厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn §7.7若当标准型的进一步讨论 教学目的与要求从线性空间的角度理解 ordan标准型的几何意义;理解 Jordan 标准型的若干数量对应的几何意义;了解第一分解定理和第二分解定理;掌握根子 空间,循环子空间的概念;理解循环子空间是最小的不变子空间.学会用 Jordan标 准型解决一些问题. 设φ是C上n维线性空间V的线性变换,φ的初等因子组为 A-A),(入-A2)2,…,(入-A), 则存在V的一组基51,52,…,5n,使得 J2 y(51,52,……,5n)=(51,52,…,5n) 其中J= 是相应于(-A)的若当块 入 第二分解定理 令ⅵ=L(51,2,…,5n1),则 p(51)=入151 (1)y(s2)=h2+51, y(5n1)=A15n1+5n1-1, 故φ(V)sV,即ⅵ是φ子空间.同理,令V=L(51+1,51+2,…,52+), n1+r2+…+r-1,即V对应若当块J,对应初等因子(A-入),则v是φ子 空间,故有V=V⊕V⊕…⊕V是φ-子空间的直和分解
H X*#2b >t IP +~ 59.77.1.116; p gdjpkc.xmu.edu.cn § 7.7 %ÆS(g_8 Æ LUp℄(a/tf Jordan ÆS(XLb tf Jordan ÆS( ?1y1g(XLb zf,_<f-tK,5<f-tuDB p℄YOp℄(>tfYOp℄. P( p℄WRi Jordan Æ Sfl_QB: $ ϕ . C " n ALUp℄ V (LU Q ϕ ()e (λ − λ1) r1 ,(λ − λ2) r2 , · · · ,(λ − λk) rk , s r V (_ S ξ1, ξ2, · · · , ξn, *' ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn) J1 J2 . . . Jk , Ji = λi 1 . . . . . . . . . 1 λi ri .Mgm (λ − λi) ri ( %q _,5<f-t } V1 = L(ξ1, ξ2, · · · , ξr1 ), s (1) ϕ(ξ1) = λ1ξ1, ϕ(ξ2) = λ1ξ2 + ξ1, · · · ϕ(ξr1 ) = λ1ξr1 + ξr1−1, D ϕ(V1) ⊆ V1, W V1 . ϕ- p℄<t} Vj = L(ξtj+1, ξtj+2, · · · , ξtj+rj ), tj = r1 + r2 + · · · + rj−1, W Vj 1g %q Jj , 1g)e (λ − λj ) rj , s Vj . ϕ- p℄Dk V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk . ϕ- p℄(|K<f 1
由(1)式可得 (y2-A1id)s1=0, (y2-A1id)52=51, (y-入1id)sn1=5r 记a=n1,v=y-1id,则 5r-2=v2(a 51=v-(a) 0=v( 即a,v(a),v2(a),…,v-a)构成V的基,且v(a)=0 定义1V的r维子空间V称为线性变换v的循环子空间,若存在a∈V, 使a,v(a),v2(a),…,vr-(a)为V的一组基且wr(a)=0,此时,称vr-1(a), v-2(a),…,v(a),a为V的循环基 注1循环子空间是ψ-子空间 定理1设φ是C上n维空间V的线性变换,设φ的初等因子为 A-A),(入-A2)2,…,(A-A)”, 则V=ⅵ⊕V⊕…⊕V,这里v是维数为r;的关于(φ-λid)的循环子空间 二.第一分解定理 将定理1中属于λ的循环子空间加在一起构成V的一个子空间, R(A1)=V…⊕V 其中ⅵ对应J,对应(X-A),1≤i≤t,则V=R(A1)⊕R(A2)…⊕R(A),这 里A1,A2,…,入是φ的全部不同的特征值,dimR(A)=A在f()中的重数(λ 的代数重数) 引理1R(A1)={v∈W|(9-A1id)2(v)=0},l1=max{r1,r2,…,r} 证明对任意的∈V,1≤i≤t,(9-A1id)(v)=0,所以R(A)s{ (y-Aid)2(v)=0}
