因此寻求极值点的方法 在导数为0的点或者是连续不可导点中去寻找 5判定极值的第一充分条件 定理9(判定极值的第一充分条件设函数y=f(x)在U(x0,3) 内连续,在U(xn,0)(或U(xn,D))内可导 (1)若当x∈(x0-6,x)时f(x)>0;当x∈(xn,x0+δ)时, f(x)<0.则x为极大值点;f(x)为f(x)的极大值 (2)若当x∈(x0-6,x)时∫(x)<0;当x∈(xnx0+δ)时, f(x)>0.则x0为极小值点;f(xn)为f(x)的极小值 (3)若当x∈U(x0,6,)时,f(x)保号,则x不为极值点 证由极值的定义及定理8可证
6 在导数为0的点或者是连续不可导点中去寻找. 定理9(判定极值的第一充分条件)设函数y =ƒ(x)在 内连续,在 (或 ) 内可导. 0 U x( , ) 0 U x( , ) 0 0 U x( , ) 0 0 0 0 0 0 (1) ( , ) ( ) 0; ( , ) ( ) 0. ( ) ( ) . x x x f x x x x f x x f x f x − + 若当 时 当 时, 则 为极大值点； 为 的极大值 5.判定极值的第一充分条件 因此寻求极值点的方法: 0 0 0 0 0 0 (2) ( , ) ( ) 0; ( , ) ( ) 0. ( ) ( ) . x x x f x x x x f x x f x f x − + 若当 时 当 时, 则 为极小值点； 为 的极小值 0 0 (3) ( , ,) ( ) , . 若当 时, 保号 则 不为极值点 x U x f x x 证 由极值的定义及定理8可证
此定理可简单叙述为:设x为连续函数f(x)的可能极值点, 若f(x在x的两侧保号,则x不是f(x)的极值点 若当x从x左侧变到右侧时,f(x)变号,则x为f(x的极 值点 因此求极值的一般步骤为: (1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号(方法:特殊取点),从而确定极值点 (3)求出极值点的函数值,即为极值 例21求函数∫(x)=(x-12(x-2)的极值. 解定义域为(-∞,+∞) f(x)=2(x-1)(x-2)3+3(x-2)2(x-1)2=(x-1)(x-2)2(5x-7)
7 因此求极值的一般步骤为: 0 x 0 f x ( ) x 0 x f x ( ) 0 x 0 x 例21 求函数 的极值. 2 3 f x x x ( ) ( 1) ( 2) = − − 此定理可简单叙述为: 设 为连续函数ƒ(x)的可能极值点, 若当x从 左侧变到右侧时, 变号, 则 为ƒ(x)的极 值点. 若 在 的两侧保号, 则 不是ƒ(x)的极值点, (1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号(方法:特殊取点),从而确定极值点; (3)求出极值点的函数值,即为极值. 解 定义域为 ( , ) − + 3 2 2 2 f x x x x x x x x ( ) 2( 1)( 2) 3( 2) ( 1) ( 1)( 2) (5 7) = − − + − − = − − −
典(x)=0得f(x)的三个驻点x1=1,x2=2,x=2无连续不可导点 5 这三个点将(∞,+∞)分为四个子区间(∞,1)(1,),(,2)2,1+0) 列表讨论如下 (x)+ 0 f(x) 极大值 极小值 无极 f(1)=0 108 3125 值 故函数有极大值f(1)=0.函数有极小值f()=-3125 例22求函数∫(x)=(x-1x2的极值 此函数的单调性在例17中已讨论,现重新列表如下
8 1 2 3 7 ( ) 0 ( ) 1, , 2 . 5 由 得 的三个驻点 无连续不可导点 f x f x x x x = = = = 7 7 (- , ) (- ,1),(1, ),( ,2),(2, ). 5 5 这三个点将 分为四个子区间 + + x 1 2 + 0 – 0 + 0 + ƒ(x) 极大值 ƒ(1)=0 极小值 无极 值 ( ,1) − 7 (1, ) 5 7 5 7 ( , 2) 5 (2, ) + f x ( ) 7 108 ( ) 5 3125 f = − 故函数有极大值ƒ(1) = 0. 函数有极小值 7 108 ( ) . 5 3125 f = − 例22 求函数 的极值. 3 2 f x x x ( ) ( 1) = − 此函数的单调性在例17中已讨论, 现重新列表如下: 列表讨论如下: