厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 第六章特征值 §6.1特征值和特征向量 教学目的和要求掌握特征值与特征向量,特征子空间,特征多项式的概念,掌 握复数域上的矩阵可以相似于上三角矩阵并应用于讨论问题.掌握判断和计算特征 值和特征向量的方法.注意矩阵与线性变换的对应结论.注意特征值的概念与数域 有关 特征值与特征向量 定义1设φ是n维线性空间V的线性变换.若存在A∈K,0≠a∈V,使 g(a)=Aa,则称入为线性变换φ的一个特征值,a称为φ关于特征值λ的特征 向量 注1设α是φ的属于特征值λ的特征向量,则α不是φ的属于另一个特征 值μ的特征向量.否则Aa=y(a)=a.所以(A-1)a=0,A≠p,所以a=0矛 盾 命题1设φ是n维线性空间V的线性变换,λ是φ的特征值,则 VA={a∈v|g(a)=a} 是V的子空间,且是φ不变子空间,称为φ的属于特征值λ的特征子空间. 证明V由φ的关于λ的所有特征向量和零向量组成,易证知V对于加法和数 乘封闭,因而是V的子空间.对于任意的a∈W,φ(a)∈V且y(y(a))=g(λa)= λ(a).所以φ(a)∈V,故认是φ不变子空间.口 注2设α是φ的关于λ的特征向量,β是φ的关于μ的特征向量,A≠p, 则a+β不是φ的特征向量.(留作思考题) 在同构意义下,我们有
| MB(!%` 3i IP *s 59.77.1.116; b gdjpkc.xmu.edu.cn $%' &() §6.1 .mrL.mFq j:.mr`.mFq.m{j[.m2E&j :>$a&dliTD(__dl[\_-x8/j: /LW*.m rL.mFq&85yVdl`CK R&0[bxyV.mr&`$a ^H R.mr`.mFq 1 ϕ n 6CKj[ V &CK R e λ ∈ K, 0 6= α ∈ V , ϕ(α) = λα, f λ 5CK R ϕ &RC.mr α 5 ϕ H_.mr λ &.m Fq ! 1 α ϕ &"_.mr λ &.mFqf α ϕ &"_tRC.m r µ &.mFq=f λα = ϕ(α) = µα. +T (λ − µ)α = 0, λ 6= µ, +T α = 0 z 1 1 ϕ n 6CKj[ V &CK R λ ϕ &.mrf Vλ = {α ∈ V | ϕ(α) = λα} V &{j[ ϕ- {j[5 ϕ &"_.mr λ &.m{j[ Vλ ℄ ϕ &H_ λ &+^.mFqLsFq}Uop Vλ 0_Y5L$ < Z3 V &{j[0_V& α ∈ Vλ, ϕ(α) ∈ V ϕ(ϕ(α)) = ϕ(λα) = λϕ(α). +T ϕ(α) ∈ Vλ, G Vλ ϕ- {j[ 2 ! 2 α ϕ &H_ λ &.mFq β ϕ &H_ µ &.mFq λ 6= µ, f α + β ϕ &.mFq (v&h/). e2FVW?9}^ 1
定义2设A∈Kmxm,若存在0≠X∈Km×,A∈K,使得AX=AX,则称入 为A的一个特征值,ⅹ称为A关于特征值λ的特征向量 定义3设A∈Kn×n,A为A的一个特征值,V={X∈K×1|AX=AX} 称为A的属于特征值入的特征子空间 注3设φ∈C(V),φ在V的组基51,2,…,5n下矩阵为A,a∈V,a在 51,52,…,5n下的坐标向量为X.则有 Aa=A(51,52,……,5n)X=(51,52,…,5n)AX, )=(51,52,……,n)X)=9(51,52,……,5n)X=(51,52,…,5n)AX, 所以φ(a)=分AX=AX. 特征多项式 定义4设A∈K×n,称 JAI-AI 122 为A的特征多项式,记为f4(入 注4设λ是A的特征值,则存在0≠X∈Kmx,使AX=AX,所以(AI A)X=0.故|I-A=0,即入是fA(从)的根.反之,若入是fA(入)的根且A∈K, 则由(X-A)X=0可知(MI-A)X=0有非零解,即存在0≠X∈Kmx,使 AX=AX.所以fA()的在K上的根是A的特征值 命题2∫A(入)=f4( 证明|-4=|I-A1.口 命题3设A,B∈K×n,A相似于B,则fA(A)=fB().所以A和B有相同的 特征值. 证明因为A与B相似,故存在可逆阵P∈Kmx,使B=P-1AP.所以 fB()=JAI-B= JAP-P-P-API=IP-(AI-A)Pl=JAI-Al=fA(A).O
2 A ∈ Kn×n , e 0 6= X ∈ Kn×1 , λ ∈ K, % AX = λX, f λ 5 A &RC.mr X 5 A H_.mr λ &.mFq 3 A ∈ Kn×n , λ 5 A &RC.mr Vλ = {X ∈ Kn×1 | AX = λX} 5 A &"_.mr λ &.m{j[ ! 3 ϕ ∈ L(V ), ϕ e V &R}S ξ1, ξ2, · · · , ξn ?dl5 A, α ∈ V , α e ξ1, ξ2, · · · , ξn ?