约末Ki=A6+B6+C0 l6|<θnax 约束式中,A为惯性系数,B为阻尼系数,C为弹簧系数。约束 式也可用状态方程表示: C。B Ki 目标函数中,a及b为加权因子,!为终端时间,M为罚因子, 是很大的正数。 如果θ离开θmax越远,则目标函数中,第二项影响越小, θ越接近θmx,则该项的数值将迅速增大,在目标函数中占的比 例就增大。 如果通过电表的电流值很大,形成对电表的冲击,则设2()迅 速加大,第三项在目标函数中占的比例也增大,要使J为最小, 则要限制电流的冲击。 目标函数积分式中变量6及i均为时间的函数,因此积分是 个泛函数。这里0及为状态变量,为控制变量。问题实质 上是求最优控制变量,即最优电流值,使动态误差最小并且所受机 电冲击为最小。 解决动态最优化问題有动态规划方法、极大值原理等。应当说 明,动态最优化和静态最优化方法并不是完全对立的。例如线性规 划和非线性规划是一种静态数学规划,可用以解决静态最优问题, 能不能解决动态最优化问题呢?如果动态最优化问题能够表示成线 性规划的数学模型,那么,当然可以用线性规划来求解动态最优化 问题。而动态规划方法不但可以求解动态最优化问题,也可用以求
解象分配问题这样的静态最优化问题。 此外最优控制问题的目标函数及约束式都可能是非线性的,因 此非线性规划的数值解法也可应用到动态最优化问题中。 五、网络最优化问题 应用图的理论(简称图论)通过网络的几何结构及其性质,对 网络进行分析研究,称为网络拓朴学。图论的应用现在已渗透到信 息论、控制论、运筹学等各个学科领域。网络最优化就是从图论的 角度来研究网络,并用计算机算法寻求这个网络中具有最优参数的 路径,如最大流、最短路等等。因此网络最优化是一种复杂系统的 规划方法,在运输网络、通信网络、电路网络、计算机网络以及工 程施工网络的分析和设计规划中都较广泛的应用。 §1-4最优挫制问题 50年代以前,自动控制系统的设计方法有两种,即古典法和 解析法。这两种方法都是以传递函数为数学模型,来表示系统的特 征,在S域或Z域内用频率法进行设计。对于简单的线性调节 系统或伺服系统,这两种方法是很合适的。 控制器 制对象 R(S)+E(S Gc(5)A(s) C(S G(S) 图1~9控制系统方框图 1.古典法。 这是一种工程试探的方法。根据控制对象的传递函数G(S)确 18·
定控制器传递函数G(S),如图1—9,使系统满足给定的各项性 能指标,如:过调量、上升时间、增益裕量、相角裕量、频带宽度 等。至于系统是否最优是无法考虑的。 古典法设计的控制系统是可行的,但不是最优的,所得结果不 是唯一的解。这种方法只应用了误差信号。为了改进设计方法,人 们力求使设计的系统按一定指标要求说是最优的。解析法比舌典法 在这个意义上说前进了一步。 2.解析法 这一方法的设计目标是求系统参数使误差的平方积分值J为 最小,这个指标称为ISE(积分、平方、误差)指标,设e(t为 误差讯号,则指标函数可用数学形式表示如下 lin j ()d 实际上,这就是古典控制理论中的最优控制问题。 从不同角度出发,最优控制问题可以有不同的提法。一种提法 是:设控制过程中系统消耗的能量为常数,求最优控制变量 u“(t),使误差平方积分为最小,系统能量可表示为控制变量平方 的积分。要求它保持为常数,这是最优控制问题必须满足的条件 也就是一个约柬。这个最优控制问题可用下述数学形式表示 min e2(t)dt 约·22(t)dt=常数 问题的另一种提法是:求最优控制变量w*(f),在J为常数的 条件下,使J为最小,即控制能量消耗最小,用数学形式表示如下 min j t;2(t)d扌 约第”4e2(t)df=常数
[例 已知控制对象传递函数,G(S 10 2,输人2(S 0.5 问题 rlin Je= e2(t)dt 约束J=)2()d≤2.5 用解析法求得最优解为203 /(S)= 0.5S 0.05S2+S+10 系统的闭环传递函数为 C“(S)_U*S)G(S) M*(S)=R(S) R(S) M*(S)= 5S 200 0.055+S+10s2)0.5=32+20S+200 C(S) MS) 20 G2(S)=(S)-C(S)G(S)1-M(S)G(S)20+S 这是最优控制器的传递函数。 上述例子说明,最优控制早在40年代就已在控制系统设计中 应用,只是早期的最优控制方法有一定的局限性,只限于单变量系 统,用解析法在频域中寻优。控制对象只限于线性定常系统,设计 目标也只限于误差最小或控制能量最小。但是最优控制的设计思想 则和现代控制理论是一致的 空间技术的发展,使控制工程有了较大的突破。导弹的导航系 统、自动驾驶系统、宇宙飞船会合的控制系统等等的产生,使传统 的系统设计方法已经不能满足要求了。促进了现代控制理论的发 展,从50年代中期开始,下述三方面的工作奠定了现代控制理论 的基础
1.用状态空间方法研究线性控制系统,并提出了可控性、可 观测性的概念(卡曼 Kalma)。系统如果是不可控的,则最优控 制问题的解是不存在的。 2、动态规划方法和最优化原理(贝尔曼 Bellman)。 3.极大值原理(庑特里亚金) 应当说明的是,现代控制理论的某些数学基础实际上很早就已 发展了。例如,状态变量法分析线性系统,只用到一阶微分方程, 这个数学问题早就认为是很普通的事。关于系统的稳定性分析, 1892年李亚普诺大( I y apu:1)就已完成。线性规划早在1939 年就已提出。但在那个时代,计算机还没有出现,因此这些数学成 就还不能在控制系统中显示出它的重大作用,控制系统的分析与设 计只能停留在古典法阶段。 最优控制是现代控制理论的核心,它的主要内容是:在满足 定的约東条件下,寻求最优控制的规律(或控制策略),使一组目 标函数(或泛函数)为极大或极小。与解析法相比,用最优控制理 论没计系统具有如下的特点 1.适用于多变量、非线性、时变系统的设计 2.初始条件可以任意。 3.可以满足多个H标函数的要求,并可用于多个约束的情 况。 4.计算工作可由计算机进行。这样可将设计人员的精力从繁 项的计算中解放出来,着重于分析和研究设计结果。 §1-5最优化问题的求解方法 数学模型建立以后,主婆问题是如何求解这个数学模型。最优 化问题的求解方法可以分成以下四类 1.间接法一一或称解析法。这种方法只适用于目标函数(或