6.1时变系统及其状态空间模型6时变系统时变系统的特点是：其输出响应的波形不仅同输入波形有关，而且也同输入信号加入的时刻有关。这一特点增加了分析和研究的复杂性。对于时变系统来说，即使系统是线性的,也只能采用时间域的描述。描述的基本形式是变系数的微分方程或差分方程。时变系统的运动分析比定常系统要复杂得多。在工程中，应用最广的是所谓冻结系数法，这一方法的实质是在系统工作时间内，分段将时变参数“冻结”为常值，从而可分段地把系统看成为定常系统进行研究。通常，冻结参数法只对参数变化缓慢的时变系统才有效。对时变系统控制的一个可能的方案是，在采用估计器对参数进行在线估计的同时，采用自适应控制系统实现控制西安交通大学机械工程学院XIANJIAOTONGNIVERSNSCHOOLOFMECHANICALENGINEERING
6 u 时变系统 §时变系统的特点是：其输出响应的波形不仅同输入波形 有关，而且也同输入信号加入的时刻有关。这一特点增 加了分析和研究的复杂性。对于时变系统来说，即使系 统是线性的,也只能采用时间域的描述。描述的基本形式 是变系数的微分方程或差分方程。时变系统的运动分析 比定常系统要复杂得多。 §在工程中，应用最广的是所谓冻结系数法，这一方法的 实质是在系统工作时间内，分段将时变参数“冻结”为常 值，从而可分段地把系统看成为定常系统进行研究。通 常，冻结参数法只对参数变化缓慢的时变系统才有效。 §对时变系统控制的一个可能的方案是，在采用估计器对 参数进行在线估计的同时，采用自适应控制系统实现控 制。 6.1时变系统及其状态空间模型
6.1时变系统及其状态空间模型时变系统在不考虑随机噪声的影响下，线性时变系统的状态空间表达式为：x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)其系数矩阵的元素中至少有一个元素是时间的函数。西安交通大学机械工程学院SCHOOLOFMECHANICALENGINEERINGXIANJIAOTONGUNIVERSIT
7 6.1时变系统及其状态空间模型 u 时变系统 §在不考虑随机噪声的影响下，线性时变系 统的状态空间表达式为： §�(�) = �(�)�(�) + �(�)�(�) §�(�) = �(�)�(�) + �(�)�(�) §其系数矩阵的元素中至少有一个元素是时 间t的函数
6.1时变系统及其状态空间模型8【例6.1】薄壁件切削加工过程中，工件的质量和形状会不断改变，这就影响了切削过程中的动力学系统特性（质量和刚度改变），是一个典型的时变系统，切削过程中工件受力图如图6.1所示。其中mwx(t),Cwx(t),kwx(t)表示x方向的等效质量、阻尼和刚度。mwy(t),Cwy(t),kwy(t)表示y方向的等效质量、阻尼和刚度。下标w表示工件，x，y表示两个方向，i代表刀齿编号，其中Fri(t)和Fti(t)第j个齿的径向切削力和切向切削力，需要转换到直角坐标系x和y中。西安交通大学机械工程学院XIANJIAOTONGUNIVERSTSCHOOLOFMECHANICALENGINEERING
8 u 【例6.1】 §薄壁件切削加工过程中，工件的质量和形状会不 断改变，这就影响了切削过程中的动力学系统特 性（质量和刚度改变），是一个典型的时变系统 。切削过程中工件受力图如图6.1所示。其中 ���(�), ���(�), ���(�)表示x方向的等效质量、阻 尼和刚度。���(�), ���(�), ���(�)表示y方向的等 效质量、阻尼和刚度。下标w表示工件，x，y表 示两个方向，j代表刀齿编号，其中���(�)和 ���(�)第j个齿的径向切削力和切向切削力，需要 转换到直角坐标系x和y中。 6.1时变系统及其状态空间模型
6.1时变系统及其状态空间模型9mwy(t)【例6.1】Cwy(t)口kwy(t)工件Vkwx(t)/Fr;(t)Hmwx(t)Ft;(t)Cwx(t)x刀具切削过程中，工件的动力学方程可描述为：0[mwx(t)[Cwx(t)Ix(txt0Cwy(t)/ y(t)mwx(t))v(t)[kwx(t)01.81-[;8]0kwy(t)]L西安交通大学机械工程学院XIANJIAOTONGUNIVERSITSCHOOLOFMECHANICALENGINEERING
9 u 【例6.1】 § §切削过程中，工件的动力学方程可描述为： § ���(�) 0 0 ���(�) �(�) �(�) + ���(�) 0 0 ���(�) �(�) �(�) + ���(�) 0 0 ���(�) �(�) �(�) = ��(�) ��(�) 6.1时变系统及其状态空间模型
6.1时变系统及其状态空间模型10【例6.1】其中，mwx(t)，mwy(t)为x和y两个方向上的等效质量，Cwx(t)，Cwy(t)为两个方向上的等效阻尼，kwx(t),kwy(t)为两个方向上的等效刚度。Fx(t)，F,(t)为刀具作用于x和两个方向上的动态切削力。将上式转换为状态空间描述形式，状态变量选为[xi(t)yi(t) x2(t) y2(t)]T =[x(t) y(t)x(t)(t)]T,则状态方程可以表达为：0010[xi(t)[xi(t)0001yi(t)yi(t)00kwx(t)/mwx(t) Cwx(t)/mwx(t)x2(t)x2(t)00Ly2(t)- kwy(t) /mwy(t)- cwy(t)/mwy(t)/LLy2(t)0000000000000Fx(t)1/mwx(t)0001 /mwy(t)]/ [Fy(t)西安交通大学机械工程学院XIANJIAOTONGUNIVERSISCHOOLOFMECHANICALENGINEERING
10 u 【例6.1】 §其中，���(�)，���(�)为x和y两个方向上的等效质量， ���(�)，���(�)为两个方向上的等效阻尼，���(�)， ���(�)为两个方向上的等效刚度。��(�)，��(�)为刀具作 用于x和y两个方向上的动态切削力。 §将 上 式 转 换 为 状 态 空 间 描 述 形 式 ， 状 态 变 量 选 为 [�1(�) �1(�) �2(�) �2(�)]� = [�(�) �(�) �(�) �(�)]� ， 则状态方程可以表达为： § �1(�) �1(�) �2(�) �2(�) = 0 0 1 0 0 0 0 1 − ��� (�) ��� (�) 0 − ��� (�) ��� (�) 0 0 − ��� (�) ��� (�) 0 − ��� (�) ��� (�) �1(�) �1(�) �2(�) �2(�) + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ��� (�) 0 0 0 0 1 ��� (�) 0 0 ��(�) ��(�) 6.1时变系统及其状态空间模型