j (1) +o' (ϕ − λ1id)ξ1 = 0, (ϕ − λ1id)ξ2 = ξ1, · · · , (ϕ − λ1id)ξr1 = ξr1−1, Y α = ξr1 , ψ = ϕ − λ1id, s ξr−1 = ψ(α), ξr−2 = ψ 2 (α), · · · , ξ1 = ψ r−1 (α), 0 = ψ r (α), W α, ψ(α), ψ2 (α), · · · , ψr−1 (α) C V1 (S ψ r (α) = 0. 1 V ( r Ap℄ V0 LU Q ψ (YOp℄ r α ∈ V0, * α, ψ(α), ψ2 (α), · · · , ψr−1 (α) V0 (_ S ψ r (α) = 0, ( ψ r−1 (α), ψ r−2 (α), · · · , ψ(α), α V0 (YOS 1 YOp℄. ψ- p℄ 1 $ ϕ . C " n Ap℄ V (LU Q$ ϕ ()e (λ − λ1) r1 ,(λ − λ2) r2 , · · · ,(λ − λk) rk , s V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk, vu Vi .A1 ri (Em (ϕ − λiid) (YOp℄ 5,_<f-t _-t 1 0m λ1 (YOp℄[r_C V (_Ap℄ R(λ1) = V1 ⊕ · · · ⊕ Vt , Vi 1g Ji , 1g (λ − λi) ri , 1 ≤ i ≤ t, s V = R(λ1) ⊕ R(λ2) ⊕ · · · ⊕ R(λs), v u λ1, λ2, · · · , λs . ϕ (<(9x} dimR(λi) = λi r fϕ(λ) (1 (λi ("11). 1 R(λ1) = {v ∈ V |(ϕ − λ1id) l1 (v) = 0}, l1 = max{r1, r2, · · · , rt}. 1 b( v ∈ Vi , 1 ≤ i ≤ t,(ϕ − λ1id) ri (v) = 0, 6` R(λ1) ⊆ {v ∈ V |(ϕ − λ1id) l1 (v) = 0}. 2
反之,因V,1≤j≤k是φ子空间,因而也是(-A1id)-子空间设 V(9-A1id)4()=0,在U=n1+2+…+k,v∈V中假设0≠v∈V,t<j≤k 设V的基为5h+1,5h+2,……,5h+r;,h=n1+…+r-1,则 5h+r)=(5h+1,5h+2,…,5h+;) 所以 入;-A11 (y-A1il)2(5h+1,…,5h+n)=(5h+1,…5h+) 11 因为入≠A,所以 为可逆矩阵,故(y-A1id) 入-A1 在 V的限制映射为可逆映射,故(-A1id)(vy)≠0.因为v=V⊕V田…⊕V是 (y-A1id)-不变子空间的直和分解,所以(-A1id)u≠0,矛盾 这就证明了v在不属于A1的每个循环子空间的分量为零,故U∈R(A1) 注2从证明过程中可以看出引理中R(A1)={v∈V|(y-Aid)m(v)=0} 定义2设A是C上n维空间上线性变换φ的特征根,则R(0)={∈ V|(φ-λ1id)n()=0}构成V的子空间,称为属于特征根入o的根子空间 注3根子空间是φ-子空间. 注4R(0)=ker(y-Aidn 注5R(AM0)可表为若干个循环子空间的直和,每个循环子空间对应一个若当块 上面引理1对其余R(A)也成立,故有:
8{e Vj , 1 ≤ j ≤ k . ϕ- p℄e4℄. (ϕ − λ1id) l1 - p℄$ v ∈ V,(ϕ−λ1id) l1(v) = 0, r v = v1+v2+· · ·+vk, vi ∈ Vi \$ 0 6= vj ∈ Vj , t < j ≤ k, $ Vj (S ξh+1, ξh+2, · · · , ξh+rj , h = r1 + · · · + rj−1, s ϕ(ξh+1, ξh+2, · · · , ξh+rj ) = (ξh+1, ξh+2, · · · , ξh+rj ) λj 1 . . . . . . . . . 