有源 R 络 R mif(X)=一mx[一!(X)] 有源线性网终多路输出 图1-1 [例2]异步电动机的优化设计 异步电动机优化设计问题中,可以选作设计变量的参数有: 定子内径D,铁心长I,每槽导线数Z,定子齿磁密B1 轭磁密Bys,转子齿磁密B1R,转子导电条电流密度Jz3气隙磁 密Bg等等。 变量数的多少与设计的要求有关,多的可达十多个。一般建议 取6-7个。因为变量数取得越多,计算工作量急剧上升。 约束条件主要是设计出来的电机应满足国家标准规定的七项主 要指标,它们是 效率m0,功率因数cosq,起动电流I,起动转矩T:,最 大转矩Tm0,定子绕组温升θ10,转子温升20
因此,以上述变量表示的各约束函数,使之满足这些指标,就 可列出电机优化设计的约束条件: g1(X)=n(X)-n≥0 g2(X)=cos p(Y)-cos o>0 y3(X)=1-1x(X)≥0 4(X)=T(Y)-T≥0 98(￥)=Tn(X)-10≥0 y(X)=010-61(X)≥0 g(X)=020-62(X)≥0 U;(Y)=g: (De, l, Z, B,.) =1,2,…,7 电机优化设计的目标函数可以是: 1.有效材料费用函数(有效材料指铁心材料、绕组材料,有 时还加上结构材料)。 2,制遣和运行的总费用函数。 3.单位有效材料费用产生的电磁转矩。 例如有的企业建议用下述目标,即每400元的有效材料费所 产生的电磁转矩,它反应了要尽量节约有效材料、力争较高经济指 标的想法。【注 有效材料费 C(X)=14Ge2(X)+1.4GF(X) 14及1.4元分别表示绕组导线及硅钢片每公斤价格。 注】参见中小型电机技术情报,1980,Not,P53~58电机电磁方案 的优化技术
则目标函数为 f(X)=4007 C(X) T为电磁转矩。 [例3]运算放大器的最优设计 如果我们要设计一个如图1-3a所示的运算放大器,有RC 负反馈,这是一个补偿网络。给定的频率响应为(如图1-3b) II(u)=20-4 2x108 V。 fκ10 (a)电路图 〔b率响应特性 图1-3运算放大器 定义H(o)=20oV V。为输出电压,V;为输入电压。网络最优设计的任务就是 要选择参数R和C,使给定网络的响应Ho)与实际响应之间 的误差为最小。 为了列出目标函数,我们应当先列出实际响应的频率特性 H1(a,R,C)表达式 从电路理论角度讲,运算放大器是一个电压控制的电压源(受 控源或非独立电源):其等值电路如图1-4,其中R1为固体组
件(集成电路)的输入电阻,R4为输出屯阻,G为电压增益。 R。为外接的入端电阻。 设本例中G=100,R1 10,R2=1009,R0=1。4 又设R、C的范围为 R GV 509≤R≤1042, 10p≤C≤1000p。 则由上述等值电路可推导出 运算放大器等值屯路 响应H1(a,R,C),再经 1—4 过筒化可得注 H1(,R,C,)坐101010R2+a2C2 根据最小二乘误差准则,可得目标函数为 f(, R, C)=2W(Ok[H(OR)-H1(Ok,R, C) 加权系数W为非负实数,加权以后可以使着重加权的某些频 率下的误差比共它频率的误差更小。 般希望在变量数为2时取10个采样点,即m=10。因此本 例的数学模型为 min f(o, R, C) 50≤R≤1019,10≤C≤100f §1-3最优化问题的分类 最优化问题可以按下述情况分类: 、有没有约束?有约束的话是等式约束还是不等式约束? [注]参见G.C. Temes,J.Ww. Lapatra Introduction to circuit synthesis and design 197T ·10·
、悬确定性的还是随机性的最优问题? 目标函数是线性的还是非线性的?约束式是线性的还是非 线性的? 四、是静态最优还是动态最优问题,即变量是不是时间的函 数? 五、问题的模型用数学解析公式表示还是用网络图表示,在网 络图上寻优称为网络最优化。 下面我们分别讨论不同类型最优化问题的性质及特点。 无约束与有约束最优问题。 求无约束极值时,问題的最优解就是目标函数的极值。有约東 时,问题是求有约束极值(或称条件极值),如果是等式约束,则 约束的数目m必须小于变量的数目n(即问题的维数)。当m=n 时,问题的解是唯一的(即约束方程的交点),显然它不一定为最 优。这种情况下,因为约束过多,没有选择最优点的余地,称为没 有自由度,自由度的数目等于n-m显然如果m>n,则要求同 时满足这m个约束是不可能的,这种情况下的最优化问题无解。 等式约束上各点称为可行解,因此等式约束曲线表示可行解 城。约束也可以是不等式约束,满足不等式约束的区域范围称为解 的可行域。在这个区域内的解都是可行的,称为可行解,可行解的 数目有无限多个,其中必有一个是最优解。 [例]minf(x)=(x-a2+b注 1)无约束 2)等式约束x=c 3)不等式约束x≥c设c<a 解:这是单变量寻优问题。其解如图1-5所示。 [注]min为 mi int mize的缩写,min,f()表示求f(x)的极小值,与之 类似的有max(x)表示求∫(x)极大值,max为 maximize的缩写 11