25 ，则观测器的方程为： x A LC x b u Ly x u y      +       +       − − − = − + + = 25 15 100 0 ˆ 25 5 15 1 ˆ ( )ˆ  （2）因为系统的能控性判断矩阵：       − − = 1 2 1 2 QC ，显见。系统不完全能控，故没有一个 状态反馈阵 K 能满足要求使闭环极点为-1、-2。 11、（10 分）请写出如图所示电路当开关合上后的系统状态方程与输出方程。其中状态如 图示，设系统的输出变量是 i2。若电路图中所有元件的参数均为 1，请判断系统的可控性 与可观性。 解：（1）状态方程： u L x L x L R x 1 3 1 1 1 1 1 1 1  = − − +   x u               +                   − − − − =           0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 2 2 1 1 1 3 2 1 L C C L L R L L R x x x    y = 0 1 0x e=u R 1 L2 ＋ _ R 2 C vc=x3 i1 =x1 i2 =x2 L1 － 题 11 电路图

(2)可控性与可观性,按已知条件,所有的元件参数均为1,代入方程可以计算得到:系 统是可控与可观的。因为 1-10 Qc=b Ab 4b]=o o 101 010 Q 13.(20分)设被控对象具有如图所示的传递函数。要求:通过状态反馈后,系统闭环阶 跃响应的性能指标为:最大峰值为Mn=1.043,调节时间为t=565s,且对阶跃输入Ro 具有零稳态偏差。假设状态的选取如图示,请求出:系统的开环放大系数A,以及状态反 馈增益阵K。(提示:Mn=1+exP(-5兀:t,=,并假设其中一个闭环极点为-100 U(s) ]品岛卧 X1(s)=Y(s) 解: Stepl:因为要求闭环以后的阶跃响应,故首先求出在有状态反馈情况下的闭环传递函 数。由上图,得闭环方块图如下(由开环传递函数无零极点相消情况,故系统是可控的) R(S) U(S) X(s) X「1x(8=Y 由图可求得闭环传递函数: Y(S) R(S)s3+(6+2Ak3)s2+[5+104(k3+k2)+104k1 Step2:因为要求当阶跃输入为Ro时具有零稳态偏差,即当t→∞时,e(t)=y()-Ro→0 因此利用终值定理得 step3:因为是三阶系统,假设其具有一对由所要求的闭环性能指标决定的复数主极点 (1)由于要求最大峰值为M=1.043,可得5=0.708

（2）可控性与可观性，按已知条件，所有的元件参数均为 1，代入方程可以计算得到：系 统是可控与可观的。因为             − − = = 0 1 1 0 0 1 1 1 0 2 QC b Ab A b           − = −           = 1 0 1 0 1 1 0 1 0 2 0 cA cA c Q 13．（20 分）设被控对象具有如图所示的传递函数。要求：通过状态反馈后，系统闭环阶 跃响应的性能指标为：最大峰值为 M p =1.043 ，调节时间为 t s s = 5.65 ，且对阶跃输入 R0 具有零稳态偏差。假设状态的选取如图示，请求出：系统的开环放大系数 A，以及状态反 馈增益阵 K。（提示： 2 1 1 exp( −   M p = + − ；  = 4 s t ，并假设其中一个闭环极点为－100） 解：Step1：因为要求闭环以后的阶跃响应，故首先求出在有状态反馈情况下的闭环传递函 数。由上图，得闭环方块图如下（由开环传递函数无零极点相消情况，故系统是可控的） 由图可求得闭环传递函数： 3 2 1 2 3 3 (6 2 ) [5 10 ( )] 10 10 ( ) ( ) s Ak s A k k s Ak A R s Y s + + + + + + = （＊＊） Step2：因为要求当阶跃输入为 R0 时具有零稳态偏差，即当 t→∞时，e(t)=y(t)- R0→0。 因此利用终值定理得 k1 =1 Step3：因为是三阶系统，假设其具有一对由所要求的闭环性能指标决定的复数主极点 （1）由于要求最大峰值为 M p =1.043 ，可得  = 0.708 + － U(s) X1(s)＝Y(s) s 1 A 1 2 s + 5 5 s + k3 k2 k1 R(s) + + + X3(s) X2(s ) X2(s) U(s) s 1 A 1 2 s + 5 5 s + X3(s) X2(s) X1(s)＝Y(s)