& Fq5 X. f^ λα = λ(ξ1, ξ2, · · · , ξn)X = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)λX, ϕ(α) = ϕ((ξ1, ξ2, · · · , ξn)X) = ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn)X = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)AX, +T ϕ(α) = λα ⇔ AX = λX. 4.m2E 4 A ∈ Kn×n , | λI − A | = λ − a11 −a12 · · · −a1n −a21 λ − a22 · · · −a2n · · · · · · · · · · · · −an1 −an2 · · · λ − ann 5 A &.m2EX5 fA(λ). ! 4 λ A &.mrf e 0 6= X ∈ Kn×1 , AX = λX, +T (λI − A)X = 0. G |λI − A| = 0, V λ fA(λ) &E7q λ fA(λ) &E λ ∈ K, f℄ (λI − A)X = 0 ip (λI − A)X = 0 ^:s V e 0 6= X ∈ Kn×1 , AX = λX. +T fA(λ) &e K &E A &.mr 2 fA(λ) = fA ′(λ). |λI − A| = |λI − A′ |. 2 3 A, B ∈ Kn×n ,A D(_ B, f fA(λ) = fB(λ). +T A L B ^D2& .mr Z5 A ` B D(G eil P ∈ Kn×n , B = P −1AP. +T fB(λ) = |λI − B| = |λP −1P − P −1AP| = |P −1 (λI − A)P| = |λI − A| = fA(λ). 2 2
注5相似矩阵有相同的特征值,反之未必. 例1设A= B 则A与B有相同的特征值,但它们不相 似事实上,若A相似于B,则存在可逆阵P=(,使得PBP1=A.故有 d -b 1/△ 10 d 01 △+ 这里△=ad-bc≠0.易见a=c=0,△=0.矛盾 注6若A相似于三角阵U,则U的对角元即为A的特征值 注7设φ是n维空间V的线性变换,在某一组基下的矩阵为A,定义φ的特 征多项式为A的特征多项式,记f().即f()=fA()).因为φ在不同基下的矩 阵是相似的,相似的矩阵有相同的特征多项式,所以这样的定义是合理的 注8设A=(a1)nxn,fA(入)=|-A|=+a1-1 考虑|-4的展开式,可得到 (a11+a2+…+ann)=-tr(A),an=(-1)4 设fA(A)=(X-A1)(X-A2)…(A-An),由韦达定理知 a1=-(A1+A2+…+An),an=(-1)21)2…入 因而 tr(4)=A1+A+…+An,|4|=A1A2…An 般地,有如下定理: 定理设A=(a1)nxn2,A的特征多项式 则 b=(-1) 1<i1<i2<…<ik<n
! 5 D(dl^D2&.mr7q7 1 A = 1 0 0 1 , B = 1 1 0 1 , f A ` B ^D2&.mr",}D ( A D(_ B, f eil P = a b c d , % PBP −1 = A. G^ 1 △ a b c d 1 1 0 1 d −b −c a = 1 △ △ − ac a2 −c 2 △ + ac = 1 0 0 1 , km △ = ad − bc 6= 0. U\ a = c = 0, △ = 0. z1 ! 6 A D(__l U, f U &0_ V5 A &.mr ! 7 ϕ n 6j[ V &CK ReR}S?&dl5 A, ,W ϕ &. m2E5 A &.m2EX fϕ(λ). V fϕ(λ) = fA(λ). Z5 ϕ e2S?&d l D(&D(&dl^D2&.m2E+TkO&,W Nl& ! 8 A = (aij )n×n, fA(λ) = |λI − A| = λ n + a1λ n−1 + · · · + an−1λ + an hw |λI − A| &ggi%$ a1 = −(a11 + a22 + · · · + ann) = −tr(A), an = (−1)n |A|. fA(λ) = (λ − λ1)(λ − λ2)· · ·(λ − λn), ℄4 ,lp a1 = −(λ1 + λ2 + · · · + λn), an = (−1)nλ1λ2 · · · λn. Z3 tr(A) = λ1 + λ2 + · · · + λn, |A| = λ1λ2 · · · λn. R)^?,l A = (aij )n×n,A &.m2E fA(λ) = |λI − A| = λ n + b1λ n−1 + · · · + bn−1λ + bn, f bk = (−1)k X 1≤i1<i2<···<ik≤n ai1i1 ai1i2 · · · ai1ik ai2i1 ai2i2 · · · ai2ik · · · · · · · · · · · · aiki1 aiki2 · · · aikik 3