1 λj , 6` (ϕ − λ1id) l1 (ξh+1, · · · , ξh+rj ) = (ξh+1, · · · , ξh+rj ) λj − λ1 1 . . . . . . . . . 1 λj − λ1 l1 , e λj 6= λ1, 6` λj − λ1 1 . . . . . . . . . 1 λj − λ1 l1 oiwD (ϕ − λ1id) l1 r Vj (Kh#oh#D (ϕ − λ1id) l1 (vj ) 6= 0. e V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk . (ϕ − λ1id) l1 - p℄(|K<f6` (ϕ − λ1id) l1 v 6= 0, 2 vhyz v r0m λ1 (AYOp℄(<y{D v ∈ R(λ1). 2 2 yIo`nft R(λ1) = {v ∈ V |(ϕ − λ1id) n (v) = 0}. 2 $ λ0 . C " n Ap℄"LU Q ϕ (9xBs R(λ0) = {v ∈ V |(ϕ − λ1id) n (v) = 0} C V (p℄0m9xB λ0 (Bp℄ 3 Bp℄. ϕ- p℄ 4 R(λ0) = ker(ϕ − λ1id) l . 5 R(λ0) o ?AYOp℄(|KAYOp℄1g_A %q "ft 1 1n R(λi) ℄wDk 3
定理2设φ是C上n维线性空间V的线性变换,φ的不同特征值为A1 则 R(A入1)⊕R(A2)⊕…⊕R(入) 其中R(A)是入的根子空间,dimR(A)=入的代数重数,R(A)可表为若干个循 环子空间的直和 特征子空间 记A为9的特征根,V1={∈Vp(v)=A1}是A1的特征子空间,显然有 Vx1sR(A1)=V⊕…⊕V,那么V1在哪里呢? 因为Ⅵ是φ-子空间,记≤1,52,…,5n1是V的循环基 ylh(51,52,…,5n)=(51,2,…,5n) 入 易知1∈Vx1,又因为r(入1I-J1)=r1-1,所以V中只有一个线性无关的特征向 量.同理,V,1≤j≤t中只有一个线性无关特征向量 进一步,51,5n1+1,5n1+n+1,…,5n+…+m1-1+1,这t个向量来自R(A1)的不同直 和项,它们是线性无关的属于入1的特征向量.又因为 入1In1-J 入1Ir2-J2 入1I-J 因为 r(1l2-J) 7-1;1≤j≤ ;t<i<k 故r(1I-J)=1+2+…+rk-t=n-t,所以dimV1=t.这样51,5n1+1,5n1+2+1 ,5n1+…+1-1+1构成V1的基 引理2φ的若干标准形中属于特征值λ的若当块的个数等于λ的几何重数! 注6φ的所有特征值的几何重数等于代数重数 兮φ的若当标准形中属于λ的若当块数等于属于λ的若当块的阶数之和;
2 $ ϕ . C " n ALUp℄ V (LU Qϕ (<9x} λ1, λ2, · · · , λs, s V = R(λ1) ⊕ R(λ2) ⊕ · · · ⊕ R(λs) R(λi) . λi (Bp℄ dimR(λi) = λi ("11 R(λi) o ?AY Op℄(|K !9xp℄ Y λ1 ϕ (9xB Vλ1 = {v ∈ V |ϕ(v) = λ1v} . λ1 (9xp℄J k Vλ1 ⊆ R(λ1) = V1 ⊕ · · · ⊕ Vt , Vλ1 r u e V1 . ϕ- p℄Y ξ1, ξ2, · · · , ξr1 . V1 (YOS ϕ|V1 (ξ1, ξ2, · · · , ξr1 ) = (ξ1, ξ2, · · · , ξr1 ) λ1 1 . . . . . . . . . 1 λ1 r1 az ξ1 ∈ Vλ1 , le r(λ1I − Jλ1 ) = r1 − 1, 6` V1 k_ALUEE(9xO y<t Vj , 1 ≤ j ≤ t k_ALUEE9xOy g_ ξ1, ξr1+1, ξr1+r2+1, · · · , ξr1+···+rt−1+1, v t AOys R(λ1) (<| KN7.LUEE(0m λ1 (9xOyle λ1I − J = λ1Ir1 − J1 λ1Ir2 − J2 . . . λ1Irk − Jk , e r(λ1Irj − Jj ) = rj − 1; 1 ≤ j ≤ t rj ;t < j < k D r(λ1I −J) = r1+r2+· · ·+rk−t = n−t, 6` dimVλ1 = t. v[ ξ1, ξr1+1, ξr1+r2+1, · · ·, ξr1+···+rt−1+1 C Vλ1 (S 2 ϕ ( ?ÆT0m9x} λi ( %q(A1)m λi (XL1 6 ϕ (6k9x}(XL1)m"11 ⇔ ϕ ( %ÆT0m λi ( %q1)m0m λi ( %q(d1{K 4
