实验一能控性能观性分析和状态反馈1实验目的1）学习系统状态空间模型的建立方法、掌握状态空间模型与传递函数相互转换的方法，掌握系统能控性和能观性分析方法；2）根据状态空间模型分析系统由初始状态和外部激励所引起的响应：3）学习极点配置状态反馈控制器的设计算法。计算机1台，MATLAB软件1套。2.实验设备3实验原理3.1设系统的状态空间模型是[x= Ax+ Bu(1)ly=Cx+Du其中：xERn是系统的状态向量，uERm是控制输入，yERP是测量输出，A是nxn维状态矩阵、B是nxm维输入矩阵、C是pxn维输出矩阵、D是直接转移矩阵。系统传递函数和状态空间模型之间的关系如式（2）所示。(2)G(s)= C(sI- A)-B + D表示状态空间模型和传递函数的MATLAB函数。函数ss（statespace的首字母）给出了状态空间模型，其一般形式是SYS=ss(A,B,C,D)函数tf（transferfunction的首字母）给出了传递函数，其一般形式是G=tf(num,den其中的num表示传递函数中分子多项式的系数向量（单输入单输出系统），den表示传递函数中分母多项式的系数向量。函数tf2ss给出了传递函数的一个状态空间实1现，其一般形式是[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)函数ss2tf给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)其中对多输入系统，必须确定iu的值。例如，若系统有三个输入ui,u2,和u3，则iu必须是1、2或3，其中1表示u1，2表示u2，3表示u3。该函数的结果是第iu个输入到所有输出的传
实验一 能控性能观性分析和状态反馈 1 实验目的 1）学习系统状态空间模型的建立方法、掌握状态空间模型与传递函数相互转换的 方法，掌握系统能控性和能观性分析方法； 2）根据状态空间模型分析系统由初始状态和外部激励所引起的响应； 3）学习极点配置状态反馈控制器的设计算法。 2. 实验设备 计算机 1 台， MATLAB 软件 1 套。 3 实验原理 3.1 设系统的状态空间模型是 x Ax Bu y Cx Du = + = + ɺ （1） 其中：x ∈ 是系统的状态向量，u∈ 是控制输入，y ∈ 是测量输出， A 是 n× n维 状 态矩阵、B 是 n× m维输入矩阵、C 是 p× n维输出矩阵、 D 是直接转移矩阵。系统 传递函数和状态空间模型之间的关系如式（2）所示。 1 G s C s A B D ( ) ( I )− = − + (2) 表示状态空间模型和传递函数的 MATLAB 函数。 函数 ss（state space 的首字母）给出了状态空间模型，其一般形式是 SYS = ss(A,B,C,D) 函数 tf（transfer function 的首字母）给出了传递函数，其一般形式是 G=tf(num,den) 其中的 num 表示传递函数中分子多项式的系数向量（单输入单输出系统），den 表示传 递函 数中分母多项式的系数向量。 函 数 tf2ss 给 出 了 传 递 函 数 的 一 个 状 态 空 间 实 ``1` 现 ， 其 一 般 形 式 是 [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 函数 ss2tf 给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是 [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) 其中对多输入系统，必须确定 iu 的值。例如，若系统有三个输入 , ,和 ，则 iu 必须 是 1、2 或 3，其中 1 表示 ,，2 表示 ,，3 表示 。该函数的结果是第 iu 个输入到所 有输出的传
