流体柱上的阻力：设距管中心r处的流体速度为ur，在r+dr处的相邻流层的速度为u,+dur，则流体速度沿半径方向的变化率（速度梯度）dudr两相邻流体层所产生的剪应力为t,，剪应力服从牛顿黏性定律：dur剪应力为单位面积上的内摩擦力Tr=-udr作用于流体柱上的阻力为durdur(2元rl)=-2元rlμTS=-udrdi图1-26直管阻力通式的推导
r r du dr = − 两相邻流体层所产生的剪应力为τr，剪应力服从牛顿黏性定律： (2 ) 2 r r r du du s rl rl dr dr = − = − 作用于流体柱上的阻力为 dur dr 设距管中心r处的流体速度为ur，在r+dr处的相邻流层的速 度为ur+dur，则流体速度沿半径方向的变化率（速度梯度） 剪应力为单位面积上的内摩擦力 流体柱上的阻力:
由于流体做等速运动，所以在水平方向上，所有外力之合为零，即durApdur(pi - p2)r2 = -2元rlμ整理得dr2μuldrAp常数积分得其中△p=p1-P2。在一定条件下2μlApAp+C("du,urrdr-21122ul1JR利用管壁处的边界条件，r=R时，u=O。dRe<2000unaAp(R?r2所以ur4ul上式为圆管中层流时的速度分布方程式，，为抛物线方程
0 2 u r r r R p du rdr l = − 利用管壁处的边界条件，r=R时，ur=0。可得 2 2 2 r p r u l = − +C 4 p l 2 C= R 所以 2 2 ( ) 4 r p u R r l = − 上式为圆管中层流时的速度分布方程式，为抛物线方程。 → 由于流体做等速运动，所以在水平方向上，所有外力之合为零，即 dr du p p r rl r ) 2 2 （ 1 − 2 = − 整理得 2 dur p r dr l = − 其中Δp=p1 -p2。在一定条件下 2 p l = 常数 积分得
最大流速：最大流速，是在r-0处质点的流速，所以ApR2umax4ul流量：在上图的圆柱形流体外再取厚度为dr的环形，其截面积dA=2元rdr，由于dr很小，可近似地取流体在dr层内的流速为u则通过此截面的体积流量为dqv=u.dA=u.(2元rdr),将上面的速度分布方程式代入，并在整个面积上积分得J°dq,=(Rr-r3)dr2uR4元R4△pR4元△p所以q,qy8μl242μul
( ) 2 3 0 q 2 R v p R r r dr l = − v 0 d 4 4 q 2 2 4 v p R R l = − 所以 4 q 8 v R p l = 最大流速：最大流速，是在r=0处质点的流速，所以 4 p l 2 u = max R 流量：在上图的圆柱形流体外再取厚度为d r的环形，其截面积 dA＝2π rdr，由于dr很小，可近似地取流体在dr层内的流速为ur， 则通过此截面的体积流量为dqv ＝ urdA=ur (2πrdr),将上面的速度分 布方程式代入，并在整个面积上积分得
平均流速元R4ApApR28μlApuq,R2u=max4ul元R?元R?8μl1与最大流速公式比较可知u=umax2以管径d带代替平均流速公式中的R，并改写得△p = 3 2μ l ud?称为哈根泊逻叶方程，此式表明，在层流流动时，用以克服摩擦阻力的压力差△p与流速成正比
以管径d带代替平均流速公式中的R，并改写得 ２ ｌｕ ｐ＝３２ ｄ 称为哈根泊谡叶方程，此式表明，在层流流动时，用以克服摩擦 阻力的压力差Δp与流速成正比。 平均流速 4 2 2 2 q 8 8 v R p l p R R R l = u= = 与最大流速公式比较可知 max 1 2 u= u 4 p l 2 u = max R
3）流体在圆管内流流动时的速度分布umaReK200Re40007(a)图1-17圆管内速度分布(b)瑞流时的速度分布目前还不能完全利用理论推导求得。经实验方法得出流时圆管内速度分布曲线如图b所示。此时速度分布曲线不再是严格的抛物线，曲线顶部区域比较平坦，Re数值越大，曲线顶部的区域就越广阔平坦，但靠管壁处的速度骤然下降，曲线较陡
3）流体在圆管内湍流流动时的速度分布 湍流时的速度分布目前还不能完全利用理论推导求得。经实 验方法得出湍流时圆管内速度分布曲线如图b所示。 此时速度分布曲线不再是严格的抛物线，曲线顶部区域比较平 坦，Re数值越大，曲线顶部的区域就越广阔平坦，但靠管壁处 的速度骤然下降，曲线较陡