兮J是对角阵; 兮φ可对角化 四.V的不可分解性 取Ⅵ的基ξ1,52,…,5r, y(51,2,…,5)=(51,52,…,5r) 引理3(1)V中包含￡的φ子空间只有V本身 (2)Ⅵ的任意φ子空间均包含51 (3)V不能分解成为两个非平凡的φ子空间的直和 证明y(51)=A151,y(5)=A15a+-1,2≤i≤r (1)设W是Ⅵ的包含5的φ子空间,y(5r)=A15r+5-1,所以5-1∈W, 进一步有51,52,…,s∈W,所以W=V (2)设W是V的φ子空间,任意0≠a∈Wa=a151+…+an5r ar,ar-1,……,a1中,不妨设第一个不为0的是a,即a=a151+…+a52,由 y(a)-A1a∈W,可得a1=a251+…+ak5-1∈W,由y(a1)-Aa1∈W,可 得a2=a351+…+a15-2∈W,继续做下去,可得a151∈W,因为a1≠0,所以 51∈W (3)由(2)即得 定理3设V=V1⊕V2⊕…⊕V,V是(y-λid)的循环子空间,则v不可分 解为两个非平凡的φ-子空间的直和 五.空间分解为根子空间的直和的直接证明 定理4设φ是C上n维空间V的线性变换, )=(A-A1)2(A-A2)2…(X-入 其中A1,A2,…,A是的全部互异特征值.设R(A)=Ker(y-Ad)4,记 9()=m2()/(X-x)=I(-
⇔ J .1aw ⇔ ϕ o1aN 3 Vi (o<fU V1 (S ξ1, ξ2, · · · , ξr, ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξr) = (ξ1, ξ2, · · · , ξr) λ1 1 . . . . . . . . . 1 λ1 . 3 (1) V1 J ξr ( ϕ- p℄k V1 % (2) V1 ( b ϕ- p℄m J ξ1. (3) V1 Æ<fxA;7( ϕ- p℄(|K ϕ(ξ1) = λ1ξ1, ϕ(ξi) = λ1ξi + ξi−1, 2 ≤ i ≤ r. (1) $ W . V1 ( J ξr ( ϕ- p℄ ϕ(ξr) = λ1ξr + ξr−1, 6` ξr−1 ∈ W, g_k ξ1, ξ2, · · · , ξr ∈ W, 6` W = V1. (2) $ W . V1 ( ϕ- p℄ b 0 6= α ∈ W, α = a1ξ1 + · · · + arξr, ar, ar−1, · · · , a1 :$,_A 0 (. ai , W α = a1ξ1 + · · · + aiξi , j ϕ(α) − λ1α ∈ W, o' α1 = a2ξ1 + · · · + aiξi−1 ∈ W, j ϕ(α1) − λ1α1 ∈ W, o ' α2 = a3ξ1 + · · · + aiξi−2 ∈ W, ZV Go' aiξ1 ∈ W, e ai 6= 0, 6` ξ1 ∈ W. (3) j (2) W' 3 $ V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk, Vi . (ϕ − λiid) (YOp℄s Vi o< fxA;7( ϕ- p℄(|K Fp℄<fBp℄(|K(| y 4 $ ϕ . C " n Ap℄ V (LU Q mϕ(λ) = (λ − λ1) l1 (λ − λ2) l2 · · ·(λ − λs) ls , λ1, λ2, · · · , λs . ϕ (Md9x}$ R(λi) = Ker(ϕ − λiid) li , Y gi(λ) = mϕ(λ)/(λ − λ) li = Y j6=i (λ − λj ) lj , 5