高等数学作业参考答案 作业1 、(1)不相同,定义域不同.(2)相同.(3)不相同,定义域不同.(4)不相同,对 应法则不同 二、(1)x≥-2,x≠±1.(2)(-1,0)U(0,4).(3)[-1,2].(4)[-1,2];[0, ((0,+0-1(612:()ykg1+x∈(1,1.(8)奇 原点;偶;y轴.(⑨9)(-∞,0);(0,+∞).(10)-2a2+a.(1)-3 8沁0;-cs2xsn2 0.(12) (13)[-,kx,kx+x]k∈2.(14)x (15)y=e, u= arctan, v=Vt, t =x2-1 、(1)C.(2)B.(3)D.(4)C.(5)A.(6)C 四、略 五、(1)()=,g(4)=当,g(-a)=,g(-2)=0 x<0 x|<1 (2)f(g(x))=10, 0 g(f(x)={1, 1,x>0. 1>1. (3)v= 2r,定义域h>2r 作业2 (2)xn=(-1)~2n+ 2n+3 (3)x 2n-1(4)100.(5)100 .(6)1 二、(1)C.(2)D.(3)A.(4)A.(5)D 三、(1)vc>0取N=[]+1当n>N时,有√n+1-√n1=√m+1+√n
<n<成立,()yc>0.取N=(当m>N时,有12m+1-号=2an+ 2n+1<n<c成立 四(1)ve>0,取N=[a],当n>N时,有yn2+a-1|= n(√n2+a2+n) <g<ε成立.(2)ve>0,取N=[g1],当n>N时,有10.99-11=1< 成立.(3)ve>0,取N=[],当n>N时2n2+122(2n2+1) < e成立.(4)由tn|-1al|≤|un-a|可证,反之,未必成立,如un=(-1) (5)xn有界,则存在M,使得|xn1<M,又 lim y=0,V>0,存在N,当n>N时, lyn1<所以V>0,取N=N,当n>N时,|xynl≤|xnly,<M、=c成 立 作业3 、(1)×.(2).(3)×.(4)×.(5).(6)× 二、(1)C.(2)C.(3)A.(4)D.(5)B.(6)D.(7)C 三、(1)ve>0,取8=5,当0<|x-3<8时,有(3x-1)-8|<成立 (2)ve>0,取δ=E,当0<|x+2|<δ时,有 x2-4 +2 +4<ε成立(3)c>0,取 8=2,当0<x+2<6时,有2x+1 4x-2|<c成立.(4)ve>0,取x 当1x1>X时,有1+x从/x<c成立.(5)>0,取X= 当x> 0≤<e成立.(6)e>0,限制4<x<6,x≠5,则x+5>9, X时,有 于是取b=m10,,.当0<1x-51<b时,是二-=5到< 10 x-5|<c成立 四、(1)因为lmf(x)=A,对c=1,38>0,当0<|x-x0<δ时,f(x)-A 1<1,即A-1<∫(x)<A+1,即在x0的去心δ邻域内,f(x)有界 (2)“→”若lmf(x)=A,对Ⅴe>0时,彐8>0,当0<1x-x1<δ时,有|f(x)
A|<ε所以在0<x-x<δ时,有|f(x)-A<ε所以limf(x)=A,在0< x0-x<8时,有1f(x)-A1<E,所以imf(x)=A <”若lim∫(x)=limf(x)=A,则Vε>0,彐81>0,当0<x-x0<δ1时,1f(x) A|<ε,也彐82>0,当0<xo-x<2时,f(x)-A|<e取δ=min1,62},则 当0<1x-x01<δ时,总有1f(x)-A|<ε.即证 五、(1)a=1,b=-1.(2)b=1 作业4 、(1)√;X.(2)×.(3)×.(4)x,(5)√.(6)×.(7) 二、(1)B.(2)D.(3)D.(4)D.(5)C.(6)B (1)ye>0.取8=e,当0<x-01<6时有|xn-01≤1x1<成立 所以imsn=0(2)“→” limr=0,所以Ⅴε>0.彐N,当n>N时,xn1<e.即 01<e所以im1x,|=0“”同理可证 五、(1)∞,(2)∞.