递函数。[x(t) = Ax(t) + Bu(t)3.2若给定系统的状态空间模型：3(y(t) = Cx(t) + Du(t)(3)设系统的初始时刻，初始状态为，则系统状态方程的解为x(t) = eAtx(0) + et J e-At Bu(t)dtJo=e Atx(0) + e4(t-t)Bu(t)dt输出为y(t) = Ce Atx(0) + C J° ea(t-)Bu(t)dt + Du(t)(4)x(t)包括两部分，第一部分是由系统自由运动引起的，是初始状态对系统运动的影响；第二部分是由控制输入引起的，反映了输入对系统状态的影响。输出y(t)由三部分组成。第一部分是当外部输入等于零时，由初始状态x(t。）引起的，故为系统的零输入响应；第二部分是当初始状态x(t）为零时，由外部输入引起的，故为系统的外部输入响应；第三部分是系统输入的直接传输部分。3.3给定一个连续时间系统的状态空间模型：(4.1-5)X= Ax+Bu其中：x是系统的n维状态向量，u是m维控制输入，A和B分别是适当维数的已知常数矩阵。在状态反馈u=-Kx(4.2-6)作用下，闭环系统的状态方程是(4.3-7)x=(A-BK)x由线性时不变系统的稳定性分析可知，闭环系统（7式）的稳定性由闭环系统矩阵A-BK的特征值决定，即闭环系统（7式）渐近稳定的充分必要条件是矩阵A－BK的所有特征值都具有负实部。而由经典控制理论知道，矩阵A-BK的特征值也将影响诸如衰减速度、振荡、超调等过渡过程特性。因此，若能找到一个适当的矩阵K，使得矩阵A-BK的特征值位于复平面上预先给定的特定位置，则以矩阵K为增益矩阵的状态反馈控制器
递函数。 3.2 若给定系统的状态空间模型： = + = + (3) 设系统的初始时刻 ，初始状态为 ，则系统状态方程的解为 xt = 0 + " # $%$ & = 0 + ' #( $%$ & 输出为 yt = C 0 + ' #( $%$ + & (4) x t( ) 包括两部分，第一部分是由系统自由运动引起的，是初始状态对系统运动的影 响； 第二部分是由控制输入引起的，反映了输入对系统状态的影响。输出 y t( )由三部 分组成。 第一部分是当外部输入等于零时，由初始状态 0 x t( ) 引起的，故为系统的零输 入响应；第二部分是当初始状态 0 x t( ) 为零时，由外部输入引起的，故为系统的外部输入 响应；第三部分 是系统输入的直接传输部分。 3.3 给定一个连续时间系统的状态空间模型： x Ax Bu ɺ = + (4.1-5) 其中：x是系统的n 维状态向量，u 是m 维控制输入，A 和 B 分别是适当维数的已知 常数矩阵。在状态反馈 u Kx = − (4.2-6) 作用下，闭环系统的状态方程是 = − + (4.3-7) 由线性时不变系统的稳定性分析可知，闭环系统（7 式）的稳定性由闭环系统矩阵 A BK − 的特征值决定，即闭环系统（7 式）渐近稳定的充分必要条件是矩阵 A BK − 的所有特 征值都具有负实部。而由经典控制理论知道，矩阵 A BK − 的特征值也将影响诸如衰减 速度、振荡、超调等过渡过程特性。因此，若能找到一个适当的矩阵 K ，使得矩阵 A BK − 的特征值位于复平面上预先给定的特定位置，则以矩阵 K 为增益矩阵的状态反馈控制器
（6式）就能保证闭环系统（7式）是渐近稳定的，且具有所期望的动态响应特性。这种通过寻找适当的状态反馈增益矩阵K，使得闭环系统极点（即矩阵A-BK的特征值）位于预先给定位置的状态反馈控制器设计问题称为是状态反馈极点配置问题，简称为极点配置问题。对给定的线性定常系统和一组给定的期望闭环极点Q2=（入1，入2，,n），按以下步骤可以设计出使得闭环系统（7式）具有给定极点Q=（入1，入2，,入n）的状态反馈控制器（6式）。第1步：检验系统的能控性。如果系统是能控的，则继续第2步。第2步：利用系统矩阵的特征多项式det(NI - A) = >n + an-1>n-1 + ... + ai>+ ao第3步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵T。若给定的状态方程已是能控标准形，那么T=I。非奇异线性变换矩阵T可由下式确定：T=Tc[A, B](Tc[A, B])-1第4步：利用给定的期望闭环极点，可得期望的闭环特征多项式为(α -2)(α - 2) ... (α- 入n) = >n + bn-1入n-1 + ... + biα + bo并确定bo,b1,…,bn-1的值。第5步：确定极点配置状态反馈增益矩阵K：K=[bo-aobi-a1bn-2—an-2bn-1 - an-1JT也可以通过待定系数的方法来确定极点配置状态反馈增益矩阵K。根据det[(>I - (A -BK)l = (α-入)(α -入2) ...(α-入n)利用两个多项式相等的充分必要条件是等号两边入同次幂的系数相等，导出关于K的分量k1,",kn的一个线性方程组，求解该线性方程组可得要求的增益矩阵K。MATLAB软件提供了两个函数acker和place来确定极点配置状态反馈控制器的增益矩阵K。函数acker是基于求解极点配置问题的爱克曼公式，它只能应用到单输入系统，要配置的闭环极点中可以包括多重极点。函数acker和place的一般形式是：K=acker(A,B,J)K=place(A,B,J)其中的J是一个向量，J=[21，入2，,入nl，1，入2，,入n是个期望的闭环极点。得
（6 式）就能保证闭环系统（7 式）是渐近稳定的，且具有所期望的动态响应特性。这 种通过寻找适当的状态反馈增益矩阵 K ，使得闭环系统极点（即矩阵 A BK − 的特征 值）位于预先给定位置的状态反馈控制器设计问题称为是状态反馈极点配置问题，简称 为极点配置问题。 对给定的线性定常系统和一组给定的期望闭环极点 Ω= λ , λ , ⋯ , λ ，按以下 步骤可以设计出使得闭环系统（7 式）具有给定极点 Ω= λ , λ , ⋯ , λ 的状态反馈控 制 器（6 式）。 第 1 步： 检验系统的能控性。如果系统是能控的，则继续第 2 步。 第 2 步： 利用系统矩阵 的特征多项式 det(λI − A = λ + a# λ # + ⋯ + a λ + a& 第 3 步： 确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵 T。若给定的状态 方 程 已 是 能 控 标 准 形 ， 那 么 T=I。 非 奇 异 线 性 变 换 矩 阵 T 可 由 下 式 确 定 ： T=Γ3 [5, 6]Γ8 [, ] # 第 4 步： 利用给定的期望闭环极点，可得期望的闭环特征多项式为 λ − λ λ − λ ⋯ λ − λ = λ + b# λ # + ⋯ + b λ + b& 并确定b&, b , ⋯ , b# 的值。 第 5 步： 确定极点配置状态反馈增益矩阵 K ： K = [b& − a & b − a ⋯ b# − a# b# − a# ]T 也可以通过待定系数的方法来确定极点配置状态反馈增益矩阵 K 。根据 det[(λI − A − BK] = λ − λ λ − λ ⋯ λ − λ 利用两个多项式相等的充分必要条件是等号两边 λ 同次幂的系数相等，导出关于 K 的分量k , ⋯ , k的一个线性方程组，求解该线性方程组可得要求的增益矩阵 K 。 MATLAB 软件提供了两个函数 acker 和 place 来确定极点配置状态反馈控制 器的增益矩阵 K。函数 acker 是基于求解极点配置问题的爱克曼公式，它只能应用到单 输入系统，要配置的闭环极点中可以包括多重极点。 函数 acker 和 place 的一般形式是： K=acker(A,B,J) K=place(A,B,J) 其中的 J 是一个向量，J = [λ , λ , ⋯ , λ ], λ , λ , ⋯ , λ是 个期望的闭环极点。得