要求调节时间为,=5653:0=5=565=0708 (3)一对复数主极点:52=-±/mn√1-2=-0708±0706:又已知另 一远极点为-100,故期望的闭环传递函数 10A 10A R(s)(s+1005+0708±j0.706)s3+10142+142.6s+100 该期望方程应该与前闭环传递函数(★★)相同,而为了达到零稳态偏差,前面已经求出 k1=1。因而有: (6+2Ak3)=1014 5+104(k3+k2)=1427 k2=-3393 104k1=100 A=100 所以:系统的开环放大系数A=10,以及状态反馈增益阵K=[l-3.393,4.7]l 2004年 七.(5分150分)某系统的传递函数是G(s)= s+b ,问:若要求系统为完 5+65+1ls+6 全能控能观,应如何选择b? 只要b不等于1,2,3,则系统是完全能控能观的。 八.(10分150分)请列写出如下图所示的信号流图的状态空间表达式 解 状态空间表达式:x(1)=Ax()+B(t) y(1)=Cx()+Du( 0 其中:A

要求调节时间为 t s s = 5.65 , 0.708 5.65 4  = n = = （3）一对复数主极点： 1 0.708 0.706 2 1,2 s j j = −  n −  = −  ；又已知另 一远极点为－100，故期望的闭环传递函数： 101.4 142.6 100 10 ( 100)( 0.708 0.706) 10 ( ) ( ) 3 2 + + + = + +  = s s s A s s j A R s Y s 该期望方程应该与前闭环传递函数（＊＊）相同，而为了达到零稳态偏差，前面已经求出 k1 =1 。因而有： 10 100 5 10 ( ) 142.7 (6 2 ) 101.4 1 3 2 3 = + + = + = Ak A k k Ak 100 3.393 4.77 2 3 = = − = A k k 所以：系统的开环放大系数 A＝10，以及状态反馈增益阵 K＝[1, -3.393, 4.77]。 2004 年 七．（5 分/150 分）某系统的传递函数是 6 11 6 ( ) 3 2 + + + + = s s s s b G s ， 问：若要求系统为完 全能控能观，应如何选择 b ？ 解： 只要 b 不等于 1，2，3，则系统是完全能控能观的。 八．（10 分/150 分）请列写出如下图所示的信号流图的状态空间表达式。 解： 状态空间表达式： x (t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) 其中：                 − − − − = −1 −2 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 a a a a A n n n          ；                 = 1 0 0 0 b 

=b,-boan bm--boam-l..b2-boan-2 b,-boa,]: D=bo (注:图及答案均可参见教材<周春晖>P60-61或其他相关参考书 然,必须注意的是:原教材上的推导在输出部分有误。因为按图是m=n的情况,而教材 上的推导却是按m<n的情况。许多书上也是考虑的m<n的情况。) 十一、(15分150分)已知某系统通过状态反馈(K=[k1k2k3]=[3-14-5])后 获得其期望的闭环极点:λ=-1,一1,一3。请写出原系统的能控标准形的A、B阵 解: 010 原系统的能控标准形:4-001,b 0-21-10 十三、(10分/150分)已知系统的状态空间表达式 试设计观测器,使其极点为:-1.8+j2.4,-18-12.4 解:(1)判别可观性:Q6= 0/°系统可观 (2)即观测器:L=[29636 0-9Tx11「01「296 3.6 2003年 三、(10分50分)已知系统的状态转移矩阵为 p(1)= 请求出p() 3e-+4e 解:根据状态转移矩阵的运算性质有 p(m)=p(-t) 4e2+43et-x

