1)无约束。最优解x*=a,∫(x米) b(如图1-5a)。 2)等式约東x=c为一条直线, 这时x=c为可行域,n=m=1,故没 有寻优的自由度。唯一解由xx=c决 定(如图1—5b)。 3)不等式约束x≥C(设c<a) 可行域在直线x=c的右边(如 图1-5c)。这时最优解和无约束一 (a)无约束 样,x*=a,∫(x*)=b。 f(x) 但是如果不等式约束为x≤C,C< a,则可行域在直线x=c的左边,这时 最优解为x=C,即最优解在约束边界 上 可行域 [例]minf(X)=(x1-2)2+ x2-2) 约束x1+2x2≤4 x1=0 (b)等式约束 X =c 解:约束构成的三角形为这个最优问题 比可行 的可行解域。等高线(x1-2)2+(x2 2)2=K为一族圆,见图1—6。无约 束极值为x1=2,x2=2,f(X)=0。 不等式约束的最优解在约束边界上,即 等高线f(X)=0.8与直线x1+2x2= 4相切点为最优解。该点为x:“=1.6,()不等式约束x≥c 李=1.2,∫(X*)=0.8。 1-5求单变量函数极小值
确定性和随机性最优 K=2 问题 K=08 任何最优化问题都可分成 确定性和随机性两大类。确定 性最优问题中,每个变量取值 无约束 极小值 是确定的,可知的。而随机 (或称概率)最优问题中某些 变量的取值是不确定的,但根 据大量实验统计,可以知道变 量取某值服从一定的概率分 个二元函数的极小值问题 布。例如有源网络的最大输出 图1-6 功率、变压器的最优设计等问题是确定性的。而电子系统的可靠性 问题则是一个随机最优问题,因为人们无法确切知道电子系统中某 部件的失效时间,而只能根据经验或统计资料掌握其概率规律。可 靠性问题的研究保证复杂的或重要的系统(如卫星电子系统、电力 系统等)能以最小代价取得最优效果。下面可以看到,有的随机最 优问题如能表示成数学规划的模型,则和确定性问题一样可用规划 论注来求解,称为随机规划。 三、线性最优化与非线性最优化问题。 如果目标函数和所有约束式都是线性的,(即它们是变量的线 性函数),则这种最优化问题称为线性最优化,或线性规划。如果 目标函数或约束式(即使只是部分约束式)中任一个是变量的非 线性函数,则这种最优化问题称为非线性最优化,或非线性规划。 线性规划可看作是非线性规划的特殊情况。显然求解非线性规划问 题比求解线性规划问题更困难。这种情况与电路或控制系统分析是 [注]具有不等式约束的最优化间题称为数学规划问题,这是40-50年 代从企业计划管理问题中概括出来的数学问题
类似的:分析线性电路或线性系统的方法较成熟,而分析非线性电 路或非线性系统则较困难。 用线性函数近似非线性最优化问题中的非线性函数,就可以用 线性规划方法求解非线性规划问题。这种线性近似当然只在局部范 围内适用。在求得的最优解附近再对非线性函数作线性近似,可以 再一次用线性规划去求解。这样,用一连串的线性规划去近似求解 个非线性规划问题,称为近似规划。 如果目标函数为二次型注,而约束式为线性的,称为士次规 划问题。二次规划是从线性规划到非线性规划的过渡。是最简单的 种非线性规划。如果目标函数及约束函数具有多元多项式的形 式,则这种非线性规划称为几何规划。 四、静态最优化和动态最优化问题 如果最优化问题的解不随时间而变,则称为静态最优化(参数 最优化)问题。前面所述的稳态电网络的最优设计问题、电机及变 压器的最优设计问题都是静态最优化问题。 如果最优化问题的解随时间而变,即变量是时间t的函数,则 这是动态最优化问题,也即最优控制问题。这种情况下,变量分为 状态变量和控制变量两种。下面我们举两个例子说明动态最优化问 题的数学模型。 [例1] 理想的LC振荡器在最短时间内停振问题。 图1-7表示正处于工作状态的LC振荡电路。现在假设从 f=t。开始,在振荡电路内加一个电动势e(t),要求该振荡电路 在最短时间内停振。 [注]二次型是指几个变量的标量函数,其中每一项或者是一个变量的平 方,或者是两个不同变量的乘积。在最优化问题中,二次型是常见的一种重要 函数,以后我们要详细讨论 14·
振荡电流初始值i(圹)=x10 dicto) dt 20 该电路停振时间为t,称为终 端时间,则 ()=0.或x1(tf)=0 理想的LC振荡电路 di(t) 或x2(t/)=0 图17 这个问题称为最优时间控制,或最小时间问题,状态变量为 i(*)及d,控制变量为∈()。数学模型可表示为 min dA 约束L +∫id!=e(#) dt c 或用状态方程表示: dxz 1 de(t) dt LC·Ldf 最小时间问题是最优控制中的一个典型问题。例如一个带负裁 的电动机正在运转。如果在某一时刻(例如=t),突然加一个 控制作用,电动机产生的力矩使负载在最短时间内停转,即分别从 原来的状态6(t)和ω(t变化为θ(t/)=0和o()=0。其中 de dt° 可见这一问题的提法以及目标函数形式都和上述振荡电路在最
短时间内停振的问题相同。 [例2] 动圈式电表在测量过程中动态误差最小问题。 图1-8表示一个动圈式电表的原理图及指针摆动的动态曲 线。图中O为指针转角,6mx为指针最大转角,它由止钉限制。 onax 0.956max (a)电表原理图 (b)指针偏转角动态出线 图1-8电表动态误差最小何题 设从t时刻起,电表通以电流。动态误差用给定的指针最大偏转 角与偏转过程中转角之差的平方积分值表示。给定的最大偏转角为 max, 即指针的最后稳定位置。 现在要求误差平方积分值为最小,而且为了使电表不致受到冲 击而损伤,要求电流不超过安全极限,指针不会与止钉撞击。 因而目标函数是积分的形式,其中包括三项 (0.956max-6)2为误差平方项 )2表示指针接近止钉位置的罚项 max i(#)表示电流冲击 因此这个问题的数学模型为: min j= [a(0.95mx-0)2+b( )2+i2(t)]dt