到了所要求的反馈增益矩阵后，可以用命令eig(A-B*K)来检验闭环极点。4.实验内容：1）求由以下状态空间模型所表示系统的传递函数，关判断系统的能控性和能观性。x[0101x00X2=01x2 + 25-25-51x3x3 [-5-120x100] x2y-[1x310s+102）试给出传递函数G(s)=的状态空间实现，判断系统的能控性和能3+6s2+5s+10观性。3）考虑由以下状态方程描述的系统：x1=[ 9。-L- 28- =6 9kX2求该系统状态对初始状态的时间响应。4）考虑以下系统：=[6 12+[ 121-X2y1i_[10xiy2=lo 11x2试给出该系统的单位阶跃响应曲线。5）考虑以下系统x=Ax+Bu[o[0]10100B=0其中：x=1[1]5-6-1 -5试设计一个状态反馈控制器u=-Kx，使得闭环系统的极点是入1=-2+j4,入2=-2-j4,入3=-10。进而，对给定的初始状态x(0)=[1100T，画出闭环系统的状态响应曲线
到了所要求的反馈增益矩阵后，可以用命令 eig(A-B*K)来检验闭环极点。 4.实验内容： 1）求由以下状态空间模型所表示系统的传递函数，判断系统的能控性和能观性。 =? 0 1 0 0 0 1 −5 −25 −5 C + 0 25 −120 y=[1 0 0] 2）试给出传递函数 3 2 10 10 ( ) 6 5 10 s G s s s s + = + + + 的状态空间实现，判断系统的能控性和能 观性。 3） 考虑由以下状态方程描述的系统： x x = D 0 1 −10 −5E ， 0 0 = [2 1 ]， y = D1 0 0 1Ex 求该系统状态对初始状态的时间响应。 4）考虑以下系统： x x = D−1 −1 6.5 0 E + D1 1 1 0E =D 1 0 0 1E 试给出该系统的单位阶跃响应曲线。 5） 考虑以下系统 x Ax Bu ɺ = + 其中： 0 1 0 0 0 1 1 5 6 x = − − − ɺ ， 0 0 1 B = 试设计一个状态反馈控制器u Kx = − ，使得闭环系统的极点是λ = −2 + H4, λ = −2 − H4, λ=-10。进而，对给定的初始状态 x0 = [1 0 0]J，画出闭环系统的状态响应 曲线
实验2状态观测器的设计实验目的1．学习观测器设计算法；2.掌握基于观测器的输出反馈控制系统设计方法。二、实验设备微型电子计算机、MATLAB2014以上版本软件三、实验原理考虑如下的线性时不变系统[x=Ax+Bu(1)y=Cx其中：x,u,和y分别是系统的n维状态向量、m维控制输入向量和p维测量输出向量A,B和C是已知的适当维数常数矩阵。根据系统模型（1)和输入输出信息构造一个系统，使得其输出(t)随着时间的推移逼近系统的真实状态x(t),即lim[x(t)-x()]=0通常称x()为x(t)的重构状态或状态估计值，而这个用以实现系统状态重构的系统为状态观测器。伦伯格观测器具有以下结构：x=Ax+ Bu1y=Cx=Ax+Bu其中的矩阵L是误差信号的加权矩阵。观测器模型是x= Ax+ Bu+ L(y- Cx)(2)=(A- LC)x+ Bu+ Ly其中：x是观测器的n维状态，L是一个nxp维的待定矩阵。状态估计误差e=x-x的动态方程：
实验 2 状态观测器的设计 一、 实验目的 1． 学习观测器设计算法； 2． 掌握基于观测器的输出反馈控制系统设计方法。 二、实验设备 微型电子计算机、MATLAB2014 以上版本软件 三、实验原理 考虑如下的线性时不变系统 x Ax Bu y Cx = + = ɺ （1） 其中： x u y , ,和 分别是系统的n 维状态向量、m 维控制输入向量和 p 维测量输出向量， A B C , 和 是已知的适当维数常数矩阵。根据系统模型（1）和输入输出信息构造一个系统， 使得其输出 xɶ(t)随着时间的推移逼近系统的真实状态 x (t) ，即lim ( ) 0 ( ) t x x t t →∞ − = ɶ 通常称 xɶ( )t 为 x t( ) 的重构状态或状态估计值，而这个用以实现系统状态重构的系统为状态观测 器。 伦伯格观测器具有以下结构： 其中的矩阵 L是误差信号的加权矩阵。观测器模型是 ( ) ( ) x Ax Bu L y Cx A - LC x Bu Ly = + + − = + + ɺɶ ɶ ɶ ɶ （2） 其中： xɶ 是观测器的n 维状态， L是一个n p × 维的待定矩阵。 状态估计误差e x x = − ɶ 的动态方程：