  C = bn − b0 an bn−1 − b0 an−1  b2 − b0 an−2 b1 − b0 a1 ； D = b0 （注：图及答案均可参见教材＜周春晖＞P60-61 或其他相关参考书。 然，必须注意的是：原教材上的推导在输出部分有误。因为按图是 m=n 的情况，而教材 上的推导却是按 m<n 的情况。许多书上也是考虑的 m<n 的情况。) 十一、（15 分/150 分）已知某系统通过状态反馈（   3 14 5 K = k1 k2 k3 = − − ）后， 获得其期望的闭环极点： ＝－1，－1，－3。请写出原系统的能控标准形的 A、B 阵。 解： 原系统的能控标准形：           − − = 0 21 10 0 0 1 0 1 0 A ，           = 1 0 0 b 十三、（10 分/150 分）已知系统的状态空间表达式： u x x x x        +             =      1 0 1 0 0 20.6 2 1 2 1   ，         = 2 1 0 1 x x y ，试设计观测器，使其极点为: -1.8+j2.4, -1.8-j2.4。 解：(1) 判别可观性：       = 1 0 0 1 Q0 ；系统可观 （2）即观测器：L= [29.6 3.6] u y x x x x       +        +            − − =         3.6 29.6 1 0 ˆ ˆ 1 3.6 0 9 ˆ ˆ 2 1 2 1   2003 年 三、（10 分/150 分）已知系统的状态转移矩阵为         − + − + − − = − − − − − − − − t t t t t t t t e e e e e e e e t 4 4 3 4 3 2 3 3 ( ) 2 2 2 2  ，请求出 ( ) 1 t −  、A。 解：根据状态转移矩阵的运算性质有 = − = − ( ) ( ) 1  t  t         − + − + − − t t t t t t t t e e e e e e e e 4 4 3 4 3 2 3 3 2 2 2 2 A＝(0)  ＝       =         − − − + − + = − − − − − − − − 4 2 1 3 8 4 6 4 3 4 3 6 0 2 2 2 2 t t t t t t t t t e e e e e e e e

九、(15分/150分)已知系统(A,bc),试按能控性进行规范分解,并分别写出分解后的子 系统的状态方程 A=010,b=0|,c= 解 A=7A7=14 ,b2=rb=0 001 0 3)分解后的子系统的状态方程 可控子系统:xc=,+-2 V1= 不可控子系统:x=x2 十、(15分/150分)若系统的传递函数为G(s) (S+1)(S+2) 2Xs+3)’试求使闭 环系统的传递函数为G)=(+2) 的状态反馈增益矩阵 (S+1)(s+3) 解:因为状态反馈具有不改变零点的结论,欲消去S=-1的零点,其闭环系统的传递函 数中必有S=-1的极点。因此,其状态反馈闭环系统的传递函数为:G(s) (s+1)(s+2) (s+1)(s+3) 则题目要求应是:求反馈增益矩阵K,使闭环极点为:λ=-1,-1,-3 K=[k1k2k]=B-14-5 2002年 六.(10分/70分)系统传递函数为G(s)=1s·(S+6(S+12),试设计状态反馈,使系 物,≤5%505,≤10。主导极点s12远极点3=-100其中: op=e-n)/i-g ,tn=n/oo·√l-5)

九、（15 分/150 分）已知系统（A,b,c），试按能控性进行规范分解，并分别写出分解后的子 系统的状态方程。           − − = 1 4 3 0 1 0 1 2 1 A ，           = 1 0 0 b ，c = 1 −1 1 。 解：           − − = = − 0 0 1 1 4 2 0 4 2 1 AC T AT ，           = = − 0 0 1 1 bC T b C = CT = 1 2 −1 C 3）分解后的子系统的状态方程 可控子系统： x x x v C c c       +       − +       − = 0 1 2 2 1 4 0 4    c y 1 2 x 1 = 不可控子系统： C c x  = x c y = −x 2 十、（15 分/150 分）若系统的传递函数为 ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2) ( ) 0 − − + + + = s s s s s G s ， 试求使闭 环系统的传递函数为 ( 1)( 3) ( 2) ( ) + + + = s s s G s 的状态反馈增益矩阵 K。 解：因为状态反馈具有不改变零点的结论，欲消去 S＝－1 的零点，其闭环系统的传递函 数中必有 S＝－1 的极点。因此，其状态反馈闭环系统的传递函数为： ( 1) ( 3) ( 1)( 2) ( ) 2 + + + + = s s s s G s 则题目要求应是：求反馈增益矩阵 K，使闭环极点为： ＝－1，－1，－3。   3 14 5 K = k1 k2 k3 = − − 2002 年 六．（10 分/70 分）系统传递函数为 G(s) = 1/[s(s + 6)(s +12)] ，试设计状态反馈，使系 统的 2 2 4 0 2 0 ( ) / 1 1,2 3 , /( 1 ), 1 2 2 4 4 5% 0.5 , 10 100 2              = =  − = − + − +    = − − − p p b p p b e t ，t s 。主导极点s ，远极点s 。其中：