(3)∞.(4)0 六、(1)当x=x时,y=2kr+ k→+∞,y无界;当x=x时,y=0,所以y不 是无穷大.(2)x∈ 10002 9998 作业5 、(1)必要;充分.(2)必要;充分.(3)必要;充分.(4)充分必要 1)1.(2)·()3(4)-1 三、(1)1.(2)不存在 四、(1)￥给定M(无论多么大),因为xn→∞,3N,当n>N1时,x,|>M,又yn→ ∞,3N2,当n>N2时,1yn1>M,取N=maxN,N2,当n>N时,xyn|>M> M成立.故x (2)e>0,x2n→a3N1,当2n>N1时,x2n-a|<e 3N2,当2n+1>N2时 N=maxN1,N2}.当n>N时,总有|xna|<c.所以xn→a
五、(1)不存在.(2)不一定.(3)不一定 六、(1)-1.(2)号.(3)1.(4)0.(5)犭.(6) 七、(1)令x,=—1 2nt* mint, =1; liming',=-1两个子列极限不同 2 (2)a=5,b=6 作业6 、(1)v.(2)3.(3)2.(4)e2.(5)x.(6)e (1)D.(2)D.(3)C.(4)C.(5)B. 略 7 四、(1)m(2){1 n =m i (3)2.(4) < 五、略 六、(1) (2) (4)-1 七、(1)e.(2)1.(3)号.(4)p=3. 作业7 一、(1)×.(2)√.(3)×.(4)√.(5)× 二、(1)0;二;振荡.(2)-1;一;可去.(3)2.(4)一;跳跃.(5)可去;无穷;可去 三、(1)D.(2)B.(3)C. 四、(1)x=-1为f(x)的跳跃间断点.(2)f(x)在[0,2]上连续 五、(1)√5.(2).(3).(4)2·(5)2.(6)8.(7)2(8)-1.(9)0 (10)e2 1<1 七、(x)=10, x=±1为跳跃间断点 x|>
八、f(x)在x0连续,所以Ⅴε>0,彐∪(xo),当x∈U(x0)时,有 lf(x)-∫(xo)<ε.即∫(x0)-ε<∫(x)<f(xo)+ε.因为f(x0)≠0,当f(x0)>0 时,可适当选取ε,使∫(xo)-ε>0,从而f(x)>0,当f(x0)<0时,可适当选取e,使 f(x0)+ε<0,从而∫(x)<0 九、因为lmf(x)=f(x)→lim|f(x)=|f(x0);反之不真,如f(x)= 在 0处 1,x<0 作业8 (1)[0,1].(2)[0,1].(3)(-∞,+∞).(4)两;[-2,-1)U(1,2] 二、令∫(x)=x- a sInr-b,因为f(0)=-b<0,f(a+b)>0,所以由介值定理, 在(0,a+b)上存在氏,使f(E)=0即证 由介值定理反证. 四、记M=maxf(x1),f(x2),…,f(xn)m=minf(x1),f(x2),,f(xn)},则 ≤[f(x1)+f(x2)+…+f(x)]≤M,由介值定理即得 五、因为imf(x)=A,取E=1,N,当|x|>N时,A-1<f(x)<A+1, 令M1=maxA-1,A+11,则在(-∞,-N)U(N,+∞)上,f(x)|<M1 又f(x)在[-N,N]上连续,所以f(x)有界,f(x)<M2x∈[-N,N], 令M=maxM1,M2},则有|f(x)<Mx∈(-∞,+∞) 六、(1)2.(2)1.(3)1.(4) 2·(5) (6)e 七由数学归纳法可证{an}单调增加且有上界(即an+1>an,an≤3),且iman=3 八、因为 lim sina2ax-2snaE=1,所以( sinar -2sinar)--(ar)3(x-0) 九、连续区间(-∞,0)∪(0,1)U(1,+∞) 间断点:x=0无穷间断点;x=1,跳跃间断点 、(1)lim(x2+2x+3-x)=1,而im(x2+2x+3-x)=∞ 所以lm(x2+2x+3-x)不存在 (2)lim COST 而lin 1-cosx n ,所以lm √1-s不存在 5