8.2线性规划的概念 口8.2.1线性规划问题 例3z圯化吋以小处甡刀为例建立了最优化模型。该 例中,污水处理效率与负荷有关所以可行域边界线有一段为曲线将例 8-1的问题稍作修改,如果污水处理厂的处理效率与废水处理量无关, 始终为n=0.85,其他条件仍相同,该如何进行选择。 解:设X:工厂的金属产量(×100kg/d); Y:送往废水处理设施处理的污染物量(×100kg/d) 建立的最优化模型成为: Max z- 400X-10oy St.0.3X-y+(1-0.85)y≤10; X<55 Y≤14; 0.3X-≌20,X20,Y≥0; 口8.2.2线性规划问题的标准形式
8.2 线性规划的概念 8.2.1 线性规划问题 例8-2 在上节讨论优化问题时,以水处理方案为例建立了最优化模型。该 例中, 污水处理效率与负荷有关,所以可行域边界线有一段为曲线.将例 8-1的问题稍作修改, 如果污水处理厂的处理效率与废水处理量无关， 始终为η=0.85，其他条件仍相同，该如何进行选择。 解：设X: 工厂的金属产量 (×100 kg/d)； Y: 送往废水处理设施处理的污染物量 (×100 kg/d)； 建立的最优化模型成为： Max Z＝ 400X-100Y S.t. 0.3X－Y +(1-0.85）Y ≤10； X≤55； Y≤14； 0.3X-Y≥0, X≥0, Y≥0； 8.2.2 线性规划问题的标准形式
例8-3农药管理问题。 口一个容积为100000m3的湖泊,湖水的平均停留时间为6个月,周围 有1000ha农田,农作物上施加的一部分农药会流失到湖中,并危害 科吃鱼的鷹、环俣部门相知道加答理农田扌不致对鹰造戚危害 生物学的研究证明湖水中的农药在食物链中被富集,并按几何级数增 长。设湖水中的农药浓度为C1(ppm),湖水中的藻类中的农药浓 度为C2(ppm),食藻鱼体内浓度为C3(ppm),食鱼的鹰体内浓度为 C4(ppm),鹰的最大耐药浓度为100ppm。在1000ha农田上种植 两种农作物,它们具有不同的收益和农药施加量具体数据如下 农药施加量农药流失率 作物收入作物费用 作物 (kg/ha) % S/ha s/ha 蔬菜 15 300 160 粮食 2.5 1150 50 日Maxz=140X1+100X2 目S.t.0.9X1+0.5X2≤632.5 口X1+X2≤1000 口Ⅹ1,X220
例8-3农药管理问题。 一个容积为 100000m3的湖泊,湖水的平均停留时间为6个月,周围 有1000ha 农田,农作物上施加的一部分农药会流失到湖中,并危害 到吃鱼的鹰。环保部门想知道如何管理农田才不致对鹰造成危害， 生物学的研究证明湖水中的农药在食物链中被富集,并按几何级数增 长。设湖水中的农药浓度为 C 1 (ppm),湖水中的藻类中的农药浓 度为C 2(ppm),食藻鱼体内浓度为C 3(ppm),食鱼的鹰体内浓度为 C 4(ppm),鹰的最大耐药浓度为100ppm。 在1000ha农田上种植 两种农作物,它们具有不同的收益和农药施加量具体数据如下： Max Z＝140X1+ 100X2 S.t. 0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5 X1+ X2 ≤1000 X1,X2≥0 作物 农药施加量 (kg/ha) 农药流失率 % 作物收入 $/ha 作物费用 $/ha 蔬菜 6 15 300 160 粮食 2.5 20 150 50
8.2.2线性规划问题的标准形式 Max(Min z=C,X+C,x,+.+Cnx S t LPpa2rr,+a2x2 tx%,FI X,+a1X、++ 1141 b a,X<,=,≥b amX1+an2X2+…+amYn≤=,≥bm X,,X,…X.≥0 如果将不等式约束条件,全部使用“≤”表示,称为线性规划问题的典则 形式。我们还可以将一般形式转化为线性规划问题的标准形式。线性规划问题的标 准形式可采用如下的矩阵表达式: Mxz=CX其中C=( 一a1a12…a1n 1:-2∵n s t AX=B X=(XX,,X,A 2122 X≥0 B=(b1,b2…bn -mI a C
8.2.2 线性规划问题的标准形式 ( ) ... ) 1 1 2 2 n Xn Max Min Z = c X + c X + + c + + + = + + + = + + + = m m m n n m n n n n a X a X a X b a X a X a X b a X a X a X b LP ... , , ... , , ... , , ( ) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ．．．．．．． X1 , X 2 ,..., X n 0 S.t. 如果将不等式约束条件，全部使用“≤”表示，称为线性规划问题的典则 形式。我们还可以将一般形式转化为线性规划问题的标准形式。线性规划问题的标 准形式可采用如下的矩阵表达式： = = 0 . . X AX B CX st MaxZ ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) 1 2 1 2 1 2 T m T n n b b b X X X c c c = = = B X C = m m mn n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 A 其中
8.3图解法解二维线性规划问题 口在线性规划问题中,如果只含有两个变量时,称为二维线性规划问题,就可 以用图解法求解。 口83.1可行域和目标线 口线性规划问题图解法过程: 口樨 据线性规划回题的约束条件,画出约束条件函数线,围出满足全部约束条 的解的可行域 口根据线性规划问题的目标函数,对确定的Z值(目标值可任意给定),画出 目标函数的投影线。变动Z值,确定目标函数增大或减小的方向; 口根据线性规划回题目标图数松大化或极小焦要求,在线性规划趣解的可 域上平行移动目标函数投影线,找到平行线与可行域相接的最终迈际点, 定问题的最优解
8.3 图解法解二维线性规划问题 在线性规划问题中，如果只含有两个变量时，称为二维线性规划问题，就可 以用图解法求解。 8.3.1 可行域和目标线 线性规划问题图解法过程： 根据线性规划问题的约束条件，画出约束条件函数线，围出满足全部约束条 件的解的可行域； 根据线性规划问题的目标函数，对确定的 Z 值（目标值可任意给定），画出 目标函数的投影线。变动Z 值，确定目标函数增大或减小的方向； 根据线性规划问题目标函数极大化或极小化要求，在线性规划问题解的可行 域上平行移动目标函数投影线，找到平行线与可行域相接的最终边际点，确 定问题的最优解
Max z= 400X-100y St.0.3X—y+(1-0.85)Y≤10; X≤55; y≤14 0.3Xy20,X20y20; z=1300 16 1Y=14 14 12 21235 !0.3X-yY= 可行域 6 4 1.3x0.85=10 55 50 70
Max Z＝ 400X-100Y S.t. 0.3X－Y +(1-0.85）Y ≤10； X≤55； Y≤14； 0.3X-Y≥0, X≥0, Y≥0；