离散随机变量的分布函数: 设X的取值为:x1≤x2≤…,≤x;≤xn,其取值的概率分 别为p1,p2,…,p…,pn,则有 P≤x1=0 P(X≤ ■P(≤x)=Pa=x1)+P(X=x2)+…+Pc=x) x<x ∑ x1≤x 性质 口Fx(-∞)=0 口Fx(+∞)=1 口若x1<x2,则有:Fx(x1)≤Fx(x2), 为单调增函数。 16
16 ➢ 离散随机变量的分布函数： ◼ 设X的取值为：x1 x2 … xi xn，其取值的概率分 别为p1 , p2 , … , pi , … , pn，则有 P (X < x1 ) = 0, P(X xn ) = 1 ◼ ∵P(X xi ) = P(X = x1 ) + P(X = x2 ) + … + P(X = xi ), ∴ ◼ 性质： FX(- ) = 0 FX(+) = 1 若x1 < x2，则有: FX(x1 ) FX(x2 ) ， 为单调增函数。 = = + n i k X k i x x p x x x x x F x 1 0 ( ) 1 1 1 1
>连续随机变量的分布函数: 当x连续时,由定义分布函数定义 Fx(x)=P(X≤x) 可知,F(x)为一连续单调递增函数: (x) x 17
17 ➢ 连续随机变量的分布函数： 当x连续时，由定义分布函数定义 FX (x) = P(X x) 可知， FX(x) 为一连续单调递增函数：
232随机变量的概率密度 连续随机变量的概率密度px(x) px(x)的定义:px(x)= dF(x) px(x)的意义: Px(x)是Fx(x)的导数,是Fx(x)曲线的斜率 能够从px(x)求出P(a<X≤b) P(a<X≤b)=px(x px(x)的性质: F(x)=P2() Px(x)≥0 Pr(rdx=I
18 2.3.2 随机变量的概率密度 ⚫ 连续随机变量的概率密度pX (x) ➢ pX (x)的定义： ➢ pX (x)的意义： ◼ pX (x)是FX (x)的导数，是FX (x)曲线的斜率 ◼ 能够从pX (x)求出P(a < X b)： ➢ pX (x)的性质： ◼ ◼ ◼ dx dF x p x X X ( ) ( ) = = b a P(a X b) pX (x)dx − = x FX (x) pX (y)dy pX(x) 0 − p (x)dx =1 X
●离散随机变量的概率密度 离散随机变量的分布函数可以写为: (x)=∑pu(x-x,) 式中,p1-x=x1的概率 u(x)-单位阶跃函数 将上式两端求导,得到其概率密度: Px(x)=∑P(x-x) >性质: 当x≠x时,P2(x)=0, 当x=x时,p2(x)
19 ⚫ 离散随机变量的概率密度 离散随机变量的分布函数可以写为： 式中，pi－ x = xi 的概率 u(x) － 单位阶跃函数 将上式两端求导，得到其概率密度： ➢ 性质： 当 x xi 时，px (x) = 0， 当 x = xi 时， px (x) = = = − n i X i i F x p u x x 1 ( ) ( ) = = − n i X i i p x p x x 1 ( ) ( )
24常见随机变量举例 ●正态分布随机变量 >定义:概率密度 Pr(x)= exp √2丌o 2 式中,σ>0,a=常数 概率密度曲线:
20 2.4 常见随机变量举例 ⚫ 正态分布随机变量 ➢ 定义：概率密度 式中， > 0, a = 常数 ➢ 概率密度曲线： − = − 2 2 2 ( ) exp 2 1 ( ) x a p x X