其中1≤k≤m,和号 表示对满足i<i<…<k的所有可能的 至n中的整数i1,l2,…,k求和,特别地 b1 bn=(-1)4 证明留做”挑战习题”,也可参阅有关参考书 特征值与特征向量的计算 第一步:求∫A(入)=|A-4 第二步:求fA()的所有根其中在K上的根为特征值; 第三步:对每个特征值λ0,求(01-4)X=0的基础解系X1,X2…,X,则 k1X1+k2X2+…+k3X3,其中k不全为0,为所求对应λ的特征向量 例2求0ab的特征值与特征向量1,a,d两两互异,b≠0 解 fA(入) A-a-b=(X-1)-a)(-d) 00 0 当A1=1时,A1-A=01-a-b,X1=0,k≠0 001-d a-100 0 当A=a时,A21-A=00-b X k|,k≠ 00a-d 0 d-100 当A3=d时,A3I-A=0d k,k≠0 例3求22 的特征值与特征向量. 解 f4(x)=-2x-2
v 1 ≤ k ≤ n, LK X 1≤i1<i2<···<ik≤n Æ0y| i1 < i2 < · · · < ik &+^i& 1 t n v&n$ i1, i2, · · · , ik L.) b1 = − Xn i=1 aii, bn = (−1)n |A|. v~ ” 0h=/ ”, Qid^Hh! 2 .mr`.mFq&W* +R fA(λ) = |λI − A|; +4 fA(λ) &+^E ve K &E5.mr +0{C.mr λ0, (λ0I − A)X = 0 &S > X1, X2, · · · , Xs, f k1X1 + k2X2 + · · · + ksXs, v ki Æ5 0, 5+ 0[ λ0 &.mFq 2 1 0 0 0 a b 0 0 d &.mr`.mFq 1, a, d ppPY b 6= 0. fA(λ) = λ − 1 λ − a −b λ − d = (λ − 1)(λ − a)(λ − d). # λ1 = 1 λ1I − A = 0 0 0 0 1 − a −b 0 0 1 − d , X1 = k 0 0 , k 6= 0. # λ2 = a λ2I − A = a − 1 0 0 0 0 −b 0 0 a − d , X2 = 0 k 0 , k 6= 0. # λ3 = d λ3I − A = d − 1 0 0 0 d − a −b 0 0 0 , X3 = 0 b d−a k k , k 6= 0. 3 3 1 −1 2 2 −1 2 2 0 &.mr`.mFq fA(λ) = λ − 3 −1 1 −2 λ − 2 1 −2 −2 λ = (λ − 1)(λ − 2)2 . 4
当λ1=1时, -201 A1-4)=-2-11 010 2-21 000 所以属于特征值λ=1的特征向量是X1=(k,0,2k),0≠k∈K 当A2=A3=2时, (2-A)=-201→-201 所以属于特征值A2=A3=2的特征向量是(k,k,2k),0≠k∈K 例4在有理数城上求(1-)的特征值 解λ12=±,无有理特征值 四.上三角标准型及其应用 定理任一复方阵必(复)相似于一上三角阵 证明法一(矩阵方法) 设A∈Cmx,对n作归纳法.当n=1时,结论显然.设对n-1阶成立.对 n阶方阵A,A至少有一特征值A∈C,相应的一个特征向量为X1∈Cnx1,即 AX1=入1X1 将X1扩为Cnx1的一组基X1,X2,…,Xn,令B1=(X1,X2,…,Xn),则P1是复可 逆阵,且AP=B(0 因为A1是C上n-1阶方阵,由归纳假设,存在n-1阶复可逆阵P使 P21A1P2为上三角阵L,令P=B 0 P 则P是复可逆阵,且 P-4P=( 法二(线性变换角度).先将其“翻译”为线性变换描述形式.对n作归纳法. 当n=1时,A视作φ:V→V(其中dimV=1)在V的一组基下的表示矩阵
# λ1 = 1 (λ1I − A) = −2 −1 1 −2 −1 1 −2 −2 1 → −2 0 1 0 1 0 0 0 0 , +T"_.mr λ1 = 1 &.mFq X1 = (k, 0, 2k) ′ , 0 6= k ∈ K. # λ2 = λ3 = 2 (λ2I − A) = −1 −1 1 −2 0 1 −2 −2 2 → 1 −1 0 −2 0 1 0 0 0 , +T"_.mr λ2 = λ3 = 2 &.mFq (k, k, 2k) ′ , 0 6= k ∈ K. 4 e^l$a 0 −1 1 0 &.mr λ1,2 = ±i, ;^l.mr '_ zHU [\ R>8l (>) D(_R_l ( ). A ∈ C n×n , 0 n I5# n = 1 bxB0 n − 1 ao0 n a8l A, A t^R.mr λ1 ∈ C, D[&RC.mFq5 X1 ∈ C n×1 , V AX1 = λ1X1. ^ X1 k5 C n×1 &R}S X1, X2, · · · , Xn. u P1 = (X1, X2, · · · , Xn), f P1 >i l AP1 = P1 λ1 ∗ 0 A1 . Z5 A1 C n − 1 a8l℄IZ e n − 1 a>il P2 P −1 2 A1P2 5_l L, u P = P1 1 0 0 P2 , f P >il P −1AP = λ1 ∗ 0 L . ( ). A^ 6X5CK R#I0 n I5 # n = 1 A ϕ : V → V ( v dimV = 1) e V &R}S?